高考攻略 黄冈第二轮复习新思维 数学专题八 空间图形位置的几何

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专题八 空间图形位置的几何证明 命题人；董德松 易赏

一、选择题1.若a、b是异面直线，则以下命题正确的是A.至多有一条直线与a、b都垂直B.至多有一个平面分别与a、b平行C.过a至少有一个平面平行与bD.过a至少有一个平面垂直与b2.直线a与平面a成?角，a是平面a的斜线，b是平面a内与a异面的任意直线，则a与b所成的角A.最小值为?，最大值为???C.最小值为?，无最大值B.最小值为?，最大值为2?D.无最小值，最大值为23.对于直线m、n和平面?、?，???的一个充分条件是A.m?n，m∥?，n∥?B.m?n，????m，n??C.m∥n，n??，m??D.m∥n，m??，n??4.如图28，正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中点，P是A1B1上的动点，则直线PO、AE的位置关系A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.异面但不垂直

?5.如图直线l、m与平面?、?、?满足：l????，l∥?，m??和m??，那么必有A.???且l?mB.???且m∥?C.m∥?且l?mD.?∥?且???6.若平面???，????l，且点P??，P?l，则下列命题中的假命题是???A.过点P且垂直于?的直线平行于?B.过点P且垂直于l的直线在?内C.过点P且垂直于?的直线在?内D.过点P且垂直与l的平面垂直与?7.已知??l??是大小确定的一个二面角，若a，b是空间两条直线，则能是a、b所成的角为定值的一个条件是A.a∥?且b　∥?B.a∥?且b??C.a??且b∥?D.a??且b??

8.设a、b是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，则下列四个命题①若a?b，a??，则b∥?②若a∥?，???，则???③a??，???，则a∥?④若a?b，a??，b??，则???其中正确的命题个数是A.0个B.1个C.2个D.3个9.在下列命题中，真命题是A.若直线m，n都平行于平面?，则m∥nB.若直线m，n在平面?内的射影依次是一个点和一条直线，且m?n，则n在?内或与平面?平行C.设二面角??l??是直二面角，若直线m?l，则m??D.设m，n是异面直线，若m与平面?平行，则n与?相交10.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线二、填空题11.在?ABC中，?C?90?，AB?8，?ABC?30?，PC?面ABC，PC?4，P'是AB上一动点，则PP'的最小值为12.如图30所示，已知三棱锥P?ABC中，PA?PC，BC?平面PAC，下列五个结论正确的是①平面PAB?平面PBC②平面PAB?平面ABC③平面PAC?平面ABC④平面PAC?平面PAB⑤平面PBC?平面ABC13.如图31.正方体ABCD?A1B1C1D1中过点A做截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成角相等，试写出满足这样条件的一个截面（只需写出一个截面即可）

三、解答题14.已知矩形ABCD中，AB?1，BC?a(a?0),PA?平面ABCD，且PA?1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQ?QD，并说明理由

（2）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ?QD，求这时二面角Q?PD?A的大小

15.直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC为直角的等腰直角三角形，AC?2a，BB1?3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF?平面B1DF，若存在，求出|AF|若不存在，说明理由

16.已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB中点，如图34（1）求证：A1C?BD（2）设P为正方体对角线A1C上任意一点，问A1C与平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，请求出；若没有，请说明理由

专题八 空间图形位置的几何证明（答案）

一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 二、11.27三、

12.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)设BQ?x.则QC?a?x,QP?QB?BA?AP,QD?QC?CD由QP?QD?（QB?BA?AP）（?QC?CD）?QB?QC?BC?CD??x(a?x)?1?x2??ax?1?0欲使这个方程有解，必须a2?4?0因此，当a?2时，点Q存在；当a?2时，只存在一个点当0?a?2时，这样的点不存在(2)当存在唯一点Q时，a?2.此时，由x2?2x?1?0得x?1，即Q点恰为BC之中点，由于平面PAD法向量是AB，设平面PQD的法向量为n?AB??AD??AP，则由n?QD?(AB??AD??AP)?(QC?CD)??1?2??0及n?PD?(AB??AD??AP)?(AD?AP)?4????011解得??,??2,?n?AB?AD?2AP,记二面角为?22AB?n16则cos????1?1?46|AB||n|6615.解析：以B为坐标原点，以BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系???arccos?AC?2a,?ABC?90?,?AB?BC?2a?B(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)假设存在点F，要使CF?平面B1DF，只要CF?B1F，且CF?B1D，不妨设|AF|?b，则F(2a,0,b),CF?(2a,?2a,b),B1F?(2a,0,b?3a),B1D?(?CF?B1D?a2?a2?0,?CF?B1D恒成立B1F?CF?2a2?b(b?3a)?0?b?a或b?2a故当|AF|?a或2a时，CF?平面B1DF16.解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则：1A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1,,0)2A1C?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)?A1C?BD?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)?A1C?BD

22a,a,0)22(2)令A1P??A1C,??[0,1]11?BE1?(0,,1),EA1?(0,?,1),A1C?(?1,1,?1)221?EP?EA1?A1P?(??,??,1??)2平面PEB1的法向量n?(2?3?,?2?,?)23

310|A1C|?|n|314(??)2?773210210当??时，sin?最大值为，?的最大值为arcsin7151522当??1时，sin?最小为，?的最小值为arcsin。33?最大值与最小值均存在设A1C与平面PEB1所成角为?，则sin???

|A1C?n|

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310|A1C|?|n|314(??)2?773210210当??时，sin?最大值为，?的最大值为arcsin7151522当??1时，sin?最小为，?的最小值为arcsin。33?最大值与最小值均存在设A1C与平面PEB1所成角为?，则sin???

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