解三角形（教师版）

解三角形练习（1）----正、余弦定理的应用 一、基础知识

（一）知识要点 1．正弦定理:

abc???2R或变形：a:b:c?sinA:sinB:sinC.

sinAsinBsinC?b2?c2?a2?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA?222?2．余弦定理： ?b2?a2?c2?2accosB 或 ?cosB?a?c?b. ?2ac?c2?b2?a2?2bacosC?2??b?a2?c2?cosC?2ab?3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用

?ABC中

A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot. 222222（二）余弦定理的应用

（1）已知三边（SSS，SAS）解三角形

1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝7，cos C＝

4，则角A的大小为___45°． 52、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c=22,则COSA= (三)正弦定理的应用

（1）已知两角和一边（ASA,AAS）解三角形

3.在△ABC中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( )

A.2 B.23-2 C. 3 -1 D.2(2-1) 解析:∵A=60°,C=45°,

∴B=180°-60°-45°=75°,故c边最小.

76 242bsinCcb2?23?2 ??∵,∴c?sinBsin750sancsanB2?答案:B

（2）已知两边和其中一边所对的角（SSA）解三角形 4.在△ABC中,a=1,b=3,A=30°,则B等于( )

A.60° B.60°或120° C.30°或150° D.120°

解析:∵b=3>a=1,A=30°, ∴B有两个解. ∵

ab?, sanAsanB∴sinB?bsina?a3?12?3 12∴B=60°或120°.

答案:B

5、已知△ABC中,a=3,b=1,B=30°,则其面积等于( )

A.

33333或3 B. C. 或D. 22 42 4答案:C

6.△ABC中,根据下列条件,确定△ABC有两解的是( )

A.a=18,b=20,A=120° B.a=60,c=48,B=60° C.a=3,b=6,A=30° D.a=14,b=16,A=45° 答案:D

7．在△ABC中，a＝23，b＝22，∠B＝45°，则∠A为( )．

A．30°或150° 8.在△ABC中,若

B．60°

C．60°或120°

D．30°

sinAcosB

=,则B的值为…( ) ab

A.30° B.45° C.60° D.90°

sinAsinB=, absinBcosB∴=.∴sinB=cosB.

bb

解析:∵

∴B=45°. 答案:B

二、例题分析

例1、.已知三角形的两角分别是45°、60°,它们夹边的长是1,求最小边长.

解:如图所示,A=75°, 故最小的边长为b.

1b=.

sin75?sin45?解得b=3-1.

∴

例2.如图所示,AB⊥BC,CD=33,∠ACB=15°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求AB的长.

解:在△DBC中,

∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD)=180°-(45°+75°)=60°. 在△BCD中,由正弦定理,得

BCDC=,

sin?BDCsin?DBC33sin45?∴BC==116.

sin60? 在Rt△ABC中,AB=BCtan15°=116(2-3)=226-332. 例3.在△ABC中,已知tanA=

11,tanB=,且最长边为1,求: 23(1)角C的大小;

(2)△ABC最短边的长.

解:(1)∵tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)

tanA?tanB=-1,

1?tanAtanB3?∴C=.

4113?(2)∵tanA=>=tanB,C=,

234=-∴C为最大角,B为最小角.

110,∴sinB=. 310bc 由正弦定理,得=,

sinBsinCcsinB5∴b==.

sinC5 又tanB=

例4.在△ABC中,已知A+C=2B,tanA·tanC=2+3. (1)求A、B、C的值;

(2)若顶点C的对边c上的高等于43,求△ABC各边的长.

思路分析:结合题目的条件,由tanA·tanC=2+3,A+C=2B,可知B=60°,A+C=120°,

∴可利用两角和的正切公式求tanA+tanC,从而构造方程求A与C的正切值,再求角A与C. 解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°, ∴B=60°.∴A+C=120°.

tanA?tanC=-3,

1?tanA?tanC 则tanA+tanC=3+3.

∴tan(A+C)=

那么tanA、tanC即为x-(3+3)x+(2+3)=0的两根.

2

∴??tanA?1,?tanC?2?3或??tanA?2?3,?tanC?1.

?A?45?,?C?45?,??∴?B?60?,或?B?60?, ?C?120??45??75??A?120??45??75?.???A?45?,?(2)如图,当?B?60?,时,

?C?75??

∵CD=43,∴CB=8,BD=4,AD=43,AC=46. ∴AB=4+43.

?A?75?,? 当?B?60?,时,如图.

?C?45??

∵CD=43,∴CB=8,BD=4,

43431634362?AC=sin75?=sin(45??30?)=44=2?6 =43(6-2)=46(3-1).

∴AB=BD+AD=4+43(2-3)=83-8.

例5.某人在草地上散步,看到他西方有两根相距6米的标杆,当他向正北方向步行3分钟后,看到一根标杆在其西南方向上,另一根标杆在其南偏西30°方向上,求此人步行的速度.

解:如图所示,A、B两点的距离为6米,当此人沿正北方向走到C点时,测得∠BCO=45°,∠ACO=30°, ∴∠BCA=∠BCO-∠ACO=45°-30°=15°. 由题意,知∠BAC=120°,∠ABC=45°. 在△ABC中,由正弦定理,得

ACAB=,

sin?ABCsin?BCAAB?sin?ABC6?sin45? 即有AC===63+6.

sin15?sin?BCA 在Rt△AOC中,有 OC=AC·cos30°=(63+6)×

3=9+33. 2 设步行速度为x米/分,

9?33 则x==3+3≈4.73. 3 即此人步行的速度约为4.73米/分. 三、课后练习

1在ΔABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c，若sinA?13,sinB?，求a:b:c 。 221:3:2或1:3:1

12、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______. 45°

43．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（C ） A．5

B．6 C．7

D．8

π14．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.

23

(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积． πππ

解：(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0

22413

故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.

33(2)由(1)得cosA＝

BCACsinA6

.又由正弦定理，得＝，BC＝·AC＝32. 3sinAsinBsinB

πππ

∵C－A＝，∴C＝＋A，sinC＝sin(＋A)＝cosA，

222

1116

∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝×6×32×＝32.

2223

5．在△ABC中，若(a?b?c)(a?b?c)?3ac，且tanA?tanC?3?3，AB边上的高为43，求角

A,B,C的大小与边a,b,c的长

解：(a?b?c)(a?b?c)?3ac,a?c?b?ac,cosB?2221,B?600 2以

有

tan(A?C)?tanA?tanC3?3,?3?,1?tanAtanC1?tanAtanC所

tanAtanC?2?3，联立

00????tanA?2?3??tanA?1?A?75?A?45或?或?，即? tanA?tanC?3?3得，?00???C?45?C?75?tanC?1?tanC?2?3?? 当A?75,C?45时，b?0043?4(32?6),c?8(3?1),a?8 sinA43?46,c?4(3?1),a?8 sinA当A?45,C?75时，b?00000∴当A?75,B?60,C?45时，a?8,b?4(32?6),c?8(3?1),

a1sinA1=,∴=, b2sinB2sinA1 即=.

sin(A?60?)2解析:∵

整理得sinA=

33cosA,即tanA=. 33∴A=30°.

9．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风， 那么此人感到的风向为 东南，风速为 2 a.

10．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ 4010. 11．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60° 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯 塔的距离是 103 8． 9． .

0

12．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两

20

楼的高分别是 203 ， 3 .

3

13．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米. 15

cos2Acos2B11

14．在△ABC中，求证：2 －2 ＝2 －2 .

ababcos2Acos2B11

解析．在△ABC中，求证：2 －2 ＝2 －2 . abab1－2sinA1－2sinB11sinAsinB提示：左边＝ － ＝(2 －2 )－2(2 －2 )＝右边. 22

2222

ababab

15．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）

解析：由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°

在△ABC中，由正弦定理 ＝ sinCsinAABBCABsinA120×sin450

∴ BC＝ ＝ ＝0

sinCsin60

11

S△ABC＝ AB·BCsinB＝ AB·h

22∴h＝BCsinB＝406 ×

120×

3

2

22

＝406

6＋2

＝60＋203 ≈94.64 4

∴河宽94.64米.

16．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？ 解析：设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C 则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120° 由余弦定理

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC

122

(28t)＝81＋(20t)－2×9×20t×(－ ) 2

整理得128t－60t－27＝0

39

解得t＝ (t＝－ 舍去)

432

故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile) 由正弦定理

2

ACBC?

sin120?sinBAC15355

∴sinBAC＝ ×＝ 3 ∠BAC＝arcsin 3

2121414

π5

故甲舰沿南偏东 －arcsin 3 的方向用0.75 h可追上乙舰.

414

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