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第8章 3D实体结构分析 195

第8章

3D实体结构分析

Analysis of 3D Structural Solids

真实世界中的问题都是3D的，但是很多问题可以简化成2D或甚至于1D的问题。不过这种简化的过程需要具备较多的背景知识及经验。如果你把一个问题model成3D的问题来解，往往是最简单、最方便的（但是却是最耗计算时间的），因为分析模型会最接近真实世界中的模型，这就是为什么我们从3D的问题来着手。但是原则上一个问题如果能做适当的精简（譬如简化成2D的问题，或者利用其对称性），则你最好尽量做精简的工作。这种精简工作是分析工程师的训练重点之一，不只是可以有效率地利用计算机计算资源，更重要的是，通常比较能够抓住问题的本质。

第1节我们要介绍一个最简单、最常用的3D实体结构元素，在ANSYS中的编号叫做SOLID45。当我们使用「3D实体结构」这个名词时，是为了区别于如「3D梁结构」、「3D版壳结构」等名词。这些可以认为是1D（梁元素）或2D（板壳元素）的元素布置在3D的空间上，而3D实体结构是指3D元素布置在3D空间上。

第2节以一个实例来应用这个元素。除了作为元素的应用练习外，这个实例也是作为前几章所介绍的命令的综合应用。第3节会浏览其它的3D实体元素，包括结构、热传、流场、电场、磁场、及偶合场问题的元素。第4节以一个练习题作为结束。

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196 第8章 3D实体结构分析

第8.1节 SOLID45：3D实体结构元素

SOLID45: 3D Structural Solid Element

当你查阅ANSYS Element Reference [Ref. 6] 中的某一个元素时，说明的文字可以分成三个主题：Element Description、Input Data、及Output Data。本小节也是依此顺序来介绍SOLID45元素。在介绍SOLID45元素之前，我们先强调一点：本书所提到的元素名称，如SOLID45、BEAM3等，这些编号是ANSYS的专用编号，跳脱ANSYS之外时，这些编号并没有很大的意义。相对的，以3D Structural Solid Element来取代SOLID45，或以2D Beam Element来取代BEAM3则是较适当的。

8.1.1 SOLID45元素描述

Figure 8-1 SOLID45 Element [Ref. 6]

SOLID45是用来建构3D实体结构的最基本元素（在此是指ANSYS最早发展的元素），如Figure 8-1所示，本图片直接取自Ref. 6, SOLID45。这个元素有8个位于顶点的节点（编号为I, J, K, L, M, N, O, P），所以是属于线性元素

[Sec.

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第8.1节 SOLID45：3D实体结构元素 197

2.3.5]；每一个节点有3个自由度，分别为UX, UY, UZ，亦即X、Y、Z三个方向的变位。这个元素的形状通常是一个六面体（hexahedron），但是当某些节点重迭在一起时，这个元素可以退化（degenerate）成三角柱（prism）或是四面体（tetrahedron），如Figure 8-1右边所示。当ANSYS在自动切割网格时，需要用到三角柱或四面体时会把某些节点重迭在一起。

这个元素除了支持linear elasticity外，还支持 plasticity、creep等非线性材料模式，及large deflection、large strain等几何非线性功能；其它支持的功能包括stress stiffening等。SOLID45虽然包含很多功能，但是因为其历史非常悠久，所以并未包含较新发展的理论，尤其是大变形理论及新的材料模式，所以ANSYS后来发展其它元素来改善这些缺失，这些较新的元素编号都是以18开头（例如SOLID45所相对应的SOLID185元素），以后我们统称之为18X elements。不过对线性分析或简单的非线性分析而言，用SOLID45或SOLID185，其结果应该是一致的。

8.1.2 SOLID45输入数据

SOLID45的输入数据可以整理成如Figure 8-2的表。SOLID45不需输入任何real constants。Material properties包括EX（Young’s modulus）、NUXY（Poisson’s ratio）、GXY（shear modulus）、ALPX（coefficient of thermal expansion）、DENS（mass density）、DAMP（damping）。注意，在Figure 8-2中假设材料是等向性的，所以只列出EX、NUXY、GXY、ALPX等材料性质。事实上SOLID45支持正交性材料 [Sec. 4.4.5]，你可以输入主方向（X、Y、Z方向）的材料性质，譬如EX、EY、EZ。对于线性弹性材料而言，最多只要这些性质就够了。事实上依分析类别的不同，有些性质是不需输入的。对任何问题而言，EX、NUXY、GXY三者必须输入其中二者，第三者依Eq. 2.12计算。ALPX只有在有热负载时才需要输入（因为需要计算热变形量）。DENS只有在动力分析（ANTYPE = MODAL、HARMIC、TRANS）时 [Sec. 4.2] 或需要计算惯性力（使用ACEL、OMEGA命令）时 [Sec. 7.1.1] 才需要输入。动力分析时，可以输入材料性质DAMP或其它方式来指定阻尼值，我们将在动力分析的章节 [Chapter 15]

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198 第8章 3D实体结构分析 再来讨论。除此之外，当你使用非线性材料模式时，你需要输入更多的材料参数。SOLID45支持plasticity、creep等非线性材料模式，关于plasticity请参阅Ref. 6, Sec. 2.5.1. Nonlinear Stress-Strain Materials，关于creep请参阅Ref. 6, Sec.

2.5.8. Creep Equations。

Figure 8-2 SOLID45 Input Summary

Figure 8-2中的Surface Loads是指当你使用诸如SF或SFE命令

[Sec. 7.1.1] 时，这个元素可以输入的surface loads种类。这个元素唯一可以输入的surface loads是pressure；当需要指定pressure作用的面时（SFE命令的LKEY参数），这里也标明每个面的编号，譬如第一个面是指JILK。Body Loads是当你使用诸如BF或BFE命令 [Sec. 7.1.1] 时，这个元素可以输入的body loads种类。这个元素唯一可以输入的body loads是temperature（惯性力以ACEL、OMEGA输入），你甚至可以分别对八个节点输入不同的温度。

接下来是KEYOPT’s [Sec. 6.3.2]。KEYOPT(1)是控制这个元素要不要包含额外的形状函数（extra displacement shapes）。我们

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第8.1节 SOLID45：3D实体结构元素 199 在Sec. 2.3.4介绍了形状函数（shape functions）的观念，形状函数是用来内差变位场的，所以它们决定了变位场的形式，譬如形状函数是线性时，这个元素的变位会维持所有的边为直线、所有的面为平面。原始的SOLID45元素（未包含额外的形状函数时）就是一个线性元素，因为要维持所有的边为直线、所有的面为平面，所以显得相当「僵硬」。事实上原始的SOLID45单一元素完全无法弯曲，当用它来建构诸如梁、版壳等以弯曲为主的结构时，结构刚度往往高估很多 [Ref. 3, Sec. 3.6. Improved Bilinear Quadrilateral]，甚至到达无法接受的程度。解决这个问题的方法之一是加上一些额外的形状函数，使得SOLID45元素可以教合理地弯曲，这就是KEYOPT(1)的含意，它的默认值是有包含额外的形状函数。大部分的情形采用默认值是较合理的（虽然多了一点点计算工作）。

KEYOPT(2)是要不要使用reduced integration，以下简单地说明这是什么意思。有限元素法是用高斯积分方法 [Eg., Ref. 2, Sec. 4.5. Gauss Quadrature and Isoparametric Elements] 去计算每一个元素的刚度矩阵。高斯积分法的精度依「高斯积分点」的增加，积分值就越准确，但是积分时间也依积分点的数目而倍数地增加。对1D的积分而言，如果只有n个高斯积分点，我们说它是order = n的高斯积分。对2D的积分而言，order = n时则有n2个高斯积分点；而对3D的积分而言，order = n时则有n3个高斯积分点。一般常用的是order = 1, 2, 或3，ANSYS为了节省计算时间及其它原因 [Ref. 3, Sec. 4.7. Stress Calculation and Gauss Points]，其默认值是采用order = 2。你可以选择使用order = 1，这就是所谓reduced integration。选用reduced integration时节省了很多计算时间（尤其需要很多计算工作的动态分析问题），精度常常还是可以接受的（只要元素切得够细），但是却产生另外一个问题：hourglass instability；ANSYS设计了一些称为hourglass control的机制来避免这个问题。更详细的解说请参考Ref. 3, Sec. 4.6. Choice of Quadrature Rule. Instability。

KEYOPT(4)可以选择Element CS：平行于Global CS，或以元素的I-J边为X轴而以I-J-K-L为X-Y平面。KEYOPT(5)和KEYOPT(6)，是在控制数值的输出。

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200 第8章 3D实体结构分析

8.1.3 SOLID45输出数据

Figure 8-3 SOLID45 Output Definitions

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第8.1节 SOLID45：3D实体结构元素 201 SOLID45主要的输出数据可以整理成Figure 8-3。表中的输出数据有些是打印在Output Window上 [Sec. 3.1.3]，有些是在Jobname.RST档案中，但是大部分是两者都有 [Ref. 6, SOLID45]。这些输出数据大部分是有限元素分析的数值结果，但是也有一些只是输入数据而已（前面8行）。注意，元素的应力或应变输出值是指该元素形心位置（坐标是XC, YC, ZC）的应力或应变值。

在/POST1模块中，你可以将Jobname.RST的数据读入Database（SET命令），再使用诸如PLNSOL、PLESOL、ETABLE、或PDEF等命令来取出列在Figure 8-3的这些数据；在/POST26模块中，你也可以使用诸如NSOL、ESOL等命令来取出在Figure 8-3的这些数据。以上这些命令都含有Item, Comp两个参数用来决定要取出哪一个数据，这些命令的说明书 [Ref. 5] 上都有列出允许输入的Item, Comp是哪些，但是这是普遍而言的，针对某一元素时有时并不适用，辟如对SOLID45而言，Item, Comp输入EF, X（X方向的电场强度）是没什么意义的。基本上这些数据必须有列在Figure 8-3才可以取出。注意，Figure 8-3中，有包含冒号（：）的名字才能使用Item, Comp的方法取出，冒号前面是Item，冒号后面是Comp。

8.1.4 Item and Sequence Number

Figure 8-4 SOLID45 Item and Sequence Numbers

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202 第8章 3D实体结构分析 Figure 8-3所列出的是元素在形心位置的输出值，ANSYS另外也有在高斯积分点及元素节点上的输出值，譬如Figure 8-4所列出的是元素节点上的输出值。当你使用诸如ETABLE、ESOL这些命令要取出这些输出值时，Item输入SMISC（读成summable miscellaneous data）或NMISC读成（non-summable miscellaneous data），而Comp就输入如Figure 8-4中所示的编号，这些编号称为sequence numbers。举个例子来讲，你如果希望知道在J点的equivalent stress，那么Item就用NMISC，sequence number就用10；如果你要取出在P点的主应力S1，那么Item就用NMISC，sequence number就用36；如下所列：

ETABLE, SEQVJ, NMISC, 10

ETABLE, S1P, NMISC, 36

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第8.2节 实例：六角扳手静力分析 203

第8.2节 实例：六角扳手静力分析

Example: Static Analysis of an Allen Wrench

8.2.1 问题描述

Figure 8-5 Static Analysis of an Allen Wrench [Ref. 11]

Figure 8-5是一个六角扳手（Allen wrench），图上标有详细尺寸，假设材料是用碳钢做的，Young’s modulus = 207 GPa，Poisson’s ratio = 0.3，这个扳手虽然是设计来在水平面扭转的，可是也可能有一些垂直向下的力量，水平的扭转假设有100N作用在端点，垂直力则假设有20N。分析的目的是要知道最大的应力及最大的变位是多少。为了计算最大的应力及变位，你可能需要考虑不同的负载组合：

（一）只有考虑水平力，（二）同时考虑水平力及垂直力。本实例是取材自Structural Analysis Guide, Sec. 2.4 [Ref. 11]，此书中详细列出了每个执行步骤，也包括了GUI方法（使用图形接口及下拉式命令），如果你要练习GUI操作方法，这是一个很好的练习。以下我们还是以文字命令方式来输入。

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204 第8章 3D实体结构分析

8.2.2 ANSYS Procedure

Procedure 8-1 Static Analysis of an Allen Wrench

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第8.2节 实例：六角扳手静力分析 205

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206 第8章 3D实体结构分析

第4行（/UNIT）是标明所使用的单位是SI单位。注意，这个命令的功能只是作为批注（comment）而已，对整个分析并没有实质影响，ANSYS并不以此来检查单位的正确性或帮你或任何单位转换工作。第5行（*AFUN）是指定

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第8.2节 实例：六角扳手静力分析 207 三角函数的角度值一律使用degree为单位（预设是radian）。第9至18行是定义参数，每个参数的意义都有批注，在此不再重复。第18行的参数TOL是 作为节点选取 [Sec. 5.5.2] 的tolerance。我们举一个例子来说明为什么需要tolerance。假设你要去选取X = 10的所有节点，你若输入「NSEL, S, LOC, X, 10」因为实数在计算机内部的表示法的原故，理论上是很难选取到刚好X = 10的节点。一个比较保险的方式是输入「NSEL, S, LOC, X, 10-TOL, 10+TOL」也就是指定一个范围，而不是一个值。事实上，当你指定一个单一的值时，譬如「NSEL, S, LOC, X, Value」时，ANSYS会自动地解释成「NSEL, S, LOC, Value-Error, Value+Error」，其中Error的默认值是0.005 x Value或10-6，两值取大者。

第20行（/PREP7）是进入前处理模块。第23、24行在ET Table内建立了两个我们会用到的元素型态：SOLID45及MESH200

。其中MESH200称为mesh-only element [Sec. 6.1.4]，它的目的只是用来产生SOLID45元素，除此之外并无其它意义。我们打算先在固定端建立一个断面，在这个断面上先产生MESH200，然后用VDRAG命令 [Sec. 6.1.4] 去产生SOLID45元素。第25、26行是在MP Table上建立材料性质。

Figure 8-6 Meshed Fixed End

接下来从第30至76行是建立实体模型及分析模型，而且这两种模型是同步产生的。第30行（RPOLY）是建立一个正六边形，代表六角板手的断面。第31、32行（L及ASBL）是将此正六边形切割成两个四边

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208 第8章 3D实体结构分析 形，我们将在这两个四边形上进行mapped meshing。第33行（CM）是将这两个四边形的areas组成一个components，名字是BOTAREA，以后会需要用到。第41至47行是网格切割前的布置，其中第41至43行（LESIZE）是指定lines切割成几段，第45行（TYPE）是指定产生MESH200元素，第46行（MSHAPE）是指定产生四边形的元素，第47行（MSHKEY）是指定mapped meshing。第48行（AMESH）才是真正在进行mapped meshing。第51行（EPLOT）是将网格切割后的元素画出来，如Figure 8-6所示。注意，至目前为止一共有8个2D的MESH200元素。

接下来我们打算将刚刚所建立的areas以VDRAG命令来产生volumes，附着在areas上的MESH200元素也将被「长成」3D的SOLID45。为了要看得清楚模型，第55、56行（/VIEW、/VUP）重新定义了视线及「向上」的方向。第58至63行是在建立路径以供VDRAG命令使用。第73行（VDRAG）将两个四边形的areas沿着刚才所建立的路径「拖拉」，产生完整的几何模型，同时2D的MESH200元素也「长成」3D的SOLID45。注意，MESH200元素还是存在断面积上，但它们并没有任何结构上的意义。第73行（EPLOT）将元素画出后，如Figure 8-7所示。在VDRAG命令之前，有两个命令还需要说明。第71行（TYPE）是指定新产生的元素是SOLID45。第72行（ESIZE）是指定产生的元素，每段的长度。

Figure 8-7 3D Mesh of the Allen Wrench

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第8.2节 实例：六角扳手静力分析 209

进入/SOLU模块（第79行）后，我们打算先考虑第一种的负载情形，也就是只有100 N水平力的情况，我们将这个负载称为第一个load step。第83至86行是将扳手的一端固定，第89至98行是作用了总共100 N的水平力在扳手的另一端，第104行（EPLOT）将含这些边界条件的元素图画出来，如Figure 8-8所示。第105行（SOLVE）是去解这个load step，解完后数据应该是被存在Jobname.RST档案中。

第89至98行可能需要进一步说明。设计用的总水平力是100 N，为了较接近实际的情况，我们不打算以单一的集中力作用在扳手端点，而是以均布力作用在靠近扳手端点约占据3

个元素长的区域。第89至97行就是在计算均布力的大小（PTORQ）及力作用的区域。第98行（SF）才是将大小PTORG的均布力作用在靠近扳手端点占据3个元素长的区域。这些命令细节有点复杂，我们不打算在此仔细说明，而是留给你自己看。若你对这些复杂的程序有所怀疑，你可以检视一下这些均布力的总合是否等于水平力100 N。

Figure 8-8 The First Load Step

第二个load step是同时考虑100 N的水平力及20 N的垂直力。第109至112行是在计算垂直均布力的大小（PDOWN），这些垂直均布力的总合是20 N。第113行（SF）是将此垂直均布力作用在扳手靠近扳手端点占据3个元素长的区域。第117行（EPLOT）将含这些边界条件的元素图画出来，如Figure 8-9所示。第118行（SOLVE）是去解这个load step，解完后数据应该是

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210 第8章 3D实体结构分析 被存在Jobname.RST档案中。同样的第109至113行的命令细节留给你自己看。若你对这些程序有所怀疑，可以检视一下这些均布力的总合是否等于垂直力20 N。

Figure 8-9 The Second Load Step

进入/POST1（第121行）模块后我们打算先来检视第一个load step的结果。注意，因为刚解完第二个load step，所以目前Database中存放的是第二个load step的结果，而不是第一个load step。第129行（SET

）是到Jobname.RST档去读第一个load step，第131行（PLDISP）是把变位图画出来，如Figure 8-10所示，图中显示最大位移约是0.5 cm（发生在扳手自由端）。

Figure 8-10 Deformed Shape for Load Step 1

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第8.2节 实例：六角扳手静力分析 211 为了要清楚地看到应力，第134行（/ANGLE）将模型转一个角度，然后第135行（PLNSOL）把stress intensity列出来，如Figure 8-11所示。在Sec. 4.5.3我们提过，对延展性材料（譬如低碳钢）而言，破坏准则通常采用von Mises破坏准则 [Eq. 4.7] 或Tresca破坏准则 [Eq. 4.6] ，在此例中假设采用后者。所以检视stress intensity。Figure 8-11显示最大的stress intensity为268 MPa，这个应力值必须和单轴拉伸试验所测得的材料降服强度做比较，若超过降服强度，则表示剪力破坏可能在此发生。

Figure 8-11 Stress Intensity for Load Step 1

Figure 8-12 Deformed Shape for Load Step 2

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212 第8章 3D实体结构分析

接下来我们来检视第二个load step。第139行（SET）是到

Jobname.RST档去读第二个load step，第141行（/ANGLE）是将模型转回原来角度，第142行（PLDISP）是把变位图画出来，如Figure 8-12所示。第146行（PLNSOL）则把stress intensity列出来，如Figure 8-13所示。

Figure 8-13 Stress Intensity for Load Step 2

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第8.3节 3D实体元素浏览 213

第8.3节 3D实体元素浏览

Overview of 3D Solid Elements

这一节我们很快地来浏览一次其它3D实体元素，包括结构、热传、流场、电场、磁场、及偶合场问题的元素，也包含线性元素、二阶元素、及p-elements，并且除了六面体外，也包含了四面体。这些元素的图片都是取自Ref. Sec. 6, 3.3. Pictorial Summary。

8.3.1 General 3D Structural Solids

Figure 8-14 General 3D Structural Solids

Figure 8-14所列出来的元素，最左边是本章所介绍的SOLID45，是linear structural solid。ANSYS并没有另外提供线性的三角柱或四面体元素；SOLID45可以「退化」成三角柱或四面体元素 [Sec. 8.1.1]。中间是SOLID95，是二阶的六面体元素，它一共有20个节点；除了较高阶外，它的所有功能和SOLID45是相同的。右边的SOLID92是二阶的四面体元素。注意，SOLID95也可以「退化」成三角柱或四面体。

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214 第8章 3D实体结构分析

8.3.2 Large Strains

Figure 8-15 Large Strains Elements

Figure 8-14中的SOLID45、SOLID95、SOLID92虽然都有支持大变形理论，可是它们都是早期发展出来的元素，它们所根据的大变形理论也是较早期的，实际的模拟结果往往不尽理想。尤其是大变形常常和非线性材料模式一起考虑，在双重的非线性下（几何及材料非线性），收敛性往往很差，甚至常常无法收敛。ANSYS近几年根据较合理的大变形理论，发展出SOLID185、SOLID186、SOLID187元素，它们分别相对于SOLID45、SOLID95、SOLID92，也就是说对几何非线性或材料非线性的问题，这些「18X元素」可以用来取代旧有的元素。至于简单的线性问题，旧有的元素反而是比较有效率的。

8.3.3 3D Solids with Rotations

在Sec. 8.1.2时，我们提过SOLID45承受弯曲时，往往显的过分「僵硬」，解决的办法之一就是加上一些弯曲的形状函数。Figure 8-16的SOLID73及SOLID72两个元素，其每个节点上不只有平移（translation）的变位自由度（UX、UY、UZ），另外再加上旋转（rotation）的自由度（ROTX、ROTY、ROTZ），所以每一个节点总共有6个自由度。这种元素因为自由度很多，所以效率不佳是可以想象的。事实上目前的Element Reference [Ref. 6] 并没有列入这个元素的说明（亦即

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第8.3节 3D实体元素浏览 215 ANSYS不再支持这两个元素）。我们将它列在这里，只是要介绍这种曾经存在的重要观念而已。

Figure 8-16 3D Solids with Rotations

8.3.4 P-Elements

Figure 8-17 P-Elements

在3D structural elements中，ANSYS只提供了两个p-elements：SOLID147及SOLID148，如Figure 8-17所示。P-element的order是会变的（从2到8），它的使用方法大致是这样子的：你指定一个精度的要求（譬如误差5%），然后ANSYS

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