2019届高考数学大一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面

第二节 空间几何体的表面积与体积

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅰ，6,5分(表面积) 了解球、棱柱、棱锥、台2016，全国卷Ⅱ，6,5分(表面积) 2016，全国卷Ⅲ，10,5分(体积最大值) 2016，北京卷，6,5分(三棱锥体积) 2016，浙江卷，14,6分(体积最大值) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。

(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr＋2πrl，S锥＝πr＋πrl。

(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r1＋r2)＋π(r1

＋r2)l。

(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。 2．几何体的体积 (1)V柱体＝Sh。 1

(2)V锥体＝3Sh。

11422

(3)V台体＝3(S′＋SS′＋S)h，V圆台＝3π(r1＋r1r2＋r2)h，V球＝3πR3(球半径是R)。

微点提醒

1．求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。

2．求几何体的体积，要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。

小|题|快|练

- 1 -

2

2

2

2

命题角度 本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结的表面积和体积的计算公式。 构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。 一 、走进教材

1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。

1111

【解析】 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝3×2×2a×211147

b×2c＝48abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－48abc＝48abc，所以V1∶V2＝1∶47。

【答案】 1∶47

2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。

24

【解析】 旋转一周所得几何体为以5 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝2424336

π×5×6＋π×5×8＝5π(cm2)。

336

【答案】 5π cm2 二、双基查验

1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

- 2 -

A．20π C．28π

B．24π D．32π

【解析】 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝2＋

2

2

3

2

＝4，圆柱的高h＝4，所以该几

1

何体的表面积S表＝πr＋ch＋2cl＝4π＋16π＋8π＝28π。故选C。

【答案】 C

2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A．12π C．72π

B．36π D．108π

【解析】 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为

2

2

?1?2

?－??2×6?＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球

的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π。故选B。

【答案】 B

3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。 【解析】 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr。解得r＝1，即直径为2。

【答案】 2

4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。

- 3 -

【解析】 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＋2

33＝2，通过侧视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝2。

3

【答案】 2 5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。

【解析】 如图，设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2a，在△ODC中， 7a223a??2?22

OD2＋DC2＝OC2，即a2＋??3?＝r，所以r＝3， 28

S球表＝4πr＝3πa2＝7π，

2

33

所以a＝4，即a＝2，

2

3?3?3923?V三棱柱＝4(2a)·2a＝23a＝23×??2?＝4。 9

【答案】 4 微考点 大课堂

考点一 空间几何体的表面积 【典例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) - 4 -

A．8＋22 C．14＋22

B．11＋22 D．15

(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每28π

个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是3，则它的表面积是( )

A．17π C．20π

【解析】 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示。

直角梯形斜腰长为1＋1＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积1

为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×2×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22。故选B。

1

(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩下的几何体，设球742873

32

的半径为r，故8×3πr＝3π，所以r＝2，表面积S＝8×4πr＋4πr2＝17π。故选A。

【答案】 (1)B (2)A

2

2

B．18π D．28π

- 5 -

反思归纳 以三视图为载体的几何体表面积的求法 1．恰当分析给出的三视图。

2．找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 3．注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。

【变式训练】 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )

11πA.2 C．11π

11π

B.2＋6 11π

D.2＋33

【解析】 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台1111

22

侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S＝2π×1＋2π×2＋2π(1＋2)×2＋2×(2＋11π

4)×3＝2＋33。故选D。

【答案】 D 考点二 角度一：以三视图为背景的体积问题 【典例2】 (2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm，体积是________cm。

2

3

空间几何体的体积……多维探究 - 6 -

【解析】 将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V＝2×2×2×4＝32 cm，表面积为6×2×4＋6×2×2＝72 cm。

【答案】 72 32

角度二：利用割补法、换底法求体积

【典例3】 如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1

而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为( )

2A.2 2C.4 3B.3 D.2

3

2

【解析】 以正方形ABCD为底面，DD1为棱将题图补成一个正四棱柱ABCD－A2B1C2D1，如图所示。

∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，

∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。

∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面A1BC1D1与底面ABCD所成的二面角的平面角。

∴∠D1BD＝45°。

∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝2。

∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的体积V＝1×1×2＝2。

- 7 -

2

∴所求多面体的体积为2。故选A。 【答案】 A

反思归纳 1.分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。

2.补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算。 3.换底法：三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。

4.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解。 考点三 与球有关的“切”、“接”问题……母题发散 【典例4】 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π C．144π

B．64π D．256π

【解析】 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥111

2

O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝3×2R×R＝6R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR＝144π，故选C。

【答案】 C

【母题变式】 1.若本典例条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的半径。

【解析】 设球的半径为R，因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，

2

AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径。取BC中点D，则

OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝122＋52

13＝13，即R＝2。

13

【答案】 2 2．若本典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积。

【解析】 如图，设球心为O，半径为r，

9

则在Rt△AOF中，(4－r)＋(2)＝r，解得r＝4，则球O的体

2

2

2

44?9?3243π3?积V球＝3πr＝3π×??4?＝16。

- 8 -

243π

【答案】 16

反思归纳 空间几何体与球接、切问题的求解方法

1.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题

转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。

2.若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，

PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解。

【拓展变式】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球。若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )

A．4π C．6π

9π

B.2 32πD.3 【解析】 由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上344π279π

3

下底面相切，此时球的半径R＝2，该球的体积最大，Vmax＝3πR＝3×8＝2。故选B。

【答案】 B

微考场 新提升 1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) 16

A.3π C．16π

2

32B.3π D．24π

4

解析 设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR＝16π，解得R＝2。所以体积为3πR3

32π

＝3。故选B。

答案 B

2．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为( )

A．15π C．30π

B．20π D．40π

解析 依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π。故选A。

答案 A

3．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )

- 9 -

A．9 C．12

B．10 D．18

解析 由三视图还原出几何体的直观图如图，SD⊥平面ABCD，AB与DC11

平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求体积V＝3×2×(2＋4)×3×3＝9。故选A。

答案 A

4．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________。

解析 由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，1?13?

??所以该三棱锥的体积V＝3×?2×23×1?×1＝3。

3

答案 3

- 10 -

5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)。若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________。

解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题

?1?2

?意得(5.4－x)×3×1＋π·??2?x＝

12.6，解得x＝1.6。

答案 1.6

微专题 巧突破 巧定各类外接球的球心 简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。

一、由球的定义确定球心

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：

1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； 2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； 3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；

4．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；

5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 【典例1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )

A．16π

B．20π

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C．24π D．32π

【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，半径为6，球的表面积为24π，故选C。

【答案】 C

【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。

【变式训练1】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( )

A．16π C．8π

B．4π D．2π

【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面外接圆的半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球的半径R为1，则三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故选B。

【答案】 B

二、构造长方体或正方体确定球心

1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；

2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；

3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体。

【典例2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是

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________。

【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体。34π?3?9π

?3

从而外接球的直径为3，半径为2，故所求外接球的体积V＝3×??2?＝2。

9π

【答案】 2 【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c。

【变式训练2】 (2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )

2

2

2

A．200π C．100π

B．150π D．50π

【解析】 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外

?52?2

?接球的表面积为S＝4πR＝4π×??2?＝50π。故选D。

2

【答案】 D 三、由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。

【典例3】 正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表

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面积为________。

【解析】 如图，设三棱锥A－BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以(3－r)2316π

2

＋1＝r，解得r＝3，所以球O的表面积S＝4πr＝3。

2

2

16π

【答案】 3 【小结】 本题是运用公式R＝r＋d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式。本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实

质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究。这种等价转化的数学思想方法值得我们深思。

【变式训练3】 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )

2

A.2 C.2

B．1 D.3

2

2

2

【解析】 由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为△ABC所在圆面的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点。设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，

xxOM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，

?x?2?x?2

???∴??2?＋?2?＝1，即x＝2，则AB＝AC＝1，

∴S矩形ABB1A1＝2×1＝2。故选C。 【答案】 C欢迎下载！

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欢迎下载！

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