第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用

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第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

x2y2定理 在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)aby0b2是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN???2.

x0a 证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

?x12y12?2?2?1,??(1)?ab则有?2 2?x2?y2?1.??(2)?b2?a2x?xy?y(1)?(2)，得122?122?0.

ab2222y2?y1y2?y1b2????2. x2?x1x2?x1a又?kMNy2?y1y1?y22yyyb2?,??.?kMN???2. x2?x1x1?x22xxxax2y2同理可证，在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)bay0a2是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN???2.

x0b典题妙解

y2?1，过点M(0,1)的例1 设椭圆方程为x?42直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足

OP?1?11?(OA?OB)，点N的坐标为?,?.当l绕点2?22?M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）|NP|的最大值和最小值.

解：（1）设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点 .

标准文案

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焦点在y上，a?4,b?1. 假设直线l的斜率存在.

22ya2y?1y由kAB???2得：???4.

xbxx整理，得：4x?y?y?0.

当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点O(0,0)，也满足方程。

22?所求的轨迹方程为4x2?y2?y?0.

1(y?)2x2?1.??1?x?1. （2）配方，得：?1144164211?|NP|2?(x?)2?(y?)22211?(x?)2??x2

2417??3(x?)2?612?当x?21111. 时，|NP|min?；当x??时，|NP|max?6446x2?y2?1有两个不同例2 在直角坐标系xOy中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆2的交点P和Q.

（1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、B，是否存在常数k，使得向量OP?OQy轴正半轴的交点分别为A、与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解：（1）直线l的方程为y?kx?2.

?y?kx?2,?22由?x2得：(2k?1)x?42kx?2?0.

2??y?1.?2x2?y2?1有两个不同的交点， ?直线l与椭圆2标准文案

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???32k2?8(2k2?1)＞0.解之得：k＜?22或k＞. 22??2??2????k的取值范围是???,?. ,???????2??2??x2?y2?1中，（2）在椭圆焦点在x轴上，a?2,b?1，?A(2,0),B(0,1),AB?(?2,1). 2设弦PQ的中点为M(x0,y0)，则OM?(x0,y10). 由平行四边形法则可知：OP?OQ?2OM.

?OP?OQ与AB共线，?OM与AB共线.

?x0?2?y0y2，从而0??. 1x02?y02b22?1???，?k?. 由kPQ????2得：k????22x0a?2?由（1）可知k?2时，直线l与椭圆没有两个公共点，?不存在符合题意的常数k. 2x2y22例3已知椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?，右准

2ab线方程为x?2.

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M?F2N|?解：（Ⅰ）根据题意，得

226，求直线l的方程. 3?c2e??,2??a2?a?2,b?1,c?1.?所求的椭圆方程为x?y2?1. ?22?x?a?2.?c?（Ⅱ）椭圆的焦点为F1(?1,0)、F2(1,0). 设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y). 由平行四边形法则知：F2M?F2N?2F2P. 由|F2M?F2N|?标准文案

2262626得：|F2P|?.?(x?1)2?y2?.……………① 339实用文档

若直线l的斜率不存在，则l?x轴，这时点P与F1(?1,0)重合，|F2M?F2N|?|2F2F1|?4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在. 由kMNyb2yy11???2得：???.?y2??(x2?x). ………② xax?1x221226(x?x)?. 29②代入①，得(x?1)2?172，或x??. 331721y由②可知，x?不合题意.?x??，从而y??.?k???1.

333x?1整理，得：9x2?45x?17?0.解之得：x??所求的直线l方程为y?x?1，或y??x?1.

x2y23例4 已知椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于

3abA、B两点. 当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a,b的值；

（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.

解：（1）椭圆的右焦点为F(c,0)，直线l的斜率为1时，则其方程为y?x?c，即x?y?c?0.

2. 2原点O到l的距离：d?|0?0?c|2?2c2，?c?1. ?22又e?c3?，?a?3. 从而b?2.?a?3， b?2. a3x2y2??1. 设弦AB的中点为Q(x,y). 由OP?OA?OB可知，点Q（2）椭圆的方程为324x2?2y2?1.…………………① 是线段OP的中点，点P的坐标为(2x,2y).?3若直线l的斜率不存在，则l?x轴，这时点Q与F(1,0)重合，OP?(2,0)，点P不在椭圆上，故直线l的斜率存在.

yb2yy22由kAB???2得：???.?y2??(x2?x).………………………②

xax?1x33标准文案

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由①和②解得：x?32,y??. 44?当x?3232y,y?)，直线l的方程为时，kAB???2，点P的坐标为(,4422x?12x?y?2?0；

当x?3232y)，直线l的方程为,y??时，kAB??2，点P的坐标为(,?2244x?12x?y?2?0.

金指点睛

1. 已知椭圆x?2y?4，则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）

22 A. 32 B. 23 C.

3036 D. 32x2y22.（06江西）椭圆Q:2?2?1（a＞b＞0）的右焦点为F(c,0)，过点F的一动直线m绕点F

ab转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.

（1）求点P的轨迹H的方程； （2）略.

3．（05上海）（1）求右焦点坐标是(2,0)且过点(?2,?2)的椭圆的标准方程；

x2y2（2）已知椭圆C的方程为2?2?1（a＞b＞0）.设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B

ab两点，AB的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；

（3）略.

4. (05湖北)设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（1）确定?的取值范围，并求直线AB的方程； （2）略.

22y2x2??1的焦点为焦点，以抛物线x2??66y的准线为5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线42标准文案

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其中一条准线.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l:y?kx?2(k?0)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线

l':y?mx?1(m?0)对称，求k的值.

参考答案

x2y2??1，?a2?4,b2?2. 1. 解：由x?2y?4得4222弦MN的中点(1,1)，由kMN即x??2y?3. k??.

yb211???2得kMN??，?直线MN的方程为y?1??(x?1). xa2212?x2?2y2?42由?得：6y?12y?5?0. ?x??2y?3设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1?y2?2,y1y2?5. 6|MN|?(1??5?(4??3031)(y1?y2)2?4y1y22k??

10)3故答案选C.

yb2yyb2???2， 2. 解：（1）设点P的坐标为(x,y)，由kAB???2得：

xx?cxaa整理，得：bx?ay?bcx?0.

22222?点P的轨迹H的方程为b2x2?a2y2?b2cx?0.

3．解：（1）?右焦点坐标是(2,0)，?左焦点坐标是(?2,0). c?2. 由椭圆的第一定义知，2a?222 ?b?a?c?4.

?a?22. (?2?2)2?(?2)2?(?2?2)2?(?2)2?42，

x2y2??1. ?所求椭圆的标准方程为84标准文案

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yb2yb222 （2）设点M的坐标为(x,y)，由kAB???2得：k???2，整理得：bx?aky?0.

xxaa?a、b、k为定值，

?当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线b2x?a2ky?0上.

4. 解：（1）?点N(1,3)在椭圆3x?y??内，?3?12?32＜?，即?＞12.

22??的取值范围是(12,??).

由3x?y??得

22y2??x2?3?1，?a2??,b2??3，焦点在y轴上.

若直线AB的斜率不存在，则直线AB?x轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，

不合题意，故直线AB的斜率存在.

3?ya2由kAB???2得：kAB???，?kAB??1.

?1xb3?所求直线AB的方程为y?3??1?(x?1)，即x?y?4?0.

从而线段AB的垂直平分线CD的方程为y?3?1?(x?1)，即x?y?2?0.

y2x2??1中，a?2,b?2,c?a2?b2?6， 5. 解：（1）在双曲线42?焦点为F1(0,?6),F2(,6).

2在抛物线x??26y中，p?6，?准线为y?6. 2a26??在椭圆中，. 从而a?3,b?3. c2y2x2??1. ?所求椭圆C的方程为93'（2）设弦AB的中点为P(x0,y0)，则点P是直线l与直线l'的交点，且直线l?l. ?m??1. kyy0a2由kAB???2得：k?0??3，?ky0??3x0.…………………………………………①

x0x0b标准文案

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1?x0?1得：ky0??x0?k.…………………………………………………………② kk3由①、②得：x0??,y0?.

22由y0??又?y0?kx0?2，

?3k??k??2，即k2?1. 22?k??1.

在y?kx?2中，当x?0时，y?2，即直线l经过定点M(0,2).而定点M(0,2)在椭圆的内部，

故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点. ?k的值为?1.

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