数学实验论文

数学实验论文

——逢山开路

队员 姓 名

学 号

1

2 3

逢山开路

摘 要

本文针对逢山开路的问题，主要运用了局部优化的原理，并根据这个原理提出对山区的具体情形设置控制点的方法，并利用matlab、photoshop等软件进行计算并绘制图形，对一般路线运用两个模型对比，最后在综合考虑修桥和隧道的费用，从而得出全局最小费用路线。

对于问题1，其本质是在山区修建公路的路线选择问题，题中给出了实际的基本特征，如地貌、路线、环境等自然条件以及费用系数，重点是求两点间的最短路，由于要在河流上架桥和开挖隧道，直接求从山脚到居民点再到矿区的最小费用的路线是困难的。在这里我们采用一种较为简便的方法，先根据对地形和不同路段费用系数的分析，确定桥头和隧道口的若干候选地点，然后寻求山脚到桥，桥到隧道，隧道到矿区的最短路，也是最小费用路径。对一般路线提出了两个模型，利用等高线决定最大坡度路线和在小方格内进行局部优化。同时我们在模型中大胆创新，在居民点东面设置了一个分叉，分别通往桥西头和隧道南口，对一般路线虽然是局部优化，但总的成本只有370万元，最终结果较为合理。

对于问题2，和问题1的唯一不同之处只是将原来的居民点改为了居民区，我们只需要在居民区上找到一个合适的点，然后我们可以改进问题1中的模型，便能找出一条较为理想的路线。

关键词：局部优化 分叉道路 最短路径

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一、问题重述

要在一山区修建公路，已经知道一些地点的高程。数据显示：在y=3200处有一东西走向的山峰；从坐标（2400,2400）到(4800,0)有一西北一东南走向的山谷，在（2000,2800）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查知，雨最最大时溪流水面宽度w与（溪流最深处的）x坐标的关系可近似表示为

?x?2400?w(x)???2??34。 ?5（2400≤x≤4000）

公路从山脚（0,800）处开始，经居民点（4000,2000）至矿区（2000,4000）。已知路段工程成本及对路段坡度a（上升高程与水平距离之比）的限制如附表2.2。

（1）试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。

（2）如果居民点改为3600≤x≤4000,2000≤y≤2400的居民区，公路只须经过居民区即可，那么你的方案有什么改变。

附表2.2 工程种类

一般路桥梁 段

工程成本（元/300 米）

对坡度a的限制 a<0.125 a=0

a<0.100

2000

1500（长度≤300米）；3000（长度>300米） 隧道

二、符号系统与模型假设

2.1 符号系统

???:表示从

A到B的公路

R(???)：所有从A到B的可行路线的集合 Cost（???）：建造公路???的成本 Length（???）：公路???的长度

T=一般公路，T=桥梁，T=长度小于等于300m的隧道，T=长度大于300m的隧道

1234?（T1）：对Ti的倾斜度限制

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P（Ti）：对Ti的单位距离工程成本

2.2模型假设

1. 地貌假设：假设题目提供的数据是精确和充分的。在四个相邻数据点之间的单位矩

形内没有太大起伏，如果两条对角线两端数据的均值的差远小于矩形边长，则可以近视的认为该矩形面没有太大的起伏。 2. 路线假设：

a．只考虑公路为几何线而不计其宽度，忽略横向的坡度对宽度的影响， b．设计路线时，暂不考虑路线的急转弯角度的限制 c．不考虑地质情况和气候条件的影响 3．环境假设：

a．假设该地区内无原公路可利用 b．新修公路应限于所给区域内

三、问题1的分析、建模与求解

３.1 问题的分析

我们可以将整个路段进行分段讨论，首先可以在整条路上去几个控制点?Ai?i，设定

NT(Ak)?T(Ak?Ak?1)，与Ak?Ak?1的具体路线无关。控制点Ai的选择是根据情况分析

得到的。

对本题中，考虑到桥梁的隧道的成本高于一般公路因此在线路设计时为了节约成本而让一般公路多绕几个弯。

3

200015001000500060004000400020000020006000

图表1

450040003500300025002000150010005000330.76923446.153561.512853845386676.920314808.8324.612397.699023626.915413476.010561.476938116.233.8462081484.61251541484.615413154136.230811484.669253.91138462.2348.458615106.3085489.221061146.8464.23.381335076521611149.8113907792.69231.3076766911792..983076038231369.2384629.45081.6163.45852138923046.617611023.538851.06769553671.966.9796944072.3007.69231233330..7692327690879976302.791484.6154907.6923101000200030001023.0769907.69231792.307695385830.269133192907.65190761023..4638114623.8125830.2691384622303.869.12513利用MATLAB软件，我们可以画成等势图和三维视图，可以看出：

4

9.076923110237.690图表2

1023.0769446.1846.535612308676.940005000

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