第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第一轮

立体几何题型总结（2015版文科）

重要定理：

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.

直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.

两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

P推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2， ??因为PM??,OA??,PM??,OB??则PM?OA,PM?OB. BMA

一：夹角问题

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次② 直线的倾斜角、到

的角、与

的夹角的取值范围依次是

．

θO.

异面直线所成角：范围：(0?,90?]

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用

到

余

弦

定

理

aθbca2?b2?c2cos??)

2ab（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。转化为向量的夹角cos??AB?ACAB?AC

(计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角

＝0时，b∥?或b?? ?

o斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、

斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：设直线l的方向向量为l，平面?的法向量为n，l与?所成的角为?，l与n的夹角为?，则有sin??cos??二面角??l??的平面角，

l?nln的求法

（1）定义法：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角?为二面角?—l—?的平面角。

1

（2）三垂线法：（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 向量法：设n1，n2是二面角??l??的两个面?，?的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角??l??的平面角为?，则cos??n1?n2n1n2．

二、空间距离问题

两异面直线间的距离

方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，n??且m//?，则异面直m和n之间的距离可转化为直线m与平面?之间的距离。

方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。

点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；

向量法：点到直线距离：在直线l上找一点?，过定点?且垂直于直线l的向量为n，则定点?到直线l的距离为d???cos???,n??点到平面的距离

方法一：几何法。步骤1：过点P作PO??于O，线段PO即为所求。

步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=方法二：坐标法。

?nmP???nn

?AO1S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 3n?APnn

POd?AP?cos?n?AP??αAθ线面距、面面距均可转化为点面距

三、平行与垂直问题

证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.

证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； 方法（2）：用线面垂直实现。 方法（3）：三垂线定理及其逆定理。

PO???l?????l?ml?OA???l?PA

m???l????

2

证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

方法（1）：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。

βlm??????l?AB??????m?l?? ??l?? ?AC?AB?A?l?m,l????AC,AB????面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l?ACαβll???????? l???α方法二：计算所成二面角为直角。

题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法

了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

H B A I C G 侧视

B

A

C B

B

B

B

E

F 图1

D E

F 图2

D E

A．

E

B．

E C．

E

D．

例2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

正视图 左视图

俯视图

例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为 ．

3

例10：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )

A．12? C．32?

例5：四棱锥P?ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P?ABCD的表面积为( ) A. 3a B.2a C.3a?

俯视图AaB2

B．16?

D．8?

222a2 D. 2a2?2a2

主视a图DC左视图a例6：三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是___________

例7：如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积．

例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知几何体的体积是_________

0

2 2 2 2 主视图 真题：

2 侧视图 1 1 俯视图

【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

A．14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

4

【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A．8cm3 B．12cm3 C．

3240cm3 D．cm3 33

【2015高考浙江，文7】如图，斜线段??与平面?所成的角为60，?为斜足，平面?上的动点?满足

?????30，则点?的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支

【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16?20?，则r?( ) （A）1 （B）2 （C）4 （D）8

【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为（ ）

A．3? B．4? C．2??4 D．3??4

5

【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A．8?22 B．11?22 C．14?22 D．15

【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）

21118(2?1)224(2?1)28?8A、 B、 C、 D、

??927?

【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 m .

3

【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.

6

斜二测法：S斜?2S原 4?例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A．

例10：对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）

A．2倍 B．

212 B． 2?2 C．1?2 D．1? ?222122倍 C．倍 D．倍

242例11：如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1＝B1C1＝2A1D1＝2， 则四边形ABCD的面积为( )

A．3 C．62

B．32

D．6

例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）

旋转体：

例13：下列几何体是旋转体的是（ ）

A B C D 例14：如图，在四边形ABCD中，?DAB?900，

，

，CD?22，AD?2，

求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积. 真题：

【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A）

22?3（B）42?3（）

22?7

（）

42?

题型二：定义考察类题型

例15：已知直线l、m,平面?、?，则下列命题中假命题是( ) A．若?//?，l??,则l//? B．若?//?，l??,则l??

C．若l//?，m??,则l//m D．若???，????l,m??,m?l,则m?? 例16：给定下列四个命题：

①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线 ②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线 ③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行 ④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直 其中，为真命题的是( )

A．○1和○2 B．○2和○3 C．○3和○4 D．○2和○4

例17：已知m,n是两条不同直线，?,?,?是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若???，m??,则m?? C．若m‖?,m‖?,则?‖?

B．若???,???,则?‖?

D．???,l??,l?c,????c?l??

例18：已知m、n是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，有下列命题： ①若m??,n//?，则m//n； ②若m//?，m//?，则?//?； ③若m??,m?n，则n?； ④若m??,m??，则?//?； 其中真命题的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例19：如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD?底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

A、AC⊥SB B、AB∥平面SCD C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

例20：已知?,?为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，a为直线，下列推理错误的是（ ） A.A?a,A??,B?a,B??,?a?? B.M??,M??,N??,N??,??C.A??,A??,??

8

??MN

??A D.A、B、M??,A、B、M??,且A、B、M不共线??、?重合

真题：

【2015高考浙江，文4】设?，?是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l??，m??（ ） A．若l??，则??? B．若???，则l?m C．若l//?，则?//? D．若?//?，则l//m

【2015高考广东，文6】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面?内，l2在平面?内，l是平面?与平面?的交线，则下列命题正确的是（ ）

A．l至少与l1，l2中的一条相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l与l1，l2都不相交

【2015高考湖北，文5】l1,l2表示空间中的两条直线，若p：l1,l2是异面直线；q：l1,l2不相交，则（ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

9

）

证明平行的方法：

线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。

线面平行：（1）根据定理证明（线//线?线//面）；（2）通过面面平行的性质定理（面//面?线//面） 面面平行：（1）平面?中分别有两条相交线与平面?的两条相交线平行 （2）平面?的法向量与平面?的法向量平行

例21：如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，

P E 2侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?AD，若E、F分别

2为PC、BD的中点.

（1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PDC? 平面PAD.

A D F C B 例22：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.

D1NA1B1MC1DCAB

10

异面直线的夹角问题：

例36：在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

?BAD?90?,AD//BC,AB?BC?aAD?2a,PA?底面ABCD,PD与底面成30°

（1）若AE?PD,E为垂足，求证：BE?PD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；

例37：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点 （1）求证：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA?43，求异面直线PA与MN所成的角的大小

例38：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?平面ABCD，

MNNB?平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线

NE与AM所成角的余弦值

成的角的大小是____________。

16

DCEAB 例39：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所

D1A1DAB1C1NCBM

例40：已知正四面体ABCD中，各边长均为a，如图所示，E,F分别为AD,BC的中点，连接AF,CE，求异面直线AF,CE所成角的余弦值。

A

E

B

F D

C

?，2例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且?ASB＝?BSC＝?CSA＝M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

S

N C

M A B 例42：已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） （A）

3357 （B） （C） (D)

4444 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例43：如图,在正方体ABCD?A'B'C'D'中，E,F分别是AB',BC'的中点。 （1）若M为BB'的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD （2）求异面直线EF与AD'所成的角

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[来源:Z+xx+k.Com]D'C'A'B'

FEMDCAB

例44：如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值。 B 6 8 A 6 E D (第9题) C 线面夹角（了解）：

例45：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=AD=2，E是PC上的一点， 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

例46：如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分别是AA1，B1C的中点,DE?平面BCC1. （1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小

0A1B1DAEC1A1B1C1CB

ACB 18

真题：

【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，?ABC?90，AB?AC?2,AA1?4,A1在底 面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.

（1）证明：A1D?平面A1BC； （2）求直线A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值.

【2014高考，文18】如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面ABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

EBCPAD【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，（I）证明：平面AEF?平面B1BCC1； E,F分别是BC,CC1的中点。

（II）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥F?AEC的体积。

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题型六：距离问题：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。

例47：已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的地面边长为1，则棱场为2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离。

B1D1C1E

A1DCAB 例48：已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中 ，AB?2，则直线AC1与平面BEDCC1?22，E为CC1的中点，的距离为（ ）

A.2 B.3 C.2 D.1

例49：在?ABC中,AB=15，?BCA?120?，若?ABC所在平面?外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到?的距离是（ ）

A.13 B.11 C.9 D.7

PCBHA

例50：如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC??4, OA?底面ABCD,

OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

O（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

20

MABNCD

例51：?和?为平面，????l,A??,B??,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角??l??的大小为

2?，求，点B到平面?的距离为_____________ 3例52：P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

例53：如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC??4, OA?底面ABCD,

OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

OMABNCD（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离

例54：如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=错误！未找到引用源。,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;

(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离

例55：如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。

（1）试判断CF是否与平面ABED平行？并说明理由； （2）求多面体ABC－DEFG的体积。

CG

21

BEADF

例56：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求证：AO?平面BCD； （II）求点E到平面ACD的距离。

DA2.

BOE0

C例57：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。 (1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

题型七：求体积问题

例58：如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA?1，OD?2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线BC∥EF；（Ⅱ）求棱锥F?OBED的体积.

1

例59：如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

C1

B1

A1

D

B

C

A 22

真题：

【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V???C中，平面V???平面??C，?V??为等边三角形，

?C??C且?C??C?2，?，?分别为??，V?的中点．

（I）求证：V?//平面??C；（II）求证：平面??C?平面V??；（III）求三棱锥V???C的体积．

【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，

BE?平面ABCD，

（I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为求该三棱锥的侧面积.

23

6， 3

【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC?平面ABC，?ABC=线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.

(Ⅰ)证明：AB?平面PFE. (Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

?，点D、E在2PADF题（20）图ECB

题型八：翻折与展开问题及探索问题

例60：如图所示，等腰△ABC的底边AB?66，高CD?3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE?x，V(x)表示四棱锥P?ACFE的体积．

（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．

例61：在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF?平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体， FP

A

C

D F

E

B

（Ⅰ）求证：BE//平面ADF； （Ⅱ）求三棱锥F?BCE的体积．

24

D1A2E1FECD1BABC1

例62：正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示． (1)求证：AP⊥EF；

(2)求证：平面APE⊥平面APF.

例63：如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD?AE,F是BC的中

点,AF与DE交于点G,将?ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A?BCF,其中BC?(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF?平面ABF; (3) 当AD?2. 22时,求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG. 3AAGEDDGEFCBF图 4C

B图 5

例68：如图甲，在直角梯形PBCD中，PB//CD，CD?BC，BC?PB?2CD，A是PB的中点. 现 沿，E、F分别为BC、AB边的中点. AD把平面PAD折起，使得PA?AB（如图乙所示）（1）求证：PA?平面ABCD； （2）求证：平面PAE?平面PDE；

（3）试探究在PA上是否存在一点G，使得FG//平面PDE, 并说明理由.

25

图甲

图乙

真题：

【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC,?BAD??2,AB?BC?1AD?a，E2是AD的中点，将?ABE沿BE折起到图2中?A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE. O是OC与BE的交点，(I)证明：CD?平面AOC； 1(II)当平面A1BE?平面BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为362，求a的值.

【2014高考，文19】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=2，ED//AF且∠DAF=90°。

（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否 存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在， 求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。

o【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA?平面ABC，PA?1,AB?1,AC?2,?BAC?60. （Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；

（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC?BM，并求

PM的值. MC

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【2015高考福建，文20】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，??垂直于圆?所在的平面，且??????1．

（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证?C?平面?D?；（Ⅱ）求三棱锥P?ABC体积的最大值； （Ⅲ）若BC?2，点E在线段PB上，求CE?OE的最小值．

PEADOCBO

R R A O d r O1 纬线 A 题型九：球类问题专项练习

(1)球的截面(—圆)的性质:

O1r B ①球心O与圆心o1的连线Oo1与圆面垂直 ②球心与圆面的距离d?R?r

P 22o1 纬度 经度 O 地轴 经线

(2)球面上两点A,B的球面距离 ①定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长 ②求法:利用大圆O与小圆o1的公共弦AB, 注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角Ao1B (3)经度与纬度

①纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经过这点的纬度圈所在

的平面的夹角②经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线与地轴确定的半平面所在的二面角的大小.

(4)球内接长方体的性质: ①长方体的中心就是球心, ②长方体的对角线长就是球的直径

(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外接球的半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.

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(6)球体积V?43n?R?R,球的表面积S?4?R2,弧长公式l??R? 3180一：外接球的有关问题

棱锥的内切、外接球问题

例69：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

例70：设棱锥M?ABCD的底面是正方形，且MA?MD，MA?AB， 如果?AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

例71：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______ 例72：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

例73：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，则这个球的体积为__________ 8例74：正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为_______________.

例75：表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．

12222? B．? C．? D．?

3333二：球类的截面问题

例76：球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB?18，BC?24、

AC?30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

例77：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60?，若球半径为R，求弦AB的长度．

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例78：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于_______________.

例79：已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB?平面BCD，BC?DC，若AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是_______________.

例80：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的这个球的半径．

例81：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A．

33333 B． C． D．

341241，经过3个点的小圆的周长为4?，求6例82：直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于

例83：正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱柱的体积为

例84：用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1?24cm，r2?15cm．两截面间的距离为d?27cm，求球的表面积．

三：球面距离

例85： 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确 例86：已知A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为的最大距离是多少？

例87：在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49?cm和400?cm．求球的表面积． 例88：如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO?2，A、B是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为122 ?2R，求过A、B的平面中，与球心

2?，则?AO1B= 3

29

?例89：在半径为3的球面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，球心O到平面ABC的距离是则B、C两点的球面距离是（ ）

A.

32，24?? B.? C. D.2?

33四：其它问题

例90：在矩形ABCD中，AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则四面体

ABCD的外接球的体积为（ ）

A.

125125125125

? B.? C.? D.? 12963

例91：一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

例92：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8例93：（2012新课标理）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC?2;则此棱锥的体积为（ ）

A．2 6B．3 6C．2 3D．2 2例94：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.

例95：在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

例96：自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA?MB?MC的值． 例97：在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

例98：有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为______________.

30

222

向量法解立体几何

空间向量的坐标运算：

1.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则

(1) a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2) a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4) a·b＝a1b1?a2b2?a3b3； 2.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).

rr3、设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则

?rrrrrrrra//b?a??b(b?0)； a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.

?4.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos?a,b??5．异面直线所成角

a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223.

rrrr|a?b|cos??|cosa,b|=rr?|a|?|b|

6．平面外一点p到平面?的距离

|x1x2?y1y2?z1z2|x?y?z?x2?y2?z2212121222.

?n 已知AB为平面?的一条斜线，n为平面?的一个法

?α|AB?n|向量，A到平面?的距离为：d?

|n|

31

坐标法解立体几何

例99：在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0。 解：建立空间直角坐标系，如图1，则A(1,0,0)，

D1 A1 z B1 C D B 图1

y C1 C(0,1,0)。设平面ACD1的法向量n?(x,y,1)。

得AC?(?1,1,0)，AD1?(?1,0,1)。

,1)(?1,1?,0)0??x?1?(x,y又n?面ACD1，得n?AC，n?AD1。有?，得?。

y?1(x,y,1)(?1,0?,1)0????n?(1,1,1)，n0?n(1,1,1)333??(,,)。 n3331?1?1设向量n0是平面?的单位法向量，点B是平面?外一定点，点A是?内任意一点，则点B到平面?的距离

d?AB?n0。

例100：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （Ⅰ）证明：D1E?A1D；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为

例101：ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝

?4

A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是_________ 4例102：在三棱锥P?ABC中，AB?AC?3，AP?4,PA?面ABC,?BAC?90?, D是PA中点,点E在

BC上,且BE?2CE,

(1)求证：AC?BD；(2)求直线DE与PC夹角?的余弦值； (3)求点A到平面BDE的距离d的值.

例103：在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

32

例104：已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，?BCA?90，AC?BC?2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1?AC1。

（I）求证：AC1?平面A1BC；（II）求CC1到平面A1AB的距离； （III）求二面角A?A1B?C的余弦值。

例105：如图，在三棱锥V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC?BC?a，

π??∠VDC???0????．

2??（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（II）试确定角?的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为

Ｖ π． 6A

Ｃ Ｂ

Ｄ 33

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