极坐标与参数方程基本题型-2019年高考一轮复习资料：四种基本题

扎实基础，提升不难 极坐标与参数方程高考高频题型

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

d?r:相离，无交点；d?r:相切，1个交点；d?r:相交，2个交点；

用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d?Ax0?By0?CA?B22，算出d，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路1：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d? 第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：dmax?d?r，dmin?d?r 相切、相交：dmax?d?rdmin?0

思路2：用参数方程来做

Ax0?By0?CA?B22

题型三：直线与圆的弦长问题

弦长公式l?2r2?d2，d是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式l?t1?t2,解法参考“直线参数方程的几何意义”

（二）距离的最值： ---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角

①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式

③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一

例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为???x?3cos?(?为参数)，

y?sin???扎实基础，提升不难 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?22． （I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标

x2Ⅰ）C1的普通方程为?y2?1， 3?4C2的直角坐标方程为x?y?4?0.

?（解说：C1：?x?3cosα利用三角消元：移项-化同-平方-相加 ?y?sinα这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

?x2?x2?cosαx2???cosα?两边同时平方?3?两道式子相加?y2?1?33?y?sinα?y2?sin2a?? （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?) （解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示） 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值，

d(?)?|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.

32（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）

???1时即当??2k??(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标当sin（??）3631为(,).

22

（三）直线参数方程的几何意义

扎实基础，提升不难 ?x?x0?tcos?1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?若A，B为直线l上(t为参数）?y?y0?tsin?两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0=

t1＋t2

2

；

(2)|PM|=|t0|=

t1＋t2

2

；

(3)|AB|=|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|=|t1·t2|

2??t1?t2?(t1?t2)?4t1t2,当t1t2?0（5）PA?PB?t1?t2????t1?t2,当t1t2?0

（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长l?t1?t2； 2.解题思路

第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2?bt?c?0

bc第三步：韦达定理：t1?t2??,t1t2?aa

第四步：选择公式代入计算。

3?x＝5＋t，?2

例如：已知直线l：?

1

y＝3＋t?2?

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

扎实基础，提升不难 3?x＝5＋t，?2

(2)将?

1

??y＝3＋2t

代入②式，得t＋53t＋18＝0.

2

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 变式训练：

22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为{x?3cos?，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （?为参数）

y?3?3sin?（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）已知倾斜角为1350且过点P?1,2?的直线l与曲线C交于M,N两点，求

11?的值. PMPN答案：(1)??6sin? (2)

116?? PMPN7

（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。 例如：（2016?福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（其中α为参

数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=

（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．

（其中α为参数），

解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7． ∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1， 化简，得ρ=2cosθ． （Ⅱ）依题意设A（

），B（

），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

扎实基础，提升不难 将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0， 解得ρ1=3， 同理，将

（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得

．

，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣

（五）面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题

例题2016?包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

，（t为参

数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

，A，B两点的极坐标分别为

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：（1）由

，化简得：

，

．

消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2， ∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2． 由ρcos（θ+

）=﹣

，化简得

ρcosθ﹣

ρsinθ=﹣

，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0， 则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0； （Ⅱ）将A（2，∴|AB|=

设P点的坐标为（﹣5+

），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

=2cost，3+

， sint），

=

，

∴P点到直线l的距离为d=∴dmin=

=2

，

×2

=4．

则△PAB面积的最小值是S=×2

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