3.10霍尔法测量圆线圈和亥姆霍兹线圈的磁场

3.10霍尔法测量圆线圈和亥姆霍兹线圈的磁场

霍尔效应是导电材料中的电流与磁场相互作用而产生电动势的效应。1879年美国霍普金斯大学研究生霍尔在研究金属导电机理时发现了这种电磁现象，故称霍尔效应。后来曾有人利用霍尔效应制成测量磁场的磁传感器，但因金属的霍尔效应太弱而未能得到实际应用。随着半导体材料和制造工艺的发展，人们又利用半导体材料制成霍尔元件，由于它的霍尔效应显著而得到实用和发展，现在广泛用于非电量的测量、电动控制、电磁测量和计算装置方面。在电流体中的霍尔效应也是目前在研究中的“磁流体发电”的理论基础。近年来，霍尔效应实验不断有新发现。1980年原西德物理学家冯·克利青研究二维电子气系统的输运特性，在低温和强磁场下发现了量子霍尔效应，这是凝聚态物理领域最重要的发现之一。目前对量子霍尔效应正在进行深入研究，并取得了重要应用，例如用于确定电阻的自然基准，可以极为精确地测量光谱精细结构常数等。

在磁场、磁路等磁现象的研究和应用中，霍尔效应及其元件是不可缺少的，利用它观测磁场直观、干扰小、灵敏度高、效果明显。

【实验目的】

1、测量单个通电圆线圈中磁感应强度；

2、测量亥姆霍兹线圈轴线上各点的磁感应强度；

3、测量两个通电圆线圈不同间距时的线圈轴线上各点的磁感应强度； 4、测量通电圆线圈轴线外各点的磁感应强度。

【实验仪器】

DH4501N型 三维亥姆霍兹线圈磁场实验仪一套 【实验原理】

1霍尔效应

霍尔效应从本质上讲，是运动的带电粒子在磁场中受洛仑兹力的作用而引起的偏转。当带电粒子（电子或空穴）被约束在

图 3-10-1

固体材料中，这种偏转就导致在垂直电流和磁场的方向上产生正负电荷在不同侧的聚积，从而形成附加的横向电场。如右图3-10-1所示，磁场B位于Z的正向，与之

垂直的半导体薄片上沿X正向通以电流Is（称为工作电流），假设载流子为电子（N型半导体材料），它沿着与电流Is相反的X负向运动。

由于洛仑兹力f L作用，电子即向图中虚线箭头所指的位于y轴负方向的B

侧偏转，并使B侧形成电子积累，而相对的A侧形成正电荷积累。与此同时运动的电子还受到由于两种积累的异种电荷形成的反向电场力 f E的作用。随着电荷积累的增加，f E增大，当两力大小相等（方向相反）时， f L=－f E，则电子积累便达到动态平衡。这时在A、B两端面之间建立的电场称为霍尔电场EH，相应的电势差称为霍尔电势VH 。

设电子按均一速度V，向图3-10-1所示的X负方向运动，在磁场B作用下，所受洛仑兹力为：

f L=－eVB

式中：e 为电子电量，V为电子漂移平均速度，B为磁感应强度。 同时，电场作用于电子的力为：

f E??eEH??eVHl 式中：EH为霍尔电场强度，VH为霍尔电势，l为霍尔元件宽度。 当达到动态平衡时:

f L=－f E VB=VH/l （3-10-1）

设霍尔元件宽度为l,厚度为d，载流子浓度为n，则霍尔元件的工作电流为:

Is ? ne V ld （3-10-2）

由(3-10-1)、(3-10-2)两式可得：

1IsBIsBVH?EHl??RH （3-10-3）

nedd即霍尔电压VH (A、B间电压)与Is、B的乘积成正比，与霍尔元件的厚度成

1反比，比例系数 R H ? 称为霍尔系数（严格来说，对于半导体材料，在弱磁场

ne3?13?下应引入一个修正因子 A ? ，从而有 R H ? ），它是反映材料霍尔效

8ne8应强弱的重要参数，根据材料的电导率??ne?的关系，还可以得到：

RH??/???p或 R H ? （3-10-4） ? ?式中：?为载流子的迁移率，即单位电场下载流子的运动速度，一般电子迁

移率大于空穴迁移率，因此制作霍尔元件时大多采用N型半导体材料。

当霍尔元件的材料和厚度确定时，设：

KH?RH/d?l/ned （3-10-5）

将式（3-10-5）代入式（3-10-3）中得：

VH?KHIsB （3-10-6） 式中：KH称为元件的灵敏度，它表示霍尔元件在单位磁感应强度和单位控制电流下的霍尔电势大小，其单位是mV/mA·T，一般要求KH愈大愈好。由于金属的电子浓度?n?很高，所以它的RH或KH都不大，因此不适宜作霍尔元件。此外元件厚度d愈薄，KH愈高，所以制作时，往往采用减少d的办法来增加灵敏度，但不能认为d愈薄愈好，因为此时元件的输入和输出电阻将会增加，这对霍尔元件是不希望的。本实验采用的霍尔片的厚度的d为0.2mm，宽度l为1.5mm，长度L为1.5mm。

应当注意：当磁感应强度B和元件平面法线成一角度时（如图3-10-2），作用在元件上的有效磁场是其法线方向上的分量Bcos?，此时：

VH?KHIsBcos? （3-10-7）

所以一般在使用时应调整元件两平面方位，使VH达到最大，即：??0，

VH?KHIsBcos??KHIsB 由式（3-10-7）可知，当工作电流Is或磁感应强度B，两者之一改变方向时，霍尔电势VH方向随之改变；若两者方向同时改变，则霍尔电势VH极性不变。

图 3-10-2 图 3-10-3

霍尔元件测量磁场的基本电路如图3-10-3，将霍尔元件置于待测磁场的相应位置，并使元件平面与磁感应强度B垂直，在其控制端输入恒定的工作电流Is，霍尔元件的霍尔电势输出端接毫伏表，测量霍尔电势VH的值。 2圆线圈轴线上磁场的计算

根据毕奥—萨伐尔定律，载流线圈在轴线（通过圆心并与线圈平面垂直的直线上某点的磁应强度为：

?0R2B?NI (3-10-11) 223/22(R?x)式中I为通过线圈的电流强度，N为线圈的匝数，R为线圈平均半径，x为圆心到该点的距离，μO为真空磁导率。因此，圆心处的磁感应强度BO为:

?B0? 0NI 2R (3-10-12)

轴线外的磁场分布计算公式较复杂，这里简略。

亥姆霍兹线圈是一对匝数和半径相同的共轴平行放置的圆线圈，两线圈间的距离d正好等于圆形线圈的半径R。这种线圈的特点是能在其公共轴线中点附近产生较广的均匀磁场区，故在生产和科研中有较大的实用价值，其磁场合成示意图如图3-10-6所示。根据霍尔效应：探测头置于磁场中，运动的电荷受洛仑兹力，运动方向发生偏转。在偏向的一侧会有电荷积累，这样两侧就形成电势差．通过测电势差就可知道其磁场的大小。当两通电线圈的通电电流方向一样时，线圈内部形成的磁场方向也一致，这样两线圈之间的部分就形成均匀磁场。当探头在磁场内运动时其测量的数值几乎不变。当两通电线圈电流方向不同时在两线圈中心的磁场应为0。

图3-10-6 亥姆霍兹线圈磁场分布图

图3-10-7 圆线圈间不同距离时轴线上的磁场分布图

设Z为亥姆霍兹线圈中轴线上某点离中心点O处的距离，则亥姆霍兹线圈轴线上任点的磁感应强度为：

1RR'222?3/222?3/2B??NIR{[R?(?Z)]?[R?( 0 ? Z ) ] }（3-10-13）

222而在亥姆霍兹线圈轴线上中心O处磁感应强度BO为：

?ONI8'B?? O 3 （3-10-14）

R5/2在I=0.5A、N=500、R=0.100m的实验条件下，单个线圈圆心处的磁场强度为：

?

B0?0NI?4??10?7?500?0.5/(2?0.100)?1.57mT2R当两圆线圈间的距离d正好等于圆形线圈的半径R，组成亥姆霍兹线圈时，轴线上中心O处磁感应强度BO为：

?ONI84??10?7?500?0.58'BO??3/2??3?2.25mT R0.100525当两圆线圈间的距离d不等于圆形线圈的半径R时，轴线上中心O处磁感应强度BO按本实验所述的公式（3-10-13）计算。在d=1/2R、R、2R时，相应的曲线见图3-10-7。

由于霍尔元件的灵敏度受温度及其他因素的影响较大，所以实验仪器提供的灵敏度仅供参考。当励磁电流IM为0.5A时，本实验采用的亥姆霍兹线圈的中心磁感应强度B为：

?ONI84??10?7?500?0.58'?3/2??3?2.25mT BO?R50.10052

当B=B0时，霍尔电压为VH0，则根据公式VH?KHIsBcos??KHIsB，可得到霍尔元件的实际灵敏度为：

V （3-10-15） KH?H0ISB0

其中VH0为I=0.5A、N=500、R=0.100m的实验条件下，B0=2.25mT时的霍尔电压。

可以测量出不同三维位置时的VH值，这样再根据公式

VH?KHIsBcos??KHIsB可知

B ? （3-6-16） 从而求得不同三维位置的磁感应强度B。

VHKHIs【实验内容】

在开机前先将工作电流IS和励磁电流IM调节到最小，即逆时针方向将电位器调节到最小。以防冲击电流将霍尔传感器损坏。

1. 实验仪信号源与三维亥姆霍兹线圈磁场测试架的连接。

1、将信号源面板右下方的励磁电流IM的直流恒流输出端（0～0.500A），接测试架上的励磁线圈电流IM的输入端，注意正确的极性。信号源面板右侧的表头显示当前励磁电流的大小。做霍尔效应实验时，应将两个圆线圈串联，如圆线圈（2）的正极接信号源正输出端、负极接圆线圈（1）的正极，圆线圈（1）的负极接信号源负输出端。

2、测试架的铜管尾部的霍尔传感器信号线测试架后面板上的专用四芯插座。实验仪IS霍尔片工作电流输出端及VH、Vσ测量输入端，连接测试架时，与测试架上对应的接线端子一一对应连接，（红接线柱与红接线柱相连，黑接线柱与黑接线柱相连。）当测量霍尔电压VH时，实验仪与测试架的VH、Vσ测量转换开关都按至VH测量位置，即此开关处于按下位置。

二、测量单个通电圆线圈轴线上的磁感应强度

测量前将亥姆霍兹线圈的距离设为R，即100mm处；铜管位置至R处； Y向导轨（5）、Z向导轨（7）均置于0，并紧固相应的螺母，这样使霍尔元件位于亥姆霍兹线圈轴线上。

1、测量单个通电圆线圈（1）中磁感应强度。 用连接线将励磁电流IM输出端连接到圆线圈（1），霍尔传感器的信号插头连接到测试架后面板的专用四芯插座。其它连接线一一对应连接好。

开机，预热10分钟。用短接线将数显毫伏表输入端短接，或者调节IS、IM电流均为零，再调节面板上的调零电位器旋钮，使毫伏表显示为0.00。

调节工作电流使IS=5.00mA，调节励磁电流IM=0.5A，移动X向导轨（10），测量单个圆线圈（1）通电时，轴线上的各点处的霍尔电压，可以每隔10mm测量一个数据。

将测量的数据记录在表格3-10-1中，再根据公式（3-10-16）计算出各点的磁感应强度B，并绘出B（１）－X图，即圆线圈轴线上B的分布图。

将测得的圆线圈轴线上（X向）各点的磁感应强度与理论公式（3-10-11）计算的结果相比较。

以上测量VH过程较为精确，对于仅进行磁场分布实验来说，较为复杂，在降低一定的精确性前提下，可以考虑以下简便的方法实现VH测量：

开机，预热10分钟后，选择IS、VH、IM为正向。调节工作电流使IS=5.00mA，IM=0。再调节面板上的调零电位器旋钮，使毫伏表显示为0.00。这样做是消除不等电势对测量的影响，实测的数据表明，不等电势在几种副效应中对测量的结果影响最大。再调节励磁电流IM=0.5A，测量单个圆线圈（1）通电时，轴线上的各点处的霍尔电压，可以每隔1.00cm测量一个数据。

这种简便的方法同样适用于以下实验。

表3-10-1 Ｂ（1）—X IS =5.00mA IM =500mA V1(mV) V2(mV) V3(mV) V4(mV) B（1） V1?V2?V3?V4X（mm） VH?(mV) (mT) +Is 、IM +Is、-IM -Is 、-IM -Is 、IM 4+I -I +I ?? -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ?? 三、测量单个通电圆线圈（2）轴线上磁感应强度

用连接线将励磁电流IM输出端连接到圆线圈（2），其它连接线一一对应连

接好。

移动X向导轨（10），测量单个圆线圈（2）通电时，轴线上的各点处的霍尔电压，可以每隔10mm测量一个数据。

将测量的数据记录在表格3-10-2中，再根据公式（3-10-16）计算出轴线上（X向）各点的磁感应强度B，并绘出B（2）－X图，即圆线圈轴线上B的分布图。

表3-10-2 Ｂ（2）—X IS =5.00mA IM =500mA V1(mV) V2(mV) V3(mV) V4(mV) B（2） V1?V2?V3?V4X（mm） VH?(mV) (mT) +Is 、IM +Is、-IM -Is 、-IM -Is 、IM 4+I -I +I ?? -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ?? 四、测量亥姆霍兹线圈轴线上各点的磁感应强度

测量前将亥姆霍兹线圈的距离设为R，即100mm处；铜管位置至R处； Y向导轨（5）、Z向导轨（7）均置于0，并紧固相应的螺母，这样使霍尔元件位于亥姆霍兹线圈轴线上。

用连接线将圆线圈（2）和（1）同向串联，连接到信号源励磁电流IM输出端。其它连接线一一对应连接好。

用短接线将数显毫伏表输入端短接，或者调节IS、IM电流均为零，再调节面板上的调零电位器旋钮，使毫伏表显示为0.00。

调节工作电流使IS=5.00mA，调节励磁电流IM=0.5A，移动X向导轨（10）测量亥姆霍兹线圈通电时，轴线上的各点处的霍尔电压，可以每隔10mm测量一个数据。

将测量的数据记录在表格3-10-3中，再根据公式（3-10-16）计算出各点的磁感应强度B，并绘出B（Ｒ）－X图，即亥姆霍兹线圈轴线上B的分布图。 将测得的亥姆霍兹线圈轴线上各点的磁感应强度与理论公式（3-10-13）计算的结果相比较。

表3-10-3 Ｂ（R）—X IS =5.00mA IM =500mA V1(mV) V2(mV) V3(mV) V4(mV) V1?V2?V3?V4B（R） X（mm） VH?(mV) +Is 、IM +Is、-IM -Is 、-IM -Is 、IM (mT) 4+I -I +I ?? -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 ?? 四、比较和验证磁场叠加的原理

将表3-10-1和表3-10-2的B（1）、B（2）值数据按X向的坐标位置相加，得到B。 （1）+B（2）

将B（1）、B（2）、B（1）+B（2）及表3-10-3的B（R）数据绘制出B－X图。 比较B（1）+B（2）和B（R），证明是否符合公式B（1）+B（2）= B（R）。 五、测量两个通电圆线圈不同间距时的线圈轴线上各点的磁感应强度

1、调整圆线圈（2）与（1）的距离为50mm，铜管位置到“R/2”处。重复以上实验内容二的过程，得到B（R/2）数据，并绘制出B（R/2）－X图。

2、调整圆线圈（2）与（1）的距离为200mm，铜管位置到“2R”处。重复以上实验内容二的过程，得到B（2R）数据，并绘制出B（2R）－X图。

3、将绘制出B（R）－X图、B（R/2）－X图和B（2R）－X图进行比较，分析和总结通电圆线圈轴线上磁场的分布规律。

六、测量通电圆线圈轴线外各点的磁感应强度

1、测量亥姆霍兹线圈Y方向上B的分布

调整圆线圈（2）与（1）的距离为100mm，铜管位置到“R”处。X向导轨（10）、Z向导轨（7）均置于0。

调节工作电流使IS=5.00mA，调节励磁电流IM=0.5A，松开紧固螺钉（９），双手移动 Y向导轨（5），测量亥姆霍兹线圈通电时，Y向各点处的霍尔电压，可以每隔10mm测量一个数据。

根据公式（5）计算出各点的磁感应强度B，并绘出B（Ｒ）－Ｙ图，即亥姆霍兹线圈Y方向上B的分布图。

２、测量亥姆霍兹线圈Ｚ方向上B的分布

圆线圈（2）与（1）的距离、铜管位置及IS、IM不变， X向导轨（10）、Y向导轨（5）均置于0。

松开紧固螺钉(12)，轻移 Z向导轨（7），测量亥姆霍兹线圈通电时，Ｚ向各点处的霍尔电压，可以每隔10mm测量一个数据。

根据公式（6-6-15）计算出各点的磁感应强度B，并绘出B（Ｒ）－Ｚ图，即亥姆霍兹线圈Ｚ方向上B的分布图。

３、测量通电线圈内任意位置的B值

根据前述内容，测量圆线圈（2）与（1）不同距离、任意点的未知Ｂ值 调节X、Y、Z向导轨，使霍尔传感器位于需要测量的位置，测出霍尔电压，

即可求得磁感应强度B。 【实验注意事项】

1、仪器使用前应预热10~15分钟，并避免周围有强磁场源或磁性物质。 2、仪器使用时要正确接线，注意不要扯拉霍尔传感器的引出线！以防损坏。 3、仪器采用三维移动设计，可移动的部件很多，一定要细心合理使用，不可用力过大，以防影响使用寿命；铜管的机械强度有限！切不可受外力冲击，以防变形，影响使用。

4、霍尔电势VH测量的条件是霍尔元件平面与磁感应强度B垂直，此时VH＝ISBcos?=IS即VH取得最大值，仪器在组装时已调整好角度。为防止搬运，使用中发生的位移，实验前应检查霍尔元件传感器是否与圆线圈（1）垂直，如果不垂直，则应适当调整。

5、本实验应将亥姆霍兹线圈的距离设为R，即100mm处，铜管位置至R处；否则会造成错误的实验数据。

注意：距离轴线较远及亥姆霍兹线圈外侧位置，由于霍尔元件与B并不完全垂直，存在角度偏差，所以会引入测量误差。

［实验系统误差及其消除］

测量霍尔电势VH时，不可避免的会产生一些副效应，由此而产生的附加电势叠加在霍尔电势上，形成测量系统误差，这些副效应有：

（1）不等位电势V0

由于制作时，两个霍尔电势既不可能绝对对称的焊在霍尔片两侧（图6-6-4a）、霍尔片电阻率不均匀、控制电流极的端面接触不良（图6-6-4b）都可能造成A、B两极不处在同一等位面上，此时虽未加磁场，但A、B间存在电势差V0，此称不等位电势，V0＝IsV，V是两等位面间的电阻，由此可见，在V确定的情况下，V0与Is的大小成正比，且其正负随Is的方向而改变。

图6-6-4(a) 图6-6-4(b)

（2）爱廷豪森效应

当元件X方向通以工作电流Is，Z方向加磁场B时，由于霍尔片内的载流子速度服从统计分布，有快有慢。在到达动态平衡时，在磁场的作用下慢速快速的载流子将在洛仑兹力和霍耳电场的共同作用下，沿y轴分别向相反的两侧偏转，这些载流子的动能将转化为热能，使两侧的温升不同，因而造成y方向上的两侧的温差（TA－TB）。因为霍尔电极和元件两者材料不同，电极和元件之间形成温差电偶，这一温差在A、B间产生温差电动势VE，VE∝IB。

这一效应称爱廷豪森效应，VE的大小与正负符号与I、B的大小和方向有关，跟VH与I、B的关系相同，所以不能在测量中消除。

（3）伦斯脱效应

图6-6-5 正电子运动平均速度（ 图中V’V）

由于控制电流的两个电极与霍尔元件的接触电阻不同，控制电流在两电极处将产生不同的焦耳热，引起两电极间的温差电动势，此电动势又产生温差电流（称为热电流）Q，热电流在磁场作用下将发生偏转，结果在y方向上产生附加的电势差VH，且VH∝QB这一效应称为伦斯脱效应，由上式可知VH的符号只与B的方向有关。

（4）里纪－杜勒克效应

如前节（3）所述霍尔元件在x方向有温度梯度的dT/dX，引起载流子沿梯度方向扩散而有热电流Q通过元件，在此过程中载流子受Z方向的磁场B作用下，在y方向引起类似爱廷豪森效应的温差TA－TB，由此产生的电势差VH∝QB，其符号与B的方向有关，与Is的方向无关。为了减少和消除以上效应的附加电势差，利用这些附加电势差与霍尔元件工作电流Is，磁场B（即相应的励磁电流IM）的关系，采用对称（交换）测量法进行测量。

当＋IS，＋IM时 VAB1 ＝＋VH＋V0＋VE＋VN＋VR 当＋IS，－IM时 V AB2 ＝－VH＋V0－VE＋VN＋VR 当－IS，－IM时 V AB3 ＝＋VH－V0＋VE－VN－VR 当－IS，＋IM时 V AB4 ＝－VH－V0－VE－VN－VR 对以上四式作如下运算则得：

1（VAB1－VAB2+V AB3－V AB4）＝VH＋VE 4可见，除爱廷豪森效应以外的其他副效应产生的电势差会全部消除，因爱廷豪森效应所产生的电势差VE的符号和霍尔电势VH的符号，与IS及B的方向关系相同，故无法消除，但在非大电流、非强磁场下，VH>>VE，因而VE可以忽略不计，由此可得：

VH≈VH＋VE＝

V1?V2?V3-V4

4__

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/91ih.html