磁场复习

磁场小结

（一）磁场：

1. 在电流和磁体周围存在磁场。（丹麦奥斯特实验电生磁）

2. 磁体的磁极和电流磁场是由运动电荷产生的。——磁现象的电本质。

安培提出分子电流假说：S N

S N S N

3. 变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦电磁场理论）

4. 磁场的基本性质：对放入磁体磁极、电流、运动电荷有磁场力作用。 （二）描述磁场： 1. 磁感（应）强度：B

I场??（定义式）?B? （1）定义：I?B时，B?? ILr??F安 （2）方向：即磁场方向，即小磁针在该点静止时N极指向（非F安方向，F安⊥B） （3）单位：特斯拉，符号T。1T?1NA·m

（4）磁场叠加：几个场电流在某点的磁感强度B等于各场电流单独在该点产生Bi的矢量和遵循平行四边形定则。

2. 磁感线：

?磁场方向（B方向）在该点切线方向。 （1）?

磁场强弱（B大小）疏密? （2）在磁体外部磁感线N→S，在磁体内部S→N，是闭合曲线。

（3）5个典型磁场磁感线分布图（立体图、平面图）

条形磁铁、蹄形磁铁、直线电流、环形电流、通电螺线管。

安培定则

（4）地磁场： 3. 磁通量?

（1）定义：穿过某一面积的磁感线条数。

（2）匀强磁场中：??B·S?（S?：S在垂直B方向上的投影面积）

B S S2 θ θ S B S⊥

（3）?标量，有正负之分。（其正负代表从哪一面穿过） ???1??2?B1·S2?B2· S2

S2 × × × × B1 B2 S2

（4）????2??1

转90°，???0?BS??BS转180°，????BS?BS??2BS

S B

注：一般说磁通量变化量或改变量均为|??| （三）磁场力

1 磁场对电流——安培力

B I I θ B// B B⊥

（2）方向：左手定则：四指?I，大拇指?F安 注：（1）F安⊥B且F安⊥I

（2）电场中F电与E方向在同一直线上。 2. 磁场对运动电荷——洛仑兹力：

v B F洛

（1）大小：v?B，f洛?Bqv，v//B，f洛?0

?运动方向○（2）方向：左手定则：四指?大拇指?f洛 ?运动反向○

注：f洛?B且f洛?v

（3）f洛对运动电荷永不做功。

注：F电可能对运动电荷做功W电??Uq匀强?Eq·SF

3. 定性判断导线或线圈在安培力作用下的运动问题。

B N

（1）平行电流分析法：

同向平行电流引力，异向平行电流斥力。

F2 B1 B2 F1 I1 I2 F1=F2

判断：左侧通电直导线固定，右侧轻质通电线框。 Fab>Fcd，向左平动，靠近直导线。 直导线所受反作用力水平向右。

a d Fab Fcd F’ b c I

光滑杆上两通电圆环，相互靠近。

（2）特殊位置分析法：

固定通电导线AB下方有一自由水平导线CD。 导线CD逆时针转动，同时靠近AB。（转90°平行）

B FD C D FC A（固）

条形磁铁N极旁有一悬挂的通电圆环。 从上往下看：顺时针转动，同时向N极靠近。

（3）等效分析法：环形电流，通电螺线管等效为条形磁铁。 4. 安培力平衡、牛顿定律问题：

B A E r R L b θ

其余电阻不计，轨道光滑，导体棒ab要静止在斜面上，求B。 画受力平面图：

θ F安 N mg θ

F安?mgt?g?BIL，I?ER?r

思考：（1）使导体棒静止需加B1的最小值及方向？ 由F安沿斜面向上?B垂直斜面向上。F安?mgsin?

Fθ 安 N B mg θ

（2）如磁场方向限定在此平面内，确定棒能静止斜面上的B所有可能方向。 B方向?F安方向

取① N F mg ②不取 安

（1）→B

（2）沿斜面向上B 0，???

5. 带电粒子在磁场中运动：

??

× × ×B O × × × f v × + q × ×

（1）v?0，f洛?0，静止 （2）v//B，f洛?0，匀速直线 （3）v?B，f洛?Bqv，匀速圆周运动

v2 mR?F向?f洛?Bqv，R?mvBq

T?2?Rv?2?mBq注：T与粒子运行速度无关。

（4）研究方法： ①定圆心，画轨迹。

②利用几何知识和三角形知识求解R（半径），θ（偏转角） ③粒子在磁场中运动时间t??2?T??mBq(?：弧度制)

a v L b f O2 × d × R2 × L R1 θ × R1 × L2× c R1?L2O1

【典型例题】

例1. 如图甲所示，带状匀强磁场宽度为d，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，有一带电量为－q，质量为m的电荷从a点垂直于PQ及磁场的方向射入，然后从b点射出，ab连线与PQ间的夹角为60°，试求电荷的速度。

解析：电荷在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，要求电荷在匀强磁场中运动的速度，必须知道圆周运动的半径；而要求得半径，必须确定圆心及电荷在b点的运动方向。步骤是： （1）连接a、b；

（2）作线段ab的垂直平分线与PQ交于O，O就是圆心； （3）连接Ob，即得半径Oa及Ob，如图乙所示。 则三角形aOb是正三角形 所以电荷运动轨道的半径r?dsin60??2d3

又有Bqv?mvr2，得：v?Bqrm?23Bqd3m

例2.在边长为L的正方形abcd区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，电子各以不同速率从a沿ab方向垂直磁场方向射入，其中电子1和2分别从bc和cd边的中点M和N射出，求这两个电子的速度之比v1/v2。（如图所示）

解析：从上述粒子的回转半径r?mveB看，本题的运动电荷都是电子，e、m相同，同一磁场B相同，则v与r成正比，求速度大小之比就是求回转半径之比。把两电子的半径r1和r2通过几何关系，都用正方形边长L来表示，就构成本题基本能力要求。 首先要确定电子做圆周运动的圆心，由于电子从a点进入磁场受到指向圆心的洛伦兹力，所以两电子轨道圆心都在与ad边重合的直线上。弦aM的中垂线过圆心，这样就确定了电子1的圆轨迹的圆心O1，如图所示。O1a及O1M为其半径r1，注意到M为bc边中点的条件，作出M与ad边中点M1的连线，从△O1MM1中不难得到

r12L???L??r1??

?2?22 得：r1?54L

同样方法可得电子2的轨道半径r2 r2? 则58L

v1v2?r1r2?21

若计算两电子在磁场中运行时间比t1/t2，可从几何关系求得其转过的圆心角分别为：

?1?arctan；?2???arctan

3344 由于两电子在磁场中运行周期相同，转过的?角所用时间?arctan?4343?53°127°?53127?2?T

所以t1t2

??arctan 例3. 如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为－q，质量为m的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C孔正下方紧靠N板的A点，经电场加速后从C孔进入磁场，并以最短的时间从C孔射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电量损失，且每次碰撞时间极短，碰后以原速率返回。求：

（1）筒内磁场的磁感应强度大小；

（2）带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间。

解：（1）由题意知，带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出经历的时间为最短 由qE?12mv

2 粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为v?mvqBmvqB2qEm

由r?，即Rcot30°?

得：B?1R2mE3q

（2）粒子从A?C的加速度为a?qEmd，d?at122

粒子从A?C的时间为t1?2da?d2mqE

粒子在磁场中运动的时间为t2?T2??mqB

将（1）求得的B值代入，得t2??Rm??22d?qE?33m2qE??R? 2?

求得：t?2t1?t2? 例4. 如图，在xoy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xoy平面的匀强磁场。y轴上离坐标原点4L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为v0的电子

（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动。如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场。不计重力的影响，求： （1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；

（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场。求D点的坐标；

（3）电子通过D点时的动能。

解：（1）只有磁场时，电子运动轨迹如图1所示

洛仑兹力提供向心力Bev0?m22v02R2

由几何关系R??3L???4L?R? 求出B?8mv025eL垂直纸面向里

电子做匀速直线运动Ee?Bev0

8mv02 求出E?25eL，沿y轴负方向

（2）只有电场时，电子从MN上的D点离开电场，如图2所示

设D点横坐标为x，x?v0t

2L?1eE2mt

2

求出D点的横坐标为x?522L?3.5L

纵坐标为y?6L

（3）从A点到D点，由动能定理 Ee·2L?EKD? 求EKD?5750212mv0

2mv0

例5.如图所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，并通过了b点正下方的c点，如图所示。粒子的重力不计，试求：

（1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）c点到b点的距离。

解析：如图所示，粒子在磁场中运动半径R?mv0Bq

最小磁场区域半径为r，则r?Rcos30°

3?mv04Bq2222 则最小面积S??r2?

粒子在x轴下方作类平抛运动，垂直电场方向作匀速运动，沿电场方向作匀加速运动 位移与初速方向夹角为60°

1Eq60°?2m tanv0tt2

得：t?23v0mEq

故bc距离为v0tcos60°?43mv0Eq2

例6.在如图所示区域中，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B。今有一质子以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，质子在磁场中运动一段时间后从C点进入x轴下方的匀强电场区域中，在C点速度方向与x轴正方向夹角为45°，该匀强电场的强度大小为E，方向与y轴夹角为45°且斜向左上方，已知质子的质量为m，

电荷量为q，不计质子的重力（磁场区域和电场区域足够大），求： （1）C点的坐标；

（2）质子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；

（3）质子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场E方向的夹角。（角度用反三角函数表示）

解答：（1）质子的运动轨迹如图所示。

C点在x轴上的位置：x0?mv0?2?2????? ??R1???1????2?qB?2????mv?2??0? 所以，C点的坐标为???qB?1?2?,0?

?????? （2）从A到C的运动时间t1??4·2?m?5?m

2?qB4qB 质子在电场中先做减速运动并使速度减为零，然后反向运动，在电场中运动的时间：

t2?2v0qEm?2mv0qE

质子从C运动到D的时间t3?T4??m2qB

所以，质子从A点出发到第三次穿越x轴所需时间t?t1?t2?t3?7?m4qB?2mvqE0

（3）质子第三次穿越x轴后，在电场中做类平抛运动，由于v0与x负方向成45°角，所以第四次穿越x轴时v0t4?1qE2mt4，得：t4?qEm22mv0qE

则沿电场方向速度分量为vE? 所以，速度的大小为v?2t4?2v0

2v0?vE?5v0

速度方向与电场E的夹角设为θ，如图所示。

?? 则tanv0vE?1212

所以??arctan

小结：本题所述的复合场是以x轴为界的上、下组合形式，不计重力的带电粒子分别在两个区域做“类平抛”运动和匀速圆周运动。正确分析每一个阶段的运动情况，求出过分界点时的速度大小和方向，画出运动轨迹图是解题的关键。

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