2.2.2双曲线的简单几何性质1

高二文科数学

2.2.2双曲线的 简单几何性质(一)

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双曲线定义及标准方程定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) ( )yMM F2

y

图象

F1

o

F2

xF1

x

方程 焦点a.b.c 的关系

x2 y2 2 =1 2 a bF ( ±c, 0)

y2 x2 2 =1 2 a b F(0, ± c)2 2

c =a +b2

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复

习

双曲线的标准方程 形式一： 形式一： x y 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b F1 F 焦点在x轴上，(-c,0)、 2 c,0)) 轴上，( (焦点在x轴上，(-c,0)、 (c,0))2 2

形式二： 形式二： y 2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a bF1 轴上，( )、(0, )) (焦点在y轴上，( ,-c)、( ,c)) 焦点在 轴上，(0, )、( F2

其中 c 2 = a 2 + b 2

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练习： 练习：1.动点 到点 动点P到点 的距离减去到点N(1,0)的 动点 到点M(-1,0)的距离减去到点 的距离减去到点 的 距离之差为2,则点 轨迹是( 则点P轨迹是 距离之差为 则点 轨迹是 D ) A.双曲线 双曲线 B.双曲线的一支 双曲线的一支 C.两条射线 两条射线 D.一条射线 一条射线 2.已知双曲线的两个焦点为 F1( 5,0)、F2( 5,0), 已知双曲线的两个焦点为 P是此双曲线上的一点 且PF1⊥PF2, 是此双曲线上的一点,且 是此双曲线上的一点 |PF1||PF2|=2,则该双曲线的方程是 则该双曲线的方程是( 则该双曲线的方程是 A. C.x y2 = 1 4

C )

x2 y2 =1 2 3 2

B. D.

x2 y2 =1 3 2

y2 x2 =1 4

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一炮弹在某处爆炸， 例1 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在 处晚2s B处晚2s 爆炸点应在什么曲线上？ (1) 爆炸点应在什么曲线上？ 已知A 两地相距800m 800m, (2) 已知A、B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s, 340m/s,求曲线的方程 ：(1 由声速及A 两地听到爆炸声的时间差， 解：(1)由声速及A、B两地听到爆炸声的时间差，可 两地与爆炸点的距离的差， 知A、B两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于 为焦点的双曲线上。 以A、B为焦点的双曲线上。 P

A

B

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一炮弹在某处爆炸， 例1 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在 处晚2s B处晚2s 爆炸点应在什么曲线上？ (1) 爆炸点应在什么曲线上？ 已知A 两地相距800m 800m, (2) 已知A、B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s, 340m/s,求曲线的方程 解:(2)如图所示，建立直角坐角系，使A、B两点 如图所示，建立直角坐角系， 在x轴上，并且原点与线段AB的中点重合y 轴上， AB的中点重合 轴上 并且原点与线段AB 设爆炸点P的坐标为( y), ),则 设爆炸点P的坐标为(x,y),则 P 即 2a=680,a=340 , Q AB = 800 A ∴2c = 800, c = 400,b2 = c2 a2 = 44400Q PA PB = 680 > 0 ∴x > 0 2 2

PA PB = 340× 2 = 680

o

B

x

x y ∴ =1(x > 0) 115600 44400

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复习 椭圆的图像与性质标 准 方 程范 围

x2 y2 + =1 a 2 b2

YB2

|x|≤a,|y|≤b ≤关于X,Y轴, 轴 关于 原点对称

对称性

顶点 焦 点对称轴 离心率

(±a,0),(0,±b) ± ± (±c,0) ± A1A2 ; B1B2c e = a

A1 F1

o

A2 F2

X

B1

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讲授新课

一、研究双曲线 1、范围 、2

x2 y2 2 =1(a > 0, b > 0) 2 a b(-x,y)

的简单几何性质y (x,y) o a (x,-y)

x 2 2 Q 2 ≥ 1,即x ≥ a a ∴ x ≥ a, x ≤ a 2、对称性 、

-a (-x,-y)

x

关于x轴 轴和原点都是对称。 关于 轴、y轴和原点都是对称 轴和原点都是对称 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 轴是双曲线的对称轴， 轴 轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心， 中心。 又叫做双曲线的中心 又叫做双曲线的中心。

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3、顶点 、(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 )双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点

顶点是 A1 ( a ,0 )、 A2 ( a ,0 )如图， (2) ) 如图，线段 A A 叫做双曲线 1 2 实轴，它的长为2a,a叫做 的实轴，它的长为 叫做 实半轴长； 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴 它的长为2b,b 虚轴， 曲线的虚轴，它的长为 叫做双曲线的虚半轴长 叫做双曲线的虚半轴长 (3) ) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线A1 -a

y b

B2o a A2 x

x y = m (m ≠ 0)2 2

-b B 1

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4、渐近线 、x2 y2 (1) 双曲线 双曲线在第一象限内部分的方程为 2 = 1( a > 0 , b > 0 ) 2 a b b 2 y = 的渐近线为x y = ) b x x a2 ( > 0 ± a a

y Q b

N(x,y’) M(x,y)

b 它与 等轴双曲线 x 2 (2) y = x的位置关系 :y 2 = m a

B2

b 它与y = x的位置的变化趋势 : a (3) 利用渐近线可以较准确的

在y = x的下方 a y = ±x

( m ≠b )的渐近线为 0

A1o

A2a x

B1

画出双曲线的草图 慢慢靠近

b y= x a

b y= x a

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5、离心率 、 c 双曲线的焦距与实轴长 的比 e = ,叫做 (1)定义： )定义： a 双曲线的 离心率。(2)e的范围 ) 的范围： (3)e的含义： ) 的含义：c2 a2 c 2 = ( ) 1 = e2 1 a a b b ∴当 e ∈ (1,+∞ )时， ∈ (0,+∞ ), 且 e增大 , 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大 b = a

Q c>a>0 ∴

e >1

e是表示双曲线开口大小的一个量 越大开口越大 是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大 是表示双曲线开口大小的一个量

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(4)等轴双曲线的离心率 ?2 等轴双曲线的离心率e= 等轴双曲线的离心率

离心率 e =

2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e = a

c = a +b2 2

2

y

在a、b、c、e四个参数中，知二可求二B2

c2 = b2 + a2c bA2

几何意义

A1

0B1

a

x

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焦点在x轴上的双曲线的几何性质 焦点在 轴上的双曲线的几何性质1、 范围： 或x≤-a 范围： x≥a或x2 y2 双曲线标准方程： 双曲线标准方程： 2 2 = 1 a by

2、对称性： 、对称性： 关于x轴 轴 原点对称。 关于 轴，

y轴，原点对称。),A , ), , ) 3、顶点: A1(-a,0), 2(a,0) 、顶点B2

bA1 O A2

4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 、 b 5、渐近线方程： y = ± x 、渐近线方程： a c e= 6、离心率： 、离心率：

aB1

x

a

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焦点在y轴上的双曲线的几何性质 焦点在 轴上的双曲线的几何性质y2 x2 双曲线标准方程： 双曲线标准方程： 2 2 = 1 a b

YF2

1、范围： 或y≤-a 、范围： y≥a或 关于x轴 关于 轴，y轴，原点对称。 轴 原点对称。 2、对称性： 、对称性： 3、顶点 B1(0,-a), 2(0,a) 、 ),B , ), , ) 4、轴： 实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 、a 5、渐近线方程： y = ± x 、渐近线方程： bA1 A2 B2

X

oB1

6、离心率：e=c/a 、离心率：

F2

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例1 :求双曲线

9y2 16x2 = 144 的实半轴长 虚半轴长, 的实半轴长,虚半轴长 虚半轴长

焦点坐标,离心率 渐近线方程 焦点坐标 离心率.渐近线方程。 离心率 渐近线方程。

解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4 可得 实半轴长

y2 x2 2 =1 2 4 3

虚半轴长b=3 虚半轴长半焦距c= 半焦距42 +32 = 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 焦点坐标是 离心率: 离心率e =

4 渐近线方程: 渐近线方程 y = ± x 3

c 5 = a 4

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练 1:求下列双曲线的渐近 线。 (1) x 2 8 y 2 = 32 ( 3) x 2 y 2 = 4结论： 结论： x2 y2 x2 y2 (1)与 2 2 =1有相同渐近线的双曲线 方程 2 2 = λ. a b a b (λ ≠ 0) x2 y2 x y (2) 2 2 = λ(λ ≠ 0)的渐近线为 ± = 0. a b a b

x2 y2 ( 2) = 1 49 25

练2:已知双曲线的两条渐近线的方程为 ：

y=±(1/2)x,且经过点 (3, ﹣1),求它的标 ± ,且经过点M , 准方程。 准方程。

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例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 、双曲线型自然通风塔的外形， 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面， 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m,上口半径为 上口半径为13m,下口半径 最小半径为 上口半径为 下口半径 选择适当的坐标系， 为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 高 选择适当的坐标系 双曲线的方程(精确到 双曲线的方程 精确到1m). 精确到y 13 C′ 12 A′ 0 A x C

B′

25

B

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如图，建立直角坐标系xOy,使 解：如图，建立直角坐标系 使 小圆的直径AA‘在x轴上，圆心与原 在 轴上 轴上， 小圆的直径 点重合。这时， 点重合。这时，上下口的直径 CC’,BB’都平行于 轴，且︱CC’ ︱ 都平行于x轴 都平行于 =13×2, ︱BB’ ︱=25×2 × ×y C’ A’O 13

C A x B

12

x2 y 2 设双曲线的方程为 2 2 = 1(a > 0, b > 0), B’ a b 令点C的坐标为(13, y ), 则点B的坐标为(25, y 55).

25

252 ( y 55) 2 - 2 b2 12 因为点B, C在双曲线上，所以 2 = 1, 2 13 y = 1. (2) 122 b 2

(1)

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5b 由方程(2), 得y

= (负值舍去),代入方程(1), 得 12

5b ( 55) 2 2 25 - 12 2 =1 2 12 b

y C’ A’ B’25 O 13

C A x B

化简得 b + 275b 18150 = 0 192

12

用计算器解方程， 用计算器解方程，得b≈25

x2 y2 所以，所求双曲线的方程为 =1 144 625

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B2

. .A2 B2

小结图形

. .F1 A1 A2O

y

yF2 B1

F2(0,c) x F1(0,-c)

F2

x

F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x2 y2 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b

x ≥a 或 x ≤ a,y ∈ R关于x轴 轴 关于 轴、y轴、原点对称A1(- a,0), 2(a,0) ),A , ), , )

y ≥a 或 y ≤ a,x ∈ RA1(0,-a), 2(0,a) ),A , ), , )

y2 x2 2 = 1 (a > 0,b > 0 ) 2 a b

关于x轴 轴 关于 轴、y轴、原点对称

c e= a

(e > 1)

c e= a

(e > 1)

b y=± x a

a y=± x b

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/92oe.html