《现代控制理论》习题册

南京航空航天大学金城学院《现代控制理论》习题册

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第一章 控制系统的状态空间描述

1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取uC和i为状态变量。

R+u(t)输入L+uc(t)_输出+y_

i(t)_

1-2 已知系统微分方程，试将其变换为状态空间表达式。

???2???4y??6y?2u yy（1）?

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???7???3y?u??2u yy（2）?

???5???4y??7y?u???3u??2u yy（3）?

???6???11y??6y?????8u???17u??8u yyu（4）?

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 1-3 试画出如图所示系统的状态变量图，并建立其状态空间表达式。

U(s)+-K1T1s?1+-K2T2s?1+-K3s1T4s?1Y(s)K5T5s?11s

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 1-4 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

s2?s?1s2?3s?1（1）G(s)?3 （2）G(s)?2 2s?6s?11s?6

（3）G(s)?4s(s?1)2(s?3) s?5s?64）G(s)?s2?2s?3s3?3s2?3s?1 - 4 -

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 1-5 已知系统

Y(s)s?3，试求其能控标准型和对角标准型。 ?2U(s)s?3s?2

1-6 已知系统传递函数，试用并联法求其状态空间表达式。 （1）G(s)?15G(s)? （2）

s3?6s2?11s?6s3?4s2?5s?2- 5 -

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 1-7 试求下列状态方程所定义系统的传递函数。

?1??0??x1??x1??11??u1?????????????????x2???25?4??x2??01??u2? ???y1???10??x1???y??01??x???2???2??

1-8 试将下列状态方程化为对角标准型。

?(t)??（1）x1??0?0?x(t)?u(t) ?????5?6??1?- 6 -

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10??0?23??x(t)??15?u(t) ?(t)??302（2）x????????12?7?6???71??

10??0?1??x(t)??1?u(t) ?(t)??001（3）x????????6?11?6???0??

1-9 试将下列状态方程化为约当标准型。

?(t)??（1）x

??21??0?x(t)?u(t) ????1?2??1?- 7 -

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?4（2）x?(t)???1??1

?0（3）x?(t)???0??21?2?02???31?x(t)?27??13???u(t) ????53??10??0?01?x(t)??0??54???u(t) ????1??- 8 -

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第二章 线性控制系统状态空间表达式的解

2-1 试求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵。

?01??0?1?（1）A??? （2）A???

?0?2?（3）A???01???1?2?? ??0100?（5）A??0010???0001?? ?0000???40 ?

?010?4）A???001? ??54??2?????000?6）A??0?10???00?1?? ?000???- 9 -

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2-2 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件。如果满足，试求对应的矩阵A。

00??1??

sintcost（1）Φ(t)?0????0?costsint???1（2）Φ(t)???0?1?(1?e?2t)? 2?e?2t?

?2e?t?e?2t（3）Φ(t)???t?2t?e?e?1?t3t(e?e)?2（4）Φ(t)????e?t?e3t??2e?t?2e?2t? ?t?2t??e?2e?1?(?e?t?e3t)?4? 1?t(e?e3t)?2?- 10 -

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??Ax，已知当x(0)??2-3 线性定常系统的齐次状态方程为x?1??时，状态方程的?2?? ?e?2t??e?t??1?解为x(t)??，而当x(0)???时，状态方程的解为x(t)???t?，试求： ?2t???2e???1???e?（1）系统的状态转移矩阵?(t)； （2）系统的状态矩阵A。

2-4 已知系统状态方程和初始条件

?100??1??(t)??010?x(t)，x(0)??0? x???????012???1??（1）试用拉普拉斯变换法求状态转移矩阵； （2）试用化标准型法求状态转移矩阵； （3）求齐次状态方程的解。

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2-5 已知线性定常系统的状态方程和初始状态为

1??0?0??1??(t)??x?x(t)??1?u(t)，x(0)???1?

?2?3??????试求u(t)为单位阶跃函数时系统状态方程的解。

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第三章 线性控制系统的能控性和能观测性

3-1 判断下列系统的状态能控性。

（1）x????10??1???10?x????0?u?

?010?（2）x????001??1x??0?2?4?3?????????1???100??0?（3）x???0?00????1?x??00?0???1??u?000?????1??

0?1?u 1???- 13 -

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 3-2 判断下列系统的能观测性。

?????010?（1）?x???001?x?????2?4?3?? ???y????00?1??121??x????400?（2）??x????0?40?x??0??01?? ??y??114?x

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??Ax?Bu，若x1和x2是系统的能控状态，试证状态3-3 设系统的状态方程为x?x1??x2也是能控的，其中?，?为任意非零常数。

3-4 设系统和系统的状态表达式：

?1??0?0??x?x?u?1?1????1:???3?4??1? ；?2?y??21?x1?1?2??2x2?u2?x :?y?x2?2（1）试分析系统?1和?2的能控性和能观测性，并写出传递函数；

（2）试分析由?1和?2所组成的串联系统的能控性和能观测性，并写出传递函数； （3）试分析由?1和?2所组成的并联系统的能控性和能观测性，并写出传递函数。

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3-5 已知系统的传递函数为

G(s)?s?a 32s?10s?27s?18（1）试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测； （2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式； （3）在上述a的取值下，求使系统为能观测的状态空间表达式。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 3-6 已知系统的状态空间表达式为

???10??a?????0?0?x??b?u?x???? ????00????c????y??abc?x?试问能否选择常数a，b，c使系统具有能控性和能观测性。

3-7 系统结构图如图所示，图中a，b，c，d均为实常数。试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态既能控又能观测时a，b，c，d应满足的条件。

u(t)+-+-?x2(t)cd+-?x1(t)y(t)ba

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 3-8 设n阶单输入单输出系统的状态空间表达式为

??Ax?bu?x ?y?cx?2n?1试证明：（1）若cb?0，cAb?0，cAb?0，?，cAb?0，则系统不能同时

满足能控性和能观测性的条件。

2n?2n?1（2）若cb?0，cAb?0，cAb?0，?，cAb?0，cAb?0，则系统总

是既能控性又能观测性的。

3-9 已知系统的微分方程为

????6???11y??6y?6u yy试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 3-10 已知系统的状态方程为

??10??1??x???x??1?u

1?2????试求出它的能控标准型。

3-11 已知系统的状态空间表达式为

??10??x????24?x ????y???11?x?试求出它的能观测标准型。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 3-12 已知系统的传递函数为

s2?6s?8G(s)?2

s?4s?3试求其能控标准型和能观测标准型。

3-13 若系统的状态空间表达式为

??02?2??2?????11?2?x??1?u?x???? ????2?21???1????y??111?x?系统是否能控？若系统是能控的，将其变成能控标准型。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 4-4 试确定下列非线性系统在xe?0处稳定时，参数a和b的取值范围。

?1?x2?x ?3?2??ax2?bx2?x1?x其中，a?0，b?0，但两者不同时为零。

4-5 设系统的状态方程为

?01????xx ???1?1?其平衡状态在坐标原点处，试用李雅普诺夫方程来判断该系统的稳定性。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 4-6 已知非线性系统的状态方程为

?1?x2?x ?2?x??a(1?x)x?x221?2若选李雅普诺夫函数为V(x)?x1?x2，试分析系统在平衡点的稳定性。

22??Ax的状态转移矩阵为 4-7 已知线性定常系统x?2e?t?e?2te?t?e?2t? Φ(t)???t?2t?t?2t?1?2e?2e???2e?2e试分别用李雅普诺夫第一法和第二法来分析系统的稳定性。

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第五章 状态反馈和状态观测器

5-1 已知系统结构图如图所示。

-u(t)1s?1x1(t)+1s?2x2(t)y(t)

（1）写出系统状态空间表达式。

（2）试设计一个状态反馈阵，将闭环系统特征值配置在?3?j5上。

5-2 已知系统的传递函数为

Y(s)10? U(s)s(s?1)(s?2)试设计一个状态反馈阵，将闭环系统的极点为?2，?1?j。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 5-3 已知系统的传递函数为

G(s)?(s?1)(s?2)

(s?1)(s?2)(s?3)试问能否利用状态反馈，将传递函数变为

GK(s)?(s?1)

(s?2)(s?3)若有可能，试分别求出状态反馈阵K，并画出其状态变量图。

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班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 5-4 已知系统的状态空间表达式为

??0????1?x????0??y??0?0?1??1??1?u0?3?x???? ?1?3???0??1?2?x试判断系统的能控性。若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控子系统，并讨论能否用状态反馈使闭环系统镇定。

5-5 已知系统的传递函数为

G(s)?s?1

s2(s?3)试设计一个状态反馈阵，将闭环系统的极点配置在-2，-2和-1。并说明所得的闭环系统是否能观测。

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