高一数学常考立体几何证明题及答案

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE; （2）平面CDE?平面ABC。

2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

D A

D1

B

E

A C

BDE。 求证： AC1//平面

3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

B1

E C

A D

B SC

求证：AD?面SBC．

ADBCD1A1DOABB1C1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1

5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证： （1）AC?平面B'D'DB； （2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?CD1 A1 E D B1 C1 F G C

2?BDC?90， AC，A B 2

求证：BD?平面ACD

8、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面

BDG.

9、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点.

BDE； （1）求证：AC1//平面

（2）求证：平面A1AC?平面BDE.

10、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E（1）求证：DE?平面PAE；

（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

0为BC的中点．

11、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD； （2）求证：AD?PB．

12、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO?平面MBD． 113、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ． 求证：AH⊥平面BCD．

14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．

已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.

求证：截面EFGH是平行四边形．

2

a，如图． 3

15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

(1)求证：MN∥面BB1C1C； (2)求MN的长．

16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点． 求证：(1)直线EF∥面ACD. （2）平面EFC⊥平面BCD

.

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

E

A 证明：（1）

BC?AC???CE?AB

AE?BE?同理，

AD?BD???DE?AB

AE?BE?又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC 2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

BDE。 求证： AC1//平面

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1

B1

A

D1

E C

A D

BDE外 ∴ACBDE。 又EO在平面BDE内，AC1在平面1//平面

B 3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

C

S求证：AD?面SBC．

证明：∵?ACB?90° ?BC?AC

又SA?面ABC ?SA?BC ?BC?面SAC ?BC?AD D

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC

AD1BCC1B1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1A1DAC11?B1D1?O1，连结AO O证明：（1）连结AC，设111AB∵ ABCD?A是正方体 是平行四边形 BCD?AACC111111∴A1C1∥AC且 AC11?AC 又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1?AO

?AOC1O1是平行四边形

?C1O∥AO1,AO1?面ABD，CO?面ABD ∴CO∥面ABD

11111111（2）CC1?面A1B1C1D1 ?CC ! 1?B1D∵AC11?B1D1， ?BD?面ACC又 1111 即A1C?B1D1

AC?AD1， 又D1B1?AD1?D1

同理可证1?面AB1D1 ?AC1C5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A1 E D A D1 B1 F G B C C1

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?2AC， 21AC 2?BDC?90，求证：BD?平面ACD

//证明：取CD的中点G，连 结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG?//FG?

111BD，又AC?BD,∴FG?AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?AC2?EF2 222∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C ∴BD?平面ACD

8、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面

BDG.

证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D1GEB?四边形DGBE为平行四边形，D1E∥GB 1又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，平面DEF∥平面BDG

?19、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点.

BDE； （1）求证：AC1//平面

（2）求证：平面A1AC?平面BDE. 证明：（1）设AC?BD?O，

EO ∵E、O分别是AA1、AC的中点，?AC1∥

BDE 又AC?平面BDE，EO?平面BDE，?AC11∥平面

（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD

又BD?AC，

AC?AA1?A，BD?平面AAC，BD?平面BDE，平面BDE?平面AAC

??11的中

10、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E为BC点．

（1）求证：DE?平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

222证明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE

∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE （2）?DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt?PAD，PD?42，在Rt?DCE中，DE?22 在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300

11、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD； （2）求证：AD?PB． 证明：（1）?ABD为等边三角形且G为AD的中点，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，

PB?平面PBG，?AD?PB

12、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO?平面MBD． 1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，

A1A?AC?A，

∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO11．

2设正方体棱长为a，则A1O?323a，MO2?a2． 24．

A1M2?在Rt△AC11M中，

92222a．∵AO，∴AOO?M?MO?AM1114∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CFDF?F，∴AB?平面CDF． ∵CD?平面CDF，∴CD?AB． 又CD?BE，BE?AB?B， ∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，

∴ AH?平面BCD．

14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH. 求证：截面EFGH是平行四边形．

证明：

∵SC∥截面EFGH，SC?平面EFGH，SC?平面ASC，且平面ASC∩平面EFGH＝GH， ∴SC∥GH.

同理可证SC∥EF，∴GH∥EF. 同理可证HE∥GF. ∴四边形EFGH是平行四边形．

15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

2

a，如图． 3

(1)求证：MN∥面BB1C1C； (2)求MN的长．

解：(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

∴

MN?面MPN，∴MN∥面BB1C1C.

APANA1M＝＝，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C. ABACA1B

2a

NPAN3112(2)＝＝＝，NP＝a， 同理MP＝a. BCAC332a3又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN. 在Rt△MPN中MN＝42125

a＋a＝a. 993

16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ?平面ACD，从而PQ∥平面ACD.

(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.

1

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，

2∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝

5， 5

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点． 求证：(1)直线EF∥面ACD. (2)平面EFC⊥平面BCD. 证明：(1)在△ABD中，

∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.

又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直线EF∥面ACD. (2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD. 在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD. ∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，

又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.

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