2018北京西城区高三统一测试数学（理）试题及答案

2018北京市西城区高三统一测试

数 学（理） 2018.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．若集合A?{x?R|3x?2?0}，B?{x?R|x2?2x?3?0}，则A（A）{x?R|x??1} 2（C）{x?R|??x?3}

3B?

2（B）{x?R|?1?x??}

3（D）{x?R|x?3}

2．执行如图所示的程序框图，输出的k值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5

223．已知圆的方程为x?y?2y?0．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆

的极坐标方程为 （A）???2sin? （C）???2cos?

（B）??2sin? （D）??2cos?

4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A）33 （B）93 2（C）6?3 （D）6?23 5．已知O是正方形ABCD的中心．若DO??AB??AC，其中?，??R，则（A）?

6．设函数f(x)?x2?bx?c．则“f(x)有两个不同的零点”是“?x0?R，使f(x0)?0”的 （A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

1 2??????????? ?（B）?2 （C）?2 （D）2

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（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

2??2x?4x?1,x?0,7．函数f(x)?? 则y?f(x)的图象上关于原点O对称的点共有 x2?3,x≤0.??（A）0对 （C）2对

（B）1对 （D）3对

8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为a，b，c，其中a?b?c．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A）U?V?W

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(a?i)(3?4i)的实部与虚部相等，则实数a?____．

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?2，S4?20，则a3?____；Sn?____．

（B）V?W?U

（C）W?U?V

（D）U?W?V

x211．已知抛物线y??8x的焦点与双曲线2?y2?1(a?0)的一个焦点重合，则a?____；

a2双曲线的渐近线方程是____．

212．设??0，若函数y?cos?x的最小正周期为

π，则??____． 2

13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参

加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

14．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AB?2，BC?1，

点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等， 则A1P的最小值是____．

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC中，已知3a?sinC?c?sin2A． （Ⅰ）求?A的大小；

（Ⅱ）若a?7，b?23，求△ABC的面积． 16．（本小题满分13分）

某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：

岗位 A B C D E 总计 男性应聘人数 269 40 177 44 3 533 男性录用人数 167 12 57 26 2 264 男性录用比例 62% 30% 32% 59% 67% 50% 女性应聘人数 40 202 184 38 3 467 女性录用人数 24 62 59 22 2 169 女性录用比例 60% 31% 32% 58% 67% 36% （Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；

（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用

比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB?AC?25，BC?4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE?平面BCED，如图2． （Ⅰ）求证：A1O?BD；

（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为说明理由．

图1 图2

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5AF？若存在，求出1的值；若不存在，3A1C18．（本小题满分13分）

x已知函数f(x)?e?(a?1?lnx)，其中a?R． xx垂直，求a的值； e（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??（Ⅱ）当a?(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值．

19．（本小题满分14分）

已知圆O:x2?y2?4和椭圆C:x2?2y2?4，F是椭圆C的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；

（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（P,Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心

为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与圆F的位置关系，并证明你的结论．

20．（本小题满分13分）

数列An：a1,a2,,an(n≥2)满足：ak?1(k?1,2,,n)．记An的前k项和为Sk，并规定S0?0．定义集合

En?{k?N*，k≤n|Sk?Sj，j?0,1,,k?1}．

（Ⅰ）对数列A5：?0.3，0.7，?0.1，0.9，0.1，求集合E5； （Ⅱ）若集合En?{k1,k2,,km}(m?1，k1?k2??km)，证明：Sk?Sk?1(i?1,2,,m?1)；

i?1i（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足Sn?C的数列An，求集合En的元素个数的最小值．

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数学试题答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．?7 10．6，n2?n 11．3，x?3y?0

12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 3a?sinC?c?sin2A，

所以 3ac?sinC?2sinAcosA． [ 1分] 在△ABC中，由正弦定理得 3sinAsinC?sinC?2sinAcosA． [ 3分] 所以 cosA?32． [ 4分] 因为 0?A?π， [ 5分] 所以 A?π6． [ 6分] （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA， 所以 (7)2?(23)2?c2?2(23)?c?32， [ 8分] 整理得 c2?6c?5?0， [ 9分] 解得 c?1，或c?5，均适合题意． [11分]

当c?1时，△ABC的面积为S?132bcsinA?2． [12分]

当c?5时，△ABC的面积为S?1532bcsinA?2． [13分]

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 533?467?1000，

被该企业录用的人数为 264?169?433，

所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P?4331000．[ 3分] （Ⅱ）X可能的取值为0,1,2． [ 4分]

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