物理奥赛复赛模拟题（三）与答案

物理奥赛复赛模拟题(三)与答案

题一：请分析解答下列几个相对论问题：

（1）试导出动量恒定的粒子体系，当所有粒子以相同速度、沿相同一个方向运动时，其相对论性总能量达最小值。

—+

（2）一个高能光子可产生一个正负电子对（e-e）。电子对产生是狄拉克（1928年）预言的，要求利用动量和能量守恒定律证明只有当有另一粒子参与作用时，才有可能产生电子对。

（3）一个静止电子的在库仑场中产生电子对，求有可能产生这过程的光子的最小能量（阈值）。

—+

（4）电子对e-e）的产生作为光子和极端相对论性的电子相互作用的结果，电子沿光子相反方向运动。如果已知光子的阈能E1=10eV，求：电子的能量。

分析与解答：（1）孤立粒子系的总动量、总能量和测量它们时所用的参考系有关。但是系：

当在质心参考系（给定动量

，能量

，因此

系）中，

这个物理量在所有惯性参考系是相同的，这称为相对论不变性，在质心参考

系）中，总能量有最小值时，在实验室参考系（

有最小值。

总是为正（或零），当

式中时，

和

是第个粒子的静质量和动能。因为

是最小值，即当在实验室参考系中，所有粒子具有相同速度沿直线运动时，其速度

和质心的速度相等。

（2）如果没有第三者参与此过程，则在电子对产生过程中能量和动量不可能同时守恒，有第三粒子参与时，电子对产生的过程可能发生，见下文。

（3）当反应后三个粒子沿光子方向运动并具有相同的动量时，光子的能量将为最小值（参见解答（1））。

根据动量和能量守恒定律，可得

(1)

式中

为光子的动量

(2)

式中

为每一粒子的总能量，

为电子的静能。根据相对论不变性

1

(3)

(4)

利用等式(2)，将(3)式和(4)式代入(1)式，得 (5)

对于电子，

，阈能

。

（4）在实验室参考系中电子的速度接近光速，我们在随电子运动的动力学参考系来考察此问题，其中电子是静止的，对于动量和能量，我们利用洛仑兹变换，可得在此参考系光子的能量为

(6)

式中

和

为在实验室参考系中光子的能量和动量。(6)式分子上的符号“+”表示光

，

，

代入(6)式，可得

子和电子运动相反，将

(7)

当

（超相对论性电子），有

(8)

电子的总能量为

用(8)式除以(9) 式，可得 (10)

2

(9)

（在动力学参考系中的阈能）

从(10)式可得

；

题2：两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图11-12所示，已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦系数为μ2，设用μ1表示A1与A2间的静摩擦系数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当μ1和F各取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种：

（1）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止。

（2）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在着相对运动。 图11-13 O

（3）A2相对于桌面而静止，A1相对于桌面滑动。 （4）A1和A2相对于桌面均静止。 图2(a) 1．分别写出上述各种运动情况中μ1和F满足的条件（不

要求写出运算过程）。 2．以横坐标表示μ1，纵坐标表示F，试在F-μ1图上标出与上述各种运动情况相应的μ1和F的取值范围。

分析与解答：1、（1）

（2）

图2(b) （3） （4）

，

2．上述各种运动情况相应的和F的取值范围如图2(b)所示。

题3：关于人体能量消耗问题，下表为各种活动热能产生率： 活动 休息 热能产生率（W） 温度变化（没有能量损失） 保持体温不变时水的蒸发 （°Chr-1） （kghr-1） 75 1.0 3

轻度工作 300

适度工作 600 重度工作 1200 1．（1）设人体与水的比热相同，所有产生的热能都能用来提高体温（没有从身体上损失），当休息时每小时温度升高约1.0°C，列于上表第二栏中。

（2）复制该表，根据第一栏数据，计算其他活动时每小时体温的升高量，列在第二栏。 （3）现设体温保持不变，能量仅用来使汗水蒸发，计算汗水的蒸发率，以kg/hr为单位，完成表中的第三栏。

（4）这些数据表明，能量被用来蒸发汗水率可能存在最大值，提出一个为什么出现该最大值的理由。

（5）现在利用你得到的表，计算所产生每千瓦的热源使体温升高的度数，设没有能量从身体上损失，并计算在保持体温不变时，所产生的每千瓦热能用于蒸发时水的蒸发率。

2．某一跑马拉松的运动员，质量为65kg，他产生的热能为900W，用了两个半小时跑完全程。

（1）假设以最大的蒸发率蒸发汗水，计算该运动员每小时温度升高多少？用所得的结果和所给出的数据解释为什么实际上还有另一些机构从人体内移走能量。

（2）另一个从身体耗散热能的机构是，从肺中蒸发的水被呼出体外，如果这是唯一的其他冷却机构，计算要保证体温不超过危险温度41°C时该运动员蒸发出的水的质量。

（3）计算在整个比赛过程中该运动员共损耗的水量（例如考虑两种机构），并说明脱水的危险。

3．（1）计算这个马拉松运动员的平均速度（m/s）。

（2）假设运动员在空气中运动，使得运动员身体截面前的空气运动，估算每秒有多少质量的空气运动。

（3）假设带动的空气与运动员具有相同的速率，计算： ——每秒钟他传递给空气的动能。

——为在空气中跑动，他必须提供的功率。 ——通过空气中，他所受的力。

4．食物的新陈代谢和热耗散的速率随体温增加，解释为什么这能被描述为正反馈，简单地讨论可能的结果。

公式 比热容=

蒸发的潜热=

数据：

人体平均质量：65kg。 马拉松的全程：42km

开始马拉松前平均体温:37°C

从身体表面蒸发而耗散能量最大可能值为650W。 身体在41°C以上停止正常功能。

若由蒸发而损失的质量达人体质量的5%以上，出现严重脱水。 水的比热容：4200J·kg-1K-1。 35°C~45°C之间的平均蒸发潜热e为：

4

。

空气密度：。

分析与解答：1、（1）（2）设“有效人体质量”为能量）

，由（其他不损耗

轻度工作：

适度工作：

重度工作：（3）当令

，

休息时：

轻度工作： 适度工作：

重度工作：

（不能用1200W，要考虑人体最大蒸发率为650W）

（4）蒸发与人体和环境的温差有关，一般这个温度不会变化太大，所以在人体表面温度不变，温差达最大值时蒸发率也就出现最大值。

（5）（1）

（2）

2．（1）用来蒸发的功率为650W，用于升温的功率为900-650=250（W）每小时升温：

5

分析与解答： （1）设

为声源S发出两个信号的时刻，、

为

图6(a) 经历者接收两个信号的时刻，则第一个信号经过(被经历者A接收到，第二个信号经过（

-t1)时间

-t2）时间被经历者A收到，且

设声源发出第一个信号时，S、A两点间的距离为L，两个声信号从声源传播到经历者的过程中，它们运动的距离关系如图6(b)所示,可得：

由以上各式得：

（2）设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以结论，经历者接收到的声波振动的周期：

由此可得，观察者接收到声波频率与声源发出声波频率间的关系为：

图6(b)

题7：想讨论地球外洋潮汐的某些数值特征，为使问题简化，作如下假设：（1）地球和月球组成一个封闭系统；（2）月球到地球的距离为一常量；（3）地球完全由海洋覆盖； （4）地球绕其轴自转的动力学影响被略去；（5）地球提供的万有引力等于地球质量全部集中于地球中心时提供的万有引力。

参考数据：

地球质量：月球质量：地、月的中心间距：万有引力常量：

11

地球半径：

1．月球和地球以相同的角速度ω围绕系统质心C作圆周运动，试求地球中心到C的距离的数值，并确定ω数值。

地球到月球如图7在P平面 ， P平面现在取这样一个参照系，此参照系与地球、月球中心一起同步地围绕系统的统质心C旋转，在这一参照系中，地球的液体表面形状保持不变。

此参照系内与转轴垂直过质心C的平面P中，地球液体表面上质点的位置可用极坐标量r，φ表述，如图7所示，其中r是到地球中心距离。

在后面的讨论中，地球液体表面在P平面内的形状将表述为 r(ψ)=R+h(ψ)

式中R为地球半径。

2．在平面P中，考虑在地球液体表面上质量为m的一个质点，在所取参照系中，此质点受惯性离心力和月球、地球引力的作用。求：与这三个力相应的总势能表达式。

注意：相应于坐标原点的任何一种球对称径向为F（r），是对一个球对称势能U（r）求导数的负值，即当Δr趋近于零时有： F(r)???U(r)/?r

3．用已给出的M，

诸量，给出潮面的高度 h(φ)的

近似表述式。试问：最高涨潮位和最低落潮位之间的高度差为多少米？

解答本小问时，可利用下述近似展开式：

图7(a)

分析与解答：1、系统质心C与地球中心的间距满足如下关系式：

解得

将有关数据代入后，可算得

此值小于地球半径R，因此系统质心C位于地球内部。

地球绕C作圆周运动所需向心力由月球万有引力提供，即有

由此解得

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