西南交大峨眉数学实验基础实验三 - 高等数学 - 2(2)

实验三：用MATLAB求解高等数学问题-2

姓名： 学号： 专业： 成绩： 一、实验名称：用MATLAB求解高等数学基本计算问题-2 二、实验目的：

1．学会利用MATLAB求解有关非线性方程（组）符号解问题； 2．学会利用MATLAB求解有关非线性方程（组）数值解问题； 3. 学会利用MATLAB求解梯度向量并画图； 4. 学会利用MATLAB求解数值积分问题；

5. 学会利用MATLAB解决微分方程（组）符号求解问题； 6. 学会利用MATLAB解决微分方程（组）数值求解问题。 三、实验准备：

复习高等数学中相关主题的理论知识和方法。 四、实验内容

1．求下列方程的精确解（符号解）；

（1）x?5x?3x?6?0； （2）x?x?a?0. 2．求方程x?2在限值条件(?2?x?2)下的根； 3．画出下面两个椭圆的图形，并求出它们所有的交点坐标；

4x3242?(x?2)2?(y?2x?3)2?5 ?2218(x?3)?y?36?4．作图表示函数z?xe?x2?y2(?1?x?1,0?y?2)沿x轴方向的梯度；

225．求函数f(x,y,z)?x?2y?3z在平面x?y?z?1与柱面x?y?1的交线上的最大值；

6．用梯形求积公式和辛普森（抛物线）公式计算积分

?并估计误差。

&7．若用复化梯形求积公式求

10e?xdx

?10e?xdx的近似值，问要将积分区间[0,1]分成多少等份才能保证计算结果

有四位有效数字？若用复化抛物线求积公式呢？

提示：（1）复化梯形公式，把区间[a,b]等分为n等分，节点xk?a?kh，

k?0,1,n?1b?ah,n，h?，则积分I?[f(a)?f(b)?2?(a?kh)]；

n2k?1（2）复化抛物线公式，把区间[a,b]等分为2m等分，h?b?a， 2mmm?1?h?则积分I??f(a)?f(b)?4?[a?(2k?1)h]?2?(a?2kh)?．

3?k?1k?1?8．求解下列微分方程的解：

（1）y???4y??13y?0,yx?0?0,y?x?0?6；

（2）y???y??2y?(1?2x)ex. 9．解下列微分方程：

（1）x??2x?3y,y??2x?y,x(0)??2,y(0)?2.8,0?t?10，作相平面图； 提示：相平面图就是x,y画在一个平面内，即横轴为x，纵轴为y.

（2）y???0.01(y?)2?2y?sint,y(0)?0,y?(0)?1,0?t?5，作y的图。 10．已知阿波罗飞船的运动轨迹(x,y)满足下面的方程：

?d2xdy?(x??)?(x??)?2?x???23dtdtrr23?1 ?2?dy??2dx?y??y??y 2?dtr13r23?dt其中，??1/82.45,??1??,r1?(x??)2?y2,r2?(x??)2?y2，试在初值

x(0)?1.2,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)??1.04935371,0?t?100下求解，并绘制飞船轨迹图。

五、程序及实验结果 1. （1）程序：

syms x

f=sym('x^3-5*x^2+3*x+6=0'); y=solve(f,x)

输出结果： y =

2 3/2 - 21^(1/2)/2 21^(1/2)/2 + 3/2

（2）程序： syms x a

f=sym('x^4+x^2-a'); y=solve(f,x) 输出结果： y =

(- (4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2) ((4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2) -(- (4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2) -((4*a + 1)^(1/2)/2 - 1/2)^(1/2) 2. 程序：

x=fzero('x^4-2^x',-2,2)

输出结果： x =-0.8613

3. 程序：ezplot('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5'),hold on,ezplot('18*(x-3)^2+y^2-36')

[x,y]=solve('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5','18*(x-3)^2+y^2-36') [x,y]

输出结果：

ans =

[ 1.6580664770347998069049390497594, 1.8936365963298548025994430021814] [ 1.7362259004399598338121197151769, -2.6929074352940121705044040780427] [ 4.0287335406907803557776183983678, -4.1171266000258712039597783906018] [ 3.4828821781145475308576204296936, -5.639401248099686964240293356294] 4. 程序：a=-1:0.1:1;b=0:0.2:2;

[x,y]=meshgrid(a,b); z=x.*exp(-x.^2-y.^2); [px,py]=gradient(z,0.1,0.2); contour(x,y,z),hold on quiver(x,y,px,py),hold off

输出结果：

5. 程序： syms x y z

[y,z]=solve('x-y+z-1','x^2+y^2-1','y','z')

[x,f]=fminbnd('-(x+2*((1 - x^2)^(1/2))+3*((1 - x^2)^(1/2) - x + 1))',0,2*pi)

输出结果： x = 5.9565e-005 f = -7.9999 6. 程序：

I1=1/2*(1+exp(-1))

I2=1/6*(1+4*exp(-1/2)+exp(-1))

输出结果： I1 = 0.6839 I2 = 0.6323 7. 程序： 输出结果：

8. （1）程序：

y=dsolve('D2y-4*Dy+13*y=0','y(0)=0','Dy(0)=6','x') simplify(y) 输出结果：

y =2*sin(3*x)*exp(2*x) ans =2*sin(3*x)*exp(2*x) （2）程序：

y=dsolve('D2y-4*Dy-2*y=(1-2*x)*exp(x)') simplify(y)

输出结果：

y = C5*exp(t*(6^(1/2) + 2)) - exp(x)/2 + C6/exp(t*(6^(1/2) - 2)) + x*exp(x) ans =C5*exp(t*(6^(1/2) + 2)) - exp(x)/2 + C6/exp(t*(6^(1/2) - 2)) + x*exp(x) 9. （1）程序：

s=dsolve('Dx=2*x+3*y','Dy=2*x+y','x(0)=-2','y(0)=2.8','t'); y=s.y,x=s.x t=0:0.1:10;

y=62/25*exp(-t)+8/25*exp(4*t); x=-62/25*exp(-t)+12/25*exp(4*t); plot(x,y) 输出结果：

（2）程序：

fun=inline('[y(2);0.01*y(2)^2-2*y(1)+sin(t)]','t','y');ode45(fun,[0,5],[0,1])

输出结果：

10. 程序： 输出结果：

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