与圆有关的位置关系及切线定理

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l与⊙O的位置关系.

3、圆和圆的位置关系

?外离(没有公共点)(1)相离? (2)相切?内含(包括同心圆)?外切(有一个公共点) (3)相交(有两个公共点) ??内切2注：两圆同心是两圆内含的一种特例.

2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 （1）两圆外离?d＞R＋r（2）两圆外切?d＝R＋r （3）两圆相交?R－r＜d＜R+r

（4）两圆内切?d＝R－r（5）两圆内含?d＜R－r

典例精析

例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则d的取值范围为______. 例2：已知⊙O1和⊙O2内切，圆心距为7cm，⊙O1的半径为8cm，求⊙O2的半径.

1

例4：如图：⊙M的半径为8cm，⊙N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长为多少？

与相切有关的性质 定理 1、切线的性质定理：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心. 2、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的判定方法

（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度） （3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度） 两圆相切与相交的性质：

（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；

（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。（连心线：连接两圆圆心的线段是连心线）

例：如图，△ABC内接于大圆O，∠B＝∠C，D是AB的中点，以O为圆心，OD为半径作小圆.

求证：AC是小圆的切线.

2、如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝18，⊙O1与矩形的边AD、AB、BC相切，⊙O2与⊙O1外切且与BC、CD相切，求⊙O2的半径.

2

BO1O2CADBDOAEAMCBNC课堂练习

1、爆破时，导火索燃烧的速度时每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，如果导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒跑6.5m是否安全？__________（填“是”或“否”）.

2、下列直线中是圆的切线的是（ ） A. 与圆有公共点的直线

B. 到圆心的距离等于圆的半径的直线

C. 到圆心的距离大于圆的半径的直线 D. 到圆心的距离小于圆的半径的直线

3.（2010年兰州） 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为

A．2 B．3 C．3

D．23

4.（2010哈尔滨）5.如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ ） D

A.60° B.90° C.120°

5.(2010台州市)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) ．

6、在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围时多少？

BA

7．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，

D.150°

A E D

B CO （第15题）

C FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD；

（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

BFODEACH 8、两圆位置关系分别是3、4，当两圆相交时，圆心距d的取值范围是_____________. 9、两圆半径分别是5和x，圆心距为10，当两圆外切时，x的值为_________；当两圆内切时，x的值为_________.

10、若两圆内切，圆心距为8cm，一个圆的半径为15cm，则另一个圆的半径为（ ） A. 23cm

B. 7cm C. 23cm或7cm D. 30cm或7cm

3

11、三角形的边长分别为4、5、7，以各顶点为圆心的三个圆两两外切，则各圆的半径为（ ） A. 4、3、1 B. 12、11、19 C. 5、5.5、6.5 D. 2、3、4 12、已知关于x的一元二次方程x2?(R?r)x?14d2?0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1

和⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含

13.（2010宁德）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的 半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A与静止的⊙B的位置关系是（ ）．D

A.内含 B.内切 C.相交 D.外切

14．（2010年长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1?2、r2?4，若两圆相交，则圆心距

A B O1O2可能取的值是（ ）

A．2 解答题：

B．4

C．6

D．8

1．（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．

2、（2010年杭州市）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移

动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位 于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间.

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3．如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE

（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径

4.（2010年天津市）（22）（本小题8分）

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. （Ⅰ）如图①，若AB?2，?P?30?，求AP的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.

5.（2010山西22．（本题8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过

点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45o．

（1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．

（2）若⊙O的半径为3cm，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值． D A B E （第22题）

B C O A

图①

第（22）题

B C O P A

D

图②

P C

O

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/930g.html