34 线性算子的基本定理

线性泛函引论◇

3.4 线性算子的基本定理

汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach定理，知道一般的线性赋范空间X中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理．

汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem)

定理 设G为线性赋范空间X的线性子空间，f是G上的任一线性有界泛函，则存在X上的线性有界泛函F，满足

(1) 当x?G时，F(x)?f(x)； (2) F其中FXX?fG．

表示F作为X上的线性泛函时的范数；fG表示G上的线性泛函的范数．

延拓定理被应用于Riesz定理、Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中．

3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem)

在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．

定义3.4.1 逆算子(广义上)

设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，G?X，算子T：G?Y，T的定义域为D(T)?G；值域为R(T)．用T?1表示从R(T)?D(T)的逆映射(蕴含T是单射)，则称T?1为T的

逆算子(invertiable operator)．

定义3.4.2 正则算子

设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若算子T：G(?X)?Y满足 (1)T是可逆算子； (2) T是满射，即R(T)?Y； (3) T?1是线性有界算子， 则称T为正则算子(normal operator)．

注1 ①若T是线性算子，T?1是线性算子吗？②若T是线性有界算子，T?1是线性有界算子吗？

性质3.4.1 若T：G(?X)?Y是线性算子，则T?1是线性算子． 证明 y1,y2?Y，?,??K，由T线性性知：

T(T?1(?y1??y2)??T?1y1??T?1y2)?TT?1(?y1??y2)??TT?1y1??TT?1y2

?(?y1??y2)??y1??y2?0

由于T可逆，即T不是零算子，于是T?1(?y1??y2)??T?1y1??T?1y2，故T?1是线性算子．□

定理3.4.1逆算子定理

设T是Banach空间X到Banach空间Y上的双射(既单又满)、线性有界算子，则T?1是线性有界算子．

例3.4.1 设线性赋范空间X上有两个范数?1和?2，如果(X,?1)和(X,?2)均是Banach

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第三章 线性算子

空间，而且?2比?1强，那么范数?1和?2等价．(等价范数定理)

证明 设I是从由(X,?2)到(X,?1)上的恒等映射，由于范数?2比?1强，所以存在M?0，使得?x?X有

Ix1?x1?Mx2

于是I是线性有界算子，加之I既是单射又满射，因此根据逆算子定理知I?1是线性有界算子，即存在M'?0，使得?x?X有

I?1x2?x2?M'x1．

故范数?1和?2等价．□

3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem)

学习微积分时，我们知道闭区间[a,b]上的函数y?f(x)图形是xoy平面上的一条曲线，即为R2中的一个点集G(f)?{(x,y)y?f(x),x?[a,b]}，特别当f(x)?C[a,b]，这个点集G(f)为R2中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．

定义3.4.3 线性赋范空间的乘积

设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，考虑直积集X?Y?{(x,y)x?X,y?Y}，

?(x1,y1),(x2,y2)?X?Y，???K，在X?Y上定义加法和数乘，

(x1,y1)?(x2,y2)?(x1?x2,y1?y2)，?(x1,y1)?(?x1,?y1)

那么X?Y构成线性空间．设x?X,y?Y，其范数分别为x,y，于是在X?Y上可定义范数

(x,y)p?(x?y)(1?p???)，(x,y)2212pp1p??max(x,y)

?max(x,y)，可证明这些范

最常用的是(x,y)1?x?y，(x,y)2?(x?y)，(x,y)?数都是X?Y上的等价范数．此时称X?Y为X和Y的乘积空间．

注2 通过上述范数的定义可知乘积空间X?Y是线性赋范空间，于是在X?Y中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列{(xn,yn)}?X?Y收敛于

(x0,y0)当且仅当

(xn,yn)?(x0,y0)?(xn?x0,yn?y0)?0．

同时易证

(xn,yn)?(x0,y0)?xn?x0,yn?y0，

可见若F?X?Y，F闭集的的充要条件为：?An?(xn,yn)?F，若An?A?(x,y)，即xn?x，yn?y，则有A?F．

定义3.4.4 闭算子

设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若T的图像

G(T)?{(x,y)y?Tx,x?D(T)}

是乘积空间X?Y的闭子集，则称T为闭线性算子，简称闭算子．

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线性泛函引论◇

引理3.4.1 设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，T：G(?X)?Y是线性算子，那么T为闭线性算子??xn?D(T)，当xn?x?X，Txn?y?Y时，必有x?D(T)且Tx?y．

证明 ?如果T为闭线性算子，那么当xn?D(T)，xn?x?X，Txn?y?Y时，显然有{(xn,Txn)}?G(T)，而且在乘积空间X?Y中有(xn,Txn)?(x,y)，由于G(T)是X?Y中的闭集，

故(x,y)?G(T)，即x?D(T)，Tx?y．

(,x)y时，显然有xn?x，Txn?y，由条件知x?D(T)??(xn,Txn)?G(T)，当(xn,Txn)?且Tx?y．于是(x,y)?(x,Tx)?G(T)，即G(T)中的每一收敛点列的极限都在G(T)中，所以G(T)是闭集，即T为闭线性算子．□

注3 对于线性算子而言，已有三个主要的概念：连续性、有界性和闭性，其中连续性和有界性等价，因此，需要研究“线性有界算子”与“闭线性算子”之间的关系．

定理3.4.2 设T：D(T)(?X)?Y是线性有界算子，如果D(T)是X的闭线性子空间，那么T为闭线性算子．

证明 设xn?D(T)且有xn?x?X，Txn?y?Y．因为D(T)是X的闭线性子空间，所以

x?D(T)；又因为T有界，即连续算子，所以

y?limTxn?Tlimxn?Tx

n??n??故根据上述引理可得T为闭线性算子．□

注4 当D(T)?X时，若T：X?Y是线性有界算子，则由定理知T为闭算子． 定理3.4.3 闭图像定理

设X和Y都是Banach空间，T：D(T)(?X)?Y是闭线性算子，D(T)是X的闭线性子空间，那么T为线性连续算子．

证明 略．

推论3.4.1 设X和Y都是Banach空间，T?(X?Y)，那么

T为线性有界算子?T为闭算子．

D(T)?{x?Xx'(t)?C[0,1]}?C(1)[0,1]，例3.4.2 设X?C[0,1]，定义微分算子D：D(T)?X如下：?x?D(T)，Dx?dx(t)，则D是闭算子，但是D无界的． dt证明 由第三节例3.3.3后的反例知：令xn(t)?e?n(t?a)?C[0,1]，可得

xn?maxe?n(t?a)?1；Dxn?n??

t?[a,b]知T是无界的．下证T是闭算子．设xn?D(T)，且xn?x，Txn?y．因为在C[0,1]中的收敛是函数列的一致收敛，由x'n(t)?Txn(t)?y(t)，即x'n(t)在C[0,1]上一致收敛y(t)，所以有

?t0y(?)d???limx'n(?)d??lim?x'n(?)d??lim[xn(t)?xn(0)]?x(t)?x(0)

0n??n??0ttn??即x(t)?x(0)??0y(?)d?，从而x(t)?D(T) ，且Tx?x'(t)?y(t)，根据上述引理3.4.1(闭算子的等价条件)知，T是闭算子．□

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t第三章 线性算子

例3.4.2说明算子的闭性不蕴含有界，下面的例子则说明有界也不蕴含闭性．

例3.4.3 设X?C[a,b]，D(T)?P[a,b]是[a,b]上的实系数多项式函数的全体，再令T:D(T)?C[a,b]是恒等算子，那么T是线性有界算子，但T不是闭算子．

证明 因为?x?D(T)，Tx?x，所以显然有T是线性有界算子．令x(t)?sint?X?D(T)，由于D(T)?P[a,b在]X中稠密，所以存在点列{xn}?D(T)，使得xn?x(n??)，即Txn?xn?x，但是(x,Tx)?(sint,sint)?G(T)，故T不是闭算子．□

3.4.3 共鸣定理(The Banach-Steinhaus Theorem)

在许多数学问题中，常常会遇到一族算子的有界问题，而不是仅仅考虑某一个算子的有界问题，即需要讨论这一族线性有界算子在什么条件下一致有界？要回答这一问题，涉及到如下在理论和应用上大都十分重要的定理——共鸣定理．

定义3.4.5 一致有界

设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，F?B(X?Y)，如果{T T?F}是有界集，则称算子族F为一致有界．

定理3.4.4 共鸣定理

设X是Banach空间，Y是线性赋范空间，算子族F?B(X?Y)，那么

{T T?F}是有界集(F一致有界)??x?X，{Tx T?F}为有界集．

证明 (1) 必要性? 因为{T T?F}是有界集，所以存在M?0，?T?F，有T?M，于是?x?X，不妨设x?a，那么

Tx?Tx?Mx?M?a

因此{Tx T?F}为有界集．

(2) 充分性??x?X，定义x明(X,?F)完备．

如果xm?xnx?X，使得

xn?x?0(n??)．

FF?x?supTx，显然?F是X上的范数且比?强，下面证

T?F?xm?xn?supT(xm?xn)?0(m,n??)，由X是Banach空间知存在

T?F又因为???0，?N?N，使得只要m,n?N，便有

supTxm?Txn??．

T?F从而?T?F有

Txn?Tx?Txn?Txm?Txm?Tx?Txn?Txm?Txm?x?0(n??)．

因此得xn?x?supT(xn?x)?0(n??)，即xn?xT?FF?0，可见(X,?F)完备．

根据等价范数定理知范数?F和?等价，从而存在M?0，使得?x?X有

supTx?x?supTx?xT?FT?FF?Mx

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线性泛函引论◇

于是可得?T?F有T?M．□

注5 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F不一致有界时，即

sup{T T?F}??，则存在x0?X，使得sup{Tx0 T?F}??，称x0为算子族F的共鸣点．

例3.4.4 设无穷矩阵

?a11??a21A?????ai1????2i?1a12?a1ja22?a2j?????aij?ai2???????? ??????满足?aij??，j?1,2,3,?，并对任何x?(x1,x2,?,xi,?)?l2有

?a11??a21Tx?xA?(x1,x2,?,xi,?)????ai1???a12?a1ja22?a2j?????aij?ai2???????? ???????(y1,y2,?,yi,?)?y?l2

其中yj??xiaij，j?1,2,?，证明算子T是线性连续算子．

i?1?证明 显然T?(l2?l2)是线性算子，又知l2是Banach空间，所以由闭图像定理知，算子T连续等价于T是闭算子．设{xn}?l2，xn?x(n??)，Txn?y?l2，下面证明y?Tx．记

0,?,y0x?(x1,x2,?,xi,?)；Tx?(y10,y2j,?)；y?(y1,y2,?,yj,?)；

nn,?,ynxn?(x1n,x2,?,xin,?)；Txn?(y1n,y2j,?)．

由Txn?y知，对每一个j而言，有

y?yj?(?y?yj)?0 (n??)

njnjj?1?212另一方面对每一个j有

y?y?nj0j?(xi?1?ni?xi)aij

??(xin?xi)aij

i?1??(?aij)(?x?xi)

nii?1?i?1?212?212?(?aij)i?1212xn?x?0 (n??)

所以yj?y0j，即y?Tx．由闭算子的等价条件知T是闭线性算子．□

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第三章 线性算子

例3.4.5 (Fourier级数的发散问题) 存在一个周期为2?的实值连续函数，它的Fourier级数在t?0点发散.

证明 记周期是2?的实值连续函数全体为C2?，对于f?C2?，f导出的Fourier级数为：

?1a0??(ancosnt?bnsinnt)，其中 2n?1an?1?????f(t)cosntdt (n?0,1,2,?)；bn?1???f(t)sinntdt (n?1,2,3,?).

???1当t?0时，级数为a0??an，前n?1项部分和为

2n?1n11Sn(f)?a0??an?22?n?1??f(t)[1?2?cosnt]dt

?n?1?n1sin(n?)t2(计算略)，于是 记Kn(t)?1?2?cosnt，计算可得Kn(t)?1n?1sint2nSn(f)?12???f(t)K??n(t)dt．

下面证明存在f?C2?，使得{Sn(f)}发散．显然Sn:C2??R是线性泛函．又因为

Sn(f)?max{f(t)}?t?[??,?]12???K??n(t)dt?Mn?f

其中Mn?Sn?Mn?12?12???K??n(t)dt，所以Sn是C2?上的线性连续泛函．可证明Sn的范数为(t)dt(证明略)．

??K??n由于C2?是Banach空间，为了证明存在f?C2?，使得{Sn(f)}无界，根据共鸣定理，只需证{Sn}无界．因为

Sn?12?????1sin(n?)t?2dt?22sin(2n?1)sds (t?2s) 1??0sinssint2(k?1)?2(2n?1)k?2(2n?1)?2?2??k?02nsin(2n?1)ssds

??2??k?02n2n(k?1)?2k?2sinuudu (u?(2n?1)s)

1(k?21)?sinudu?2?sinudu k??k?0k?1?242n2???k?0(k?1)??(k?1)?2k?241?2?2?sinudu??k?0k?1?0?242n?k?1??

k?02n1所以{Sn}无界．□

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