三角函数的图像与性质

走进高考·数学（第1轮） 知识梳理 2013年7月

第8章 三角函数

08—01 三角函数的图像与性质

一、点一点——高考目标明示

1.通过实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义

2.知道一般周期函数的解析描述和图像特征，掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、最大值和最小值等性质.

3.掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像. 4.类比正弦函数的研究方法，掌握正切函数的性质和图像.

二、试一试——高考真题点击

1．（2012杨浦模拟）“tanx??5π3”是“x?”的 ( )

63 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

2.（2013崇明模拟）设函数f(x)?sinx,x?R，则下列结论错误的是 （ ）

A.f(x)的值域为[0,1] C.f(x)不是周期函数

B.f(x)是偶函数 D.f(x)不是单调函数

3.（2012静安模拟） 若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P(sinB?cosA,cosB?sinA)是( )

A.第一象限的点 B.第二象限的点 C.第三象限的点 D.第四象限的点

4.（2012崇明模拟）已知函数f(x)?cos(2x?)（x?R），下面结论错误的是 （ ）

2A.函数f(x)的最小正周期为? B.函数f(x)是奇函数

C.函数f(x)在x?

??4

时，取得最小值

???D.函数f(x)在区间?0,?上是减函数

?2?5.函数y?tanx?sinx?|tanx?sinx|在区间???3?,22???上的图像大致为 （ ） ?

26．（2012华师大一附中模拟）已知a?0，且函数y?1?2sin(ax)的最小正周期为?，则

a?_________.

7.（2012静安模拟）函数f(x)?1的定义域为 .

sinx?cosx?18．（2011上海高考）函数y?sin(?2?x)cos(?6?x)的最大值为 . 参考答案：1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.1

——1——

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7.?xx?R,x?2k?????2?3? ,x?2k???,k?Z? 8.42?

三、理一理——重要考点梳理

1.正弦、余弦、正切和余切函数图像与性质：

函数 图像与性质 y?sinx y?cosx y?tanx y?cotx 图像 定义域 R R ????xx?k??,k?Z? 2??R 奇函数 最小正周期T?xx?k?,k?Z? R 奇函数 值域 奇偶性 周期性 ??1,1? 奇函数 最小正周期T?2? ????2k??,2k????22?上在???1,1? 偶函数 最小正周期T?2? 在?2k???,2k??上单调递增；在?? 最小正周期T?? 单调性 单调递增；在?3??上?2k??,2k????22??在?k???,k????上单调??22??递增.（k?Z） 在?k?,k????上单调递减.（k?Z） ?2k?,2k????上单调递单调递减.（k?Z） 减.（k?Z） 对称轴：x?k???； 对称轴：x?k?； 2对称中心：对称性 对称中心：?k?，0?.??.?0??k??，2??无对称轴，对称中心??k??，0?.（k?Z） ?2?（k?Z） x?2k??（k?Z） ； .?2,ymax?1x?2k?,ymax?1； x?2k???,ymin??1.最值 x?2k???2,ymin??1没有最大值，也没有最小值 （k?Z） 2.“五点法”画图： （k?Z） （1）y?sinx的图像在?0,2??上的五个关键点的坐标为?0,0?、?

????3??,1?、??,0?、?,?1?、?2??2??2?,0?.

（2）y?cosx的图像在?0,2??上的五个关键点的坐标为?0,1?、?????3??,0?、??,?1?、?,0?、?2??2? ——2——

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?2?,1?.

温馨点睛：

1.三角函数的图像与其性质是一个整体,在研究性质时,往往利用它的图像更加直观. 2.正切函数y?tanx，x??k??内是单调递增函数.

3.函数y?Asin???或y?Acos??x???（A?0，??0）的周期T???x???2,k?????（k?Z）是单调递增函数，但不能说函数在其定义域2?2??，函数

y?Atan???（A?0，??0）的周期T???x?. ?4.对于求y?Asin??x???或y?Acos??x???或y?Atan??x???（A?0，??0）的单调区间，只需把“?x??（??0）”视为一个“整体”，代入y?sinx或y?cosx或y?tanx相应单调区间内，再根据A的符号判断单调区间.

四、拨一拨——典例精析与同类变式

例1.（1）求函数y?lgsin2x?9?x2的定义域； （2）求函数y?cosx?sinx?x?2?????的最大值与最小值. 4?【分析】（1）对数的真数大于零，被开方数大于零，再根据正弦函数图像求x的范围； （2）将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决.

???sin2x?0,?k??x?k??,k?Z，??【解答】（1）由题意，? 229?x?0????3?x?3. ??x?3?x?????2或0?x????. 2?2?22?15??2, （2）设sinx?t，x?，则t????.?y?1?sinx?sinx???t???，

4?2?4?22?? ?t?1?5?21?2时，即x?，ymax?；t??时，即x??，ymin?. 264422【评述】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象

来求解.

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y?asinx?bcosx?c的三角函数化为y?Asin??x????k的形式，再求最值

(值域)；

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②形如y?asin2x?bsinx?c的三角函数，可先设sinx?t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y?asinxcosx?b?sinx?cosx??c的三角函数，可先设sinx?cosx?t，化为关于t的二次函数求值域(最值).

【同类变式】1.（1）求函数y?lg?2sinx?1???tanx?1的定义域；

?x??cosx????28? （2）求函数y?sinxcosx?cosx?sinx的最大值和最小值.

参考答案：1.（1）?x2k?????2?x?2k??1?223??，ymin??1 ,k?Z? （2）ymax?24???例2.（1）已知函数f?x??sinx?3cosx，函数y?f?x??????称，则?的值为_________；

（2）若函数y?3cosx???的图像关于点??2_________.

【解析】（1）?f?x??sinx?3cosx?2sin?x????的图像关于直线x?0对

2??4??,0?中心对称，那么?的最小值为3??????3??，?f?x????2sin?x????????. 3??y?f?x???的图像关于直线x?0对称，?y?f?x???为偶函数，

??3????2?k?，k?Z，????6?k?，k?Z.又???2，??=?6.

（2）由题意，3cos?2? ???4?2?????2??????3cos?2??????3cos?????0， 33????3?2???????k??，k?Z，???k??，k?Z，取k?0，?的最小值为. 3266【评述】正弦、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图像只是中心对称

图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用. 【同类变式】2.（1）已知函数f?x??asinx?cosx?1，其图像关于直线x?

?4

对称，则实数

a?__________；

（2）已知函数f?x??cos?x???的图象关于坐标原点成中心对称图形，则

??________.

?参考答案：2.（1）1 （2）k??，k?Z

2

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例3.已知函数f?x??log1?sinx?cosx?.

2 （1）求f?x?的定义域和值域；（2）求f?x?的单调区间；（3）判断f?x?的奇偶性； （4）判断f?x?的周期性，若是周期函数，求出f?x?的最小正周期.

【分析】（1）令对数的真数大于零，求出x的范围为定义域，根据三角函数的有界性求出值域；

（2）函数为复合函数，据符合函数的单调性同增异减，外函数是减函数，求出内函数的递增

区间为函数的递减区间；内函数的递减区间为函数的递增区间；

（3）判断函数的奇偶性先看定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； （4）根据函数最小正周期的定义，求出周期． 【解答】（1）由题意，sinx?cosx?0，即2sin?x???????2k??x??2k???，k?Z，， ?0?44??5???f?x?的定义域为?2k??,2k??44??1??f?x????,???.

?2?（2）?sinx?cosx?令2k??????k?Z（）.又， 2sinx?????0,2??4???????2sin?x??，

4????2k??3?；

24244??3?3?7??x?2k??令2k???x??2k??，解得2k??；

24244?x?，解得2k??????x?2k??根据复合函数的单调性及函数的定义域知：

f?x?的单调增区间是?2k????3?5?,2k??44?， ?（k?Z）

??3???f?x?的单调减区间是?2k??,2k???（k?Z）.

44?? （3）解法一：?f?x?定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，?f?x?是非奇非偶函数． 解法二：?f??x??log1??sinx?cosx?，

2?f?x??f??x??log1?sinx?cosx??log1??sinx?cosx??log1cos2x，

222由于此式子不恒为零，?f?x?不是奇函数.又f?x??f??x??

log1?sinx?cosx??log1??sinx?cosx??log1222cosx?sinx，此式子不恒为

cosx?sinx ——5——

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/91x3.html