2015年高考真题概率与统计(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）

1．（2015?广东 理）某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差s；

（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

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2

2．（2015?新课标二卷 理）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 满意度等级

低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

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3．（（2015?新课标一卷 理）本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。 （1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 4．（2015?重庆理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

?x ??y ??w ?(x?x)ii?182 ?(w?w)ii?182 ?(x?x)(y?y) ?(w?w)(y?y) iiiii?1i?18846.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 ??1表中wi?xi ，w =

8?w

ii?18（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

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附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，??，(un,vn),其回归线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

5．（2015?天津 理）（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 6．（2015?四川 理）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，

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2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望. 7．（2015?陕西 理）本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为?，?只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

?（分钟） 频数（次）

25 20 30 30 35 40 40 10 （Ⅰ）求?的分布列与数学期望??；

（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

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故E(X)=0?7711?2?1515153． 5（Ⅱ）x的回归方程类型；

考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 4．（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用

?y?100.6?68x（Ⅲ）46.24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w?x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.

（Ⅱ）令w?x，先建立y关于w的线性回归方程，由于

)108.8=68， =16??d?(w?wii?18ii?18)yi(?y2?(w?w)??y?dw?=563-68×6.8=100.6. ∴c∴y关于w的线性回归方程为?y?100.6?68w， ∴y关于x的回归方程为?y?100.6?68x.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

?y?100.6?6849=576.6， ??576.6?0.2?49?66.32. z（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

??0.2(100.6?68x)?x??x?13.6x?20.12， z∴当x=13.6?取得最大值. =6.8，即x?46.24时，z2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.??12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

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5．（Ⅰ）

6; 35（Ⅱ） 随机变量X的分布列为

X 1 P

2 3 4 3311 147714E?X??5 2【解析】（Ⅰ）由已知，有

2222C2C3?C3C36 P(A)??4C835所以事件A发生的概率为

6. 35（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

k4?kC5C3P?X?k??(k?1,2,3,4)

C84所以随机变量X的分布列为

X 1 P 2 3 4 3311 147714所以随机变量X的数学期望E?X??1?13315?2??3??4?? 1477142考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 6．（1）A中学至少1名学生入选的概率为p?（2）X的分布列为：

99. 100Xp115235315

X的期望为E(X)?2.

【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.

33C3C1参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为34. ?3C6C6100因此，A中学至少1名学生入选的概率为1?199?. 100100答案第4页，总10页

（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.

13C3C1P(X?1)?43?，

C65C32C323P(X?2)??， 4C6531C3C1P(X?3)?43?，

C65所以X的分布列为：

Xp115235315

因此，X的期望为E(X)?1?131?2??3??2. 555考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考

查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 7．（Ⅰ）分布列见解析，32；（Ⅱ）0.91． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先算出?的频率分布，进而可得?的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望??；（Ⅱ）先设事件?表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出?的概率． 试题解析：（Ⅰ）由统计结果可得?的频率分步为

?（分钟） 频率 25 30 35 40 0．2 0．3 0．4 0．1 25 30 35 40 以频率估计概率得?的分布列为 ? ? 0．2 0．3 0．4 0．1 从而 ET?25?0.2?30?0.3?35?0.4?40?0.1?32（分钟）

（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与?的分布列相同．设事件?表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件?对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”． 解法一：P(A)?P(T1?T2?70)?P(T1?25,T2?45)?P(T1?30,T2?40)

?P(T1?35,T2?35)?P(T1?40,T2?30)?1?0.2?1?0.3?0.9?0.4?0.5?0.1?0.91．

解

法

二

：

+P(T1>=40,T2=40)T1P(=1AT+2)P=T答案第5页，总10页

?0.4?0.1?0.1?0.4?0.1?0.1?0.09

故P(A)=1-P(A)=0.91．

考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率． 8．（Ⅰ）有：125，135，145，235，245，345； （Ⅱ）X的分布列为 X P 0 -1 1 2 34 211 1411 42EX?【解析】 试题分析：（Ⅰ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（Ⅱ）

试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；

3（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为C9?84

随机变量X的取值为：0，-1，1，因此

32C81211C421 , P?X?0??3? P?X??1??3? ,P?X?1??1???14342C93C914所以X的分布列为 X P 0 -1 1 2 321114?1?? 因此EX?0??(?1)?31442219．（1）

1 1411 42考点：1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.

7；（2）详见解析. 10【解析】

试题分析：（1）记事件A1?｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A2?｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

B1?｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B2?｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C?｛顾客抽奖1次能

获奖｝，则可知A1

与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1?A1A2，B2?A1A2?A1A2，

C?B1?B2，再

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利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知X?B(3,)，分别求得

1564480104311142P(X?0)?C)?P(X?1)?C3()()?，，3()(55125551251412131340P(X?2)?C32()2()1?，P(X?3)?C3()()?，即可知X的概率分布及

5512555125其期望.

试题解析：（1）记事件A1?｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A2?｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

，B2?｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C?｛顾客抽奖1次能B1?｛顾客抽奖1次获一等奖｝

获奖｝，由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1?A1A2，

B2?A1A2?A1A2，C?B1?B2，

∵P(A1)?4251211?，P(A2)??，∴P(B1)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???， 105102525P(B2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1)(1?P(A2))?(1?P(A1))P(A2)

?21211?(1?)?(1?)??52522，故所求概率为

117??；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）521011知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴X?B(3,)，

55464480111142P(?X03?)C0(3?)，(P(X)?1)?C3()()?于是，

55125551251412P(X?2)?C32()2()1?，

55125131340P(X?3)?C3()()?，故X的分布列为

551250 1 2 3 X P(C)?P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P

64 12548 12512 1251 12513X的数学期望为 E(X)?3??.

55考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.

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10．（Ⅰ）Z的分布列为： Z 8160 10200 10800 0．3 0．5 0．2 P E(Z)?9708；（Ⅱ）0．973． 【解析】（Ⅰ）设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y，相应的获利为z，

?2x?1.5y?W,?x?1.5y?12,?则有? （1）

2x?y?0,???x?0, y?0.yyy12108B(2.4,4.8)8B(3,6)8B(3,6)C(6,4)OA(0,0)C(6,0)12xOA(0,0)C(7.5,0)12xOA(0,0)D(9,0)12x第20题解答第20题解答

第20题解答

目标函数为 z?1000x?1200y．

当W?12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0)． 5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

612005z当x?2.4, y?4.8时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?2.4?1000?4.8?1200?8160．

当W?15时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0)． 5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

612005z当x?3, y?6时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?3?1000?6?1200?10200． 当W?18时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0)． 5z将z?1000x?1200y变形为y??x?，

612005z当x?6,y?4时，直线l：y??x?在y轴上的截距最大，

61200最大获利Z?zmax?6?1000?4?1200?10800． 故最大获利Z的分布列为

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Z 8160 10200 10800 0．3 0．5 0．2 P 因此，E(Z)?8160?0.3?10200?0.5?10800?0.2?9708.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p1?P(Z?10000)?0.5?0.2?0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

p?1?(1?p1)3?1?0.33?0.973.

考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 11．（Ⅰ）

3；（Ⅱ）350. 10【解析】 试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的

11A2A33是正品”为事件A.得出P(A)??.（Ⅱ）X的可能取值为200,300,400.依此求

A5210136,,，列出分布列，求出期望101010136EX?200??300??400??350.

101010试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.

出

各

自

的

概

率

11A2A3P(A)?23?.

A510（Ⅱ）X的可能取值为200,300,400.

2A21P(X?200)?2?.

A5103112A3?C2C3A23. P(X?300)??3A510P(X?400)?1?P(X?200)?P(X?300)?1?故X的分布列为 136??. 101010X P 200 1 10300 3 10400 6 10EX?200?136?300??400??350. 101010考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.

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12．（Ⅰ）

15；（Ⅱ）分布列见解析，期望为． 225431=

6542151,P(X=2)=?6651542,P(X=3)=创1=. 6653【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 则P(A)=创（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3 又P(X=1)=所以X的分布列为

所以E(X)=1?1122?3?6635． 2考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 13．（Ⅰ）【解析】

试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为

310，（Ⅱ），（Ⅲ）a?11或18 7493；如果a?25，7甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为

10，由于A组数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为a，12，4913，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a，由于A，B两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以a?11或18.

试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率P?3； 7(Ⅱ) 如果a?25，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率P?10. 49(Ⅲ)把B组数据调整为a，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a，可见当a?11或a?18时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)

考点：1、古典概型；2、样本的方差

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