矩阵可逆的若干判别方法 doc

山西师范大学本科毕业论文

矩阵可逆的若干判别方法

郭晓平

数学与计算机科学学院

数学与应用数学

0701班 0751010139

姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号

指导教师 宋蔷薇 答辩日期 成 绩

矩阵可逆的若干判别方法

内容摘要

对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。

【关键词】 矩阵 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 线性方程组

I

Some Methods for Judging Invertible Matrix

Abstract

The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.

Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.

【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix

Linear equations

II

目 录

一、引言…………………………………………………………………………………(01) 二、预备知识…………………………………………………………………………(01)

（一）基本概念…………………………………………………………………………(01) （二）可逆矩阵的性质…………………………………………………………………(01)

三、矩阵可逆的若干判别方法…………………………………………………(02)

（一）定义判别法………………………………………………………………………(02) （二）行列式判别法……………………………………………………………………(02) （三）秩判别法…………………………………………………………………………(02) （四）伴随矩阵判别法…………………………………………………………………(02) （五）初等变换判别法…………………………………………………………………(02) （六）初等矩阵判别法…………………………………………………………………(02) （七）矩阵向量组的秩判别法法………………………………………………………(03) （八）线性方程组判别法………………………………………………………………(03) （九）标准形判别法……………………………………………………………………(04) （十）多项式判别法……………………………………………………………………(04) （十一）特征值判别法…………………………………………………………………(05)

四、十种常见矩阵的可逆性……………………………………………………(05)五、矩阵可逆判别方法的实例…………………………………………………(07) 六、小结…………………………………………………………………………………(11)参考文献………………………………………………………………………………(11) 致谢………………………………………………………………………………………(12)

III

矩阵可逆的若干判别方法

学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇

一、引言

在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。

解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。

本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。

二、预备知识

（一）基本概念

定义1【1】 设数域F上,n阶方阵A，如果存在n阶方阵B满足条件AB?E且

?1

?E,就称A可逆,并且称B是A的逆,记B?A.

*定义2 记A中元素aij的代数余子式为Aij，令A*?(Aij)Tn?n,我们称矩阵A为A的

BA伴随矩阵。

定义3[1] 矩阵A的行秩和列秩称为A的秩，记作r(A). 定义4[2] 矩阵的三类初等行变换： (1)互换某两行的位置；

(2)用F中某个非零数乘某行； (3)将某行的数倍加到另一行上。

初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。

定义5 初等矩阵，是对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵。 定义6 对A施加一系列初等变换,它变为B,则称A与B等价。 （二） 矩阵可逆的性质 性质1 (A?1)?1?A; 性质2 (A?1)T?(AT)?1; 性质3 (AB)?1?B?1A?1; 性质4 (kA)?1?k?1A?1;

性质5 矩阵A与它的伴随矩阵A*具有相同的可逆性，即A可逆?A*,且

(A*)?1?AA*

)?r(A)性质6[2] 设A?Fm?n,P,Q分别是m阶和n阶可逆方阵，r(PAQ

- 1 -

.

且r(PA)?r(AQ)

三、矩阵可逆的若干判别方法

（一）定义[1]判别法

设对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B满足条件AB?E且BA?E,就称A可逆,并且称B是A的逆,记B?A?1.

注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。

（二）矩阵行列式判别法

定理[2]：A可逆?A是方阵且A?0（非退化）。

（三）秩判别法 n阶矩阵A可逆?r(A)?nr(A)?n.

?n证明:由A可逆，知

A?0,再由矩阵秩的定义，可得r(A).所以由A可逆可推得

.反过来，必要性也显然成立。 （四）伴随矩阵判别法 A可逆?存在B?1AA*,使得AB?BA?E?1.

A* 证明：若A可逆，则显然A?0,且A1A*?1A. ,

反过来，如果有 B 则 A?1?A,AB?BA?E?B?1AA*. (1)

注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。

（五）初等变换判别法

对矩阵A施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B,则B可逆?A可逆。

证明：设用初等行或列变换，将A变为B,因为初等变换是等价变换，从而并不改变A的秩，所以A与B秩相等，故A与B有相同的可逆性，从而B可逆?A可逆。

命题得证。

（六）初等矩阵判别法

定理[1]：方阵A可逆?A可表成一些初等矩阵的乘积： A?Q1Q2?Qs.

证明：充分性,由题知， A则有

A?Q1Q2?Qs?Q1Q2?Qs,

?0?Q1Q2?Qs,

故A可逆。

必要性的详细证明见于参考文献[1]第191页。 证毕。

定理[1]：方阵A可逆?A可以经过初等行变换化为单位矩阵。

证明：必要性，由矩阵A可逆，知它可以表示成一些初等矩阵P1P2?即A

Ps的乘积，

?P1P2?Ps,从而Ps?1?P2P1A?E?1?1,也就是说，A可以经过初等行变换化为单

- 2 -

位矩阵。

充分性，若A可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵P1,P2,?,Ps,

使得 P1P2故 A?P?11?PsA?E2,从A?1?P1P2?1?1?1?Ps?1, ,

P?1?Ps?1?P1P2?Ps?1?1?0因此A可逆。 证毕。

注：施加一系列初等行变换，可逆矩阵A可化为单位矩阵，那么类似地施加一系列初等列变换可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列初等行变换进行以下过程(AE)?(E A?1),则矩阵里右面的块即为A的逆矩阵。同理,作列变换时，则相应地进行???A??E?A??????1??这一过程，矩阵里下面的块即为的逆矩阵。

?E??A? （七）矩阵的向量组的秩判别法

1.定理[2]：n阶方阵A可逆?A的各列（行）线性无关。 2.n阶方阵A可逆?A的列（行）向量组的秩等于n.

证明：A可逆等价于r(A)?n,从而r(A)?n,从而A的各列（行）线性无关，从而A的列（行）向量组的秩等于n.

将上述论述反过来说也是完全成立的。 命题得证。

（八）线性方程组判别法

?a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0??a21x1?a22x2???a2,2nx2n?01. 齐次线性方程组 ????????an1x1?an2x2???an,2nx2n?0?即AX?O（A为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解?A可逆。

证明：用?1,?2,?,?n分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为

x1?1?x2?2???xn?n?0

,

方程组只有零解，即x1?x2???xn?0,从而?1,?2,?,?n线性无关，而?1,?2,?,?n线性无关的充要条件为A可逆。故命题得证。

?a11x1?a12x2??ax?a22x22.非齐次线性方程 ?211???ax?axn22?n11???a1nxn?b1,???a2nx2?b2,??????annxn?bn.

即AX?O（A为该方程组的系数矩阵）有唯一解?

A可逆。

?a1j??a2j?????a?nj????(1?j?n)???证明：用?1,?2,?,?n分别代表系数矩阵各列，即?j,则方程组

可以写成向量形式 x1?1?x2?2???xn?n??,

- 3 -

由D?A?0,知?1,?2,?,?n成Fn?1的一组基，故Fn?1每个向量?都可以写成

,

?1,?2,?,?n的线性组合的形式，

即 x1?1?x2?2???xn?n??且系数x1,x2,?,xn由?唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。 反过来，若方程组有唯一解，则必然有D （九）标准形判别法 引理

[1]

?A?0,否则，方程组无解或有无穷多解。

On?r??Os?r?：任何一个s?n?Er矩阵A都与一个形式为??Os?r 的矩阵等价，该矩阵称

为A的标准形，且r?r(A).其中Er为单位矩阵,O为零矩阵。

n阶方阵A可逆?矩阵A的标准形是E(n).

证明：根据引理可知，任何一个矩阵都可经过初等行或列变换化成引理中的标准对角阵。如果A可逆，那么A的秩只能是n,等于矩阵A的阶数，从而其标准形只能是单位矩阵。

反过来，如果A标准型是n阶单位矩阵，由引理，知A的秩为n,故A可逆。 注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。 （十）多项式判别法

n?n的矩阵A可逆?有多项式f(x),满足f(A)?O,且常数项不为零。 证明：必要性，设A?(aij)n?n，f(?)是n?n的矩阵A的特征多项式，则

顿凯莱nf(?)??E?A???(a11?a22???ann)?n?1???(?1)An.

由A可逆,知定理，知

A?0,从而(?1)nA?0,即多项式f(?)的常数项不为零。又根据哈密

n?1f(A)?An?(a11?a22???ann)A???(?1)AEn?0,

,

故A的特征多项式f(?)为题中所求。

充分性，设有一常数项不为零的多项式则有

f(A)?Of(x)?amxm?am?1xm???a1x?a0(a0?0),即amAm1?am?1Am?1?L?a1A?a0E?O(a0?0)m?1，

所以 amAm 从而 ?a0(amA1?am?1Am?L?a1A??a0Em?1，

, ，

?am?1Am???a1)A?E 即 [?a0(amA?am?1Am?1???a1)]A?E故A可逆。

（十一）特征值判别法

n?n的矩阵A可逆?矩阵A的特征值全都不是零。

证明：必要性，假设n?n的矩阵A的特征多项式为f(?)，则

f(?)???(a11?a22???ann)?nn?1???(?1)nA,

根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于

A,又由A可逆，知A?0,故所有

A特征值全不为零。

充分性，因为所有特征值全不为零，而所有特征值之积等于逆，从而命题得证。

- 4 -

,故A?0,从而A可

四、十种常见矩阵的可逆性

?1??0（一）单位矩阵E??????001?0????0??0?是可逆????1?的。

证明：显然EE?E成立，根据矩阵可逆的定义，可得单位矩阵道EkE?E，故Ek也是可逆的。

?b??0（二）数量矩阵B??????00????E可逆。而且知

b?00??0?????b?可逆。

证明：显然B?bE,而单位矩阵E是可逆的，再由矩阵可逆的性质4(kA)?1知， B?1?(bE)?1?b?1E?1?b?1E， 故B可逆。

?a??0（三）令对角矩阵A??????00b?0????0??0?????s??k?1A?1 如果它的主对角线上的元均不为零，则A是

可逆。

证明：记

?a??0 A??????00b?0????0??0?????s????? B??????1a0?001b?0?????0??0????1??s?,

显然AB?BA?E,根据矩阵可逆的定义，故A是可逆的。

（四）分块矩阵

1.设m?m矩阵C与n?n矩阵D,都是可逆的,

?C则(1)准对角矩阵????(2)???D??C??可逆，且??D??C?????1???D?D?1?C?????1???1?D?;

C????可逆，且???D??????C?1?1????.

证明：(1)因为C,D可逆，因而C?1,D?1存在，又因为

?C ?????C???D????1?1D?1??C????????1?1D??C??????????ED?，

?C故?????C??可逆，且??D?????D??C?????1???1?D?,

- 5 -

?1?类似地，我们可以证明???DC???可逆，且?????D,D?Fn?nC?????????C?1D?1?1????.

2.设S?Fm?n,C?Fm?m,且C,D可逆，

S???E??1?E则(1)分块矩阵????C(2)分块矩阵???S???E??E与???S??E??可逆，且??E??S???D??1?E?????1?S???,E??1?E???S???E??1?E?????S???; E?S??C??可逆，并且??D???Fm?n?C?????CSD?1D????.

S?Q???E?证明：(1)因为对Q任意,我们有????ES??E????E???1Q??E?????E??成立，

?E特别地，若令Q??S，我们可以得到：????E同理，我们可得到： ???S?C(2)因为 ????1?1S???E??E?????S???, E????E??1?E?????S???. E?CS???E?C?1D??C??????S??E?????D???1 ,

?1?C 进而有 ???S??C?????D???1???1?D?S???E??1?1?1?E????1S???E?

?1?C 所以 ???S???D??E=????C?C???D?1??C????????C?1SD?1?1D????.

（五）正交矩阵是可逆的。

证明：设A是正交矩阵，根据正交矩阵的定义,可以得到AAT?E,故A是可逆的。 （六）当i?j(i?j)时，有aij?0,矩阵A?(aij)称为上三角形矩阵，可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。

证明:令

E?a11?A??????a1n????ann???b11?,设B????b?n1???b1n????bnn??是A的逆，即AB?BA?E,比较

和AB的第一列元素：

1?a11b11?a12b12???a1nb1n,0?a21b21?a22b22???a2nb2n, ?0?an?1,n?1bn?1,1?an?1,nbn1,0?annbn1,

因为

A?0，故a11?0,a22?0,?,ann?0?0,因而bn1?bn?1,1???b21?0.同理可以比

较其它列，得i?j时,bij,所以B是上三角形矩阵，故可逆上三角形矩阵的逆仍是上

三角形矩阵。

同理，结论对下三角形矩阵也是成立的。

（七）如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的。

- 6 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9277.html