2022年考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习——小题满分练9

小题满分练9

1．(2017·苏北四市期末)已知集合A ＝{－2,0}，B ＝{－2,3}，则A ∪B ＝________. 答案 {－2,0,3}

2．已知i 为虚数单位，则复数2i 1＋i

＝________. 答案 1＋i

3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________．

答案 56

解析 从甲、乙、丙、丁4首歌曲中随机抽取2首播放，因为播放是有顺序的，所以所有的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12个，而甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的事件所包含的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，共10个，故所求事件的概率

为P ＝1012＝56

. 4．(2017·常州期末)双曲线x 24－y 212

＝1的右焦点与左准线之间的距离是________． 答案 5 解析 因为a 2＝4，b 2＝12，所以c 2

＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x ＝－a 2c ＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.

5．已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x ∈R ，使x 2

＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是______________．

答案 {a |a ≤－2或a ＝1}

解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1； q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，

解得a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，

则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.

6．(2017·苏州期末)阅读下面的流程图，如果输出的函数f (x )的值在区间????

??14，12内，那么输入的实数x 的取值范围是________．

答案 [－2，－1]

解析 流程图表示输出分段函数f (x )＝????? 2x ，x ∈[－2，2]，2，x ?[－2，2]的值．令f (x )∈????

??14，12，得????? －2≤x ≤2，14≤2x ≤12，解得－2≤x ≤－1.

7．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案 96π

解析 设圆锥的底面半径为r cm ，高为h cm ，则12

·2πr ·10＝60π，所以r ＝6cm ，从而高h ＝8cm ，此圆锥的体积V ＝13

×36π×8＝96π(cm 3)． 8．(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8128可表示为________．

答案 26＋27＋…＋212

解析 因为8 128＝26×127，

又由1－2n 1－2

＝127，解得n ＝7. 所以8 128＝26×(1＋2＋ (26)

＝26＋27＋ (212)

9．(2017·常州期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝4，S 9－S 6＝27，则S 10＝__________.

答案 65

解析 因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝27，所以a 8＝9，即S 10＝10(a 1＋a 10)2

＝5(a 3＋a 8)＝65.

10．(2017届苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23

，则sin(α－β)的值为________．

答案 －13

解析 因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α

，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23

＝－13

. 11．函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )，若当x ∈? ??

??32，52时，f (x )＝? ??

??12x ，则f (2017)＝________. 答案 －14

解析 因为函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )，

所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，

函数f (x )是周期为6的函数，

f (2017)＝f (336×6＋1)＝f (1)，

由f (x －3)＝－f (x )可得f (－2－3)＝－f (－2)＝f (1)，

因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，

所以函数f (x )是偶函数，

f (－2)＝f (2)＝? ????12

2＝14

， 所以f (2017)＝f (1)＝－f (－2)＝－14

. 12．(2017·南京三模)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．

答案 13

解析 将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：AD ＋DC 1≥AC 1，当

且仅当A ，D ，C 1三点共线时取等号．此时BD ＝1，所以S △ABD ＝12

×AB ×BD ＝12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有BB 1⊥CB ，又AB ⊥CB ，易得CB ⊥平面

ABD ，所以C 1B 1⊥平面ABD ，即C 1B 1是三棱锥C 1－ABD 的高，所以11D ABC C ABD V V －－＝＝13×C 1B 1

×S △ABD ＝13×2×12＝13

. 13．(2017届苏北四市一模)已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________． 答案 36

解析 因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29

ab ，当且仅当9a ＝b 时等号

成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36.

14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b

2

－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B 的取值范围是__________． 答案 ?

????1，233 解析 方法一 原式可化为

1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B .由b 2－a 2＝ac ，得b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A ·cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3

??1，233.

方法二 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图．因为b 2－a

2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而

AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a 2，则c >a ，即c a

>1，在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即? ????c a 2－c a

－2<0，解得－1

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