具有脉冲的三种群捕食者 正周期解的存在性

［收稿日期］2004-04-22［基金项目］国家自然科学基金资助项目（10171010，10201005），教育部科学技术研究重点项目（01061），吉林省杰出青年基金项目

［作者简介］叶丹（1979-）

，女，博士研究生，主要从事常（泛涵）微分方程理论及应用数学生态学研究；范猛（1972-），男，博士，教授，主要从事常（泛函）微分方程理论及应用数学生态学研究.［文章编号］1000-1832（2004）04-0001-10

具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统

正周期解的存在性

叶丹1，2，范猛1

（1.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024

；2.东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110004

）［摘要］利用重合度理论中的延拓定理研究了脉冲作用对捕食者-食饵链系统的影响，即考察具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统的周期性，得到了该系统存在非平凡正周期解的一个充分性判据.

［关键词］捕食者-食饵链系统；脉冲；周期解；重合度

［中图分类号］O175.14［学科代码］110?44［文献标识码］A

1预备知识

捕食者-食饵相互作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一，是生态学，生

物数学中的研究热点.

许多学者对捕食者-食饵相互作用关系进行了深入研究，取得了大量研究成果［1~19］，其中大部分工作集中于一个捕食者一个食饵的系统［1~14］.

近年来，多个捕食者多个食饵构成的捕食者-食饵系统引起了学术界的广泛兴趣［15~19］.

在已有的文献中所研究的捕食者-食饵系统通常都是由（时滞）常微分方程所刻画，系统的参数（包括出生率）均假设为时间t 的连续函数，这种假设不尽合理，例如：在客观世界中，许多生物种群的出生多具有季节性，不是连续的，个体只是在一些特定的时刻出生，因此种群个体的出生可以看做是对系统的一种脉冲作用.此外，生物资源是人类赖以生存的重要的可更新资源，人类对生物资源进行开发利用，人类对生物资源的捕获和投放是影响种群增长的另一种形式的脉冲.如果我们把这些脉冲因素纳入种群的发展模型中来，所得到的模型就将由脉冲微分方程所刻画.

脉冲微分方程描述了某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，是对客观世界各种现象或运动规律的更为真实的模拟和反映，科学技术的许多领域的现象均可用脉冲微分方程进行刻画，例如：化学物质扩散、热传导、电磁波辐射、生物种群个体的出生、人类对生物资源的脉冲捕获与投放等等.许多学者对脉冲微分方程进行了深入而广泛第36卷第4期

东北师大学报自然科学版V o l .36N o .42004年12月J O U R N A LO FN O R T H E A S TN O R M A LU N I V E R S I T Y D e c e m ====================================================b e r 2004

的研究，在解的基本理论、振动性、稳定性等方面取得了大量的研究成果，与经典的常微分方程相比，其理论更加丰富.但关于周期解存在性的结果尚不多见.

脉冲作用在生态学系统中是普遍存在的，而且对系统的发展具有重要的影响，但目前

对于具有脉冲的种群动力学模型的研究尚处于起步阶段［20~25］.

特别是对于具有脉冲的生态学系统的周期性的研究工作甚少.

拓扑度理论在（时滞）常微分方程、差分方程的周期性理论的研究中发挥了巨大的威力，但对于脉冲微分方程的应用尚不多见.2001年，靳祯用重合度理论中的延拓定理研究了生态学竞争系统的周期解的存在性，得到了一些新结果［26］.

最近，我们运用重合度理论比较系统地讨论了脉冲微分方程所刻画的广义竞争系统、具有功能性反应的捕食者-食饵系统、具有功能性反应的半比率型捕食者-食饵系统、比率型捕食者-食饵系统、互惠系统的周期解的存在性，在模型中我们综合考虑了出生的脉冲作用和人类的捕获与投放的脉冲作用，研究了周期条件下这些脉冲作用对种群动力学行为的影响.但上述我们对于捕食者-食饵系统的研究仅局限于一个捕食者、一个食饵所组成的系统.

本文的主要目的是研究脉冲作用对捕食者-食饵链系统的影响，即考察下面的具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性：

y ?1（t ）E y 1（t ）［-d 1（t ）-a 11（t ）y 1（t ）-a 12（t ）y

2（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；y ?2（t ）E y 2（t ）［-d 2（t ）+a 21（t ）y 1（t ）-a 22（t ）y 2（t ）-a 23（t ）y 3

（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；y ?3（t ）E y 3（t ）［-d 3（t ）+a 32（t ）y 2（t ）-a 33（t ）y

3（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；Δy i （t ）E y i （t +）-y i （t -）E （b i k +h i k ）y i

（t ），t E t k ，y i （0）E y i 0，

i E 1，2，3<╰╰.（1.1）在系统（1.1

）中有三个种群，种群1为食饵种群，种群2和3为捕食者种群，种群2我们称之为一级捕食者（P r i m a r y p

r e d a t o r ），其以种群1为食，种群3我们称之为二级捕食者（s e c -o n d a r y p

r e d a t o r ），其以种群2为食，三个种群构成了一个捕食者-食饵链.在系统（1.1）中：y 1（t ）表示食饵种群t 时刻的密度；y 2

（t ）表示一级捕食者t 时刻的密度；y 3（t ）表示二级捕食者t 时刻的密度；d i （t ）表示第i 个种群t 时刻的死亡率；b i k 表示第i 个种群在t k 时刻的出生率；h i k 表示第i 个种群在t k 时刻的捕获率

（投放率），当h i k >0时，它代表投放，当h i k <0时，它代表捕获；y i （t +k ）和y i （t -k ）分别代表y i （t ）在t k

时刻的右极限和左极限.本文假设y i 在t k 时刻是左连续的.

为讨论方便起见，本文使用下面记号：

f -：E 1w ?w 0

f （t ）d t ，f u E s u p t ∈［0，w ］f （t ），f l E i n f t ∈［0，w ］f （t ）.其中f 是w 周期函数.令

∑q k E 1l n （1+b i k +h i k ）w -d -i ：E Δi ，i E 1，2，3.2东北师大学报自然科学版第36卷

在系统（1.1

）中，我们假设：（A 1）b i k ≥0，b i k +h i k ≥0，d i （t ），a i j （t ）（i ，j

E 1，2，3）是正w 周期函数.（A 2）存在正整数q ，使得t k +q E t k +w ，b i （k +q ）E b i k ，h i （k +q ）E h i k ；不失一般性，还假设t k ≠0且［0，w ］?｛t k ｝E ｛t 1，t 2，…，t m ｝

，则q E m .（A 3）a -22a -33Δ1+a -12a -23Δ3+a -23a -32Δ1-a -12a -33Δ2>

0.（A 4）a -11a -33Δ2+a -21a -33Δ1-a -11a -23Δ3>0，且Δi >

0（i E 1，2，3）.（A 5）a -23e H 4>Δ2，Δ2+（a -23e H 4-Δ2）∏q

k E 1（1+b 1k +h 1k ）-2>a -23e H 3，其中

H 2E l n Δ1a -［］21+2Δ1w a -21a -11∏q k E 1（1+b 1k +h 1k ）2+∑q k E 1l n （1+b 2k +h 2k ［］

），M E 2a -32w e H 2+∑q k E

1l n （1+b 3k +h 3k ［］）

，H 3E l n Δ3+a -32e H 2a -［］33+M ，H 4E l n Δ3a -［］33

-M .容易证明，系统（1.1）的具有正初值的解为正解.考虑到系统（1.1）的生态学意义，我们只考虑具有正初值的解.

作变换y i

（t ）E e x i （t ），i E 1，2，3，则有x ?1（t ）E ［-d 1（t ）-a 11（t ）e x 1（t ）-a 12（t ）e x 2（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?2（t ）E ［-d 2（t ）+a 21（t ）e x 1（t ）-a 22（t ）e x 2（t ）-a 23

（t ）e x 3（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?3（t ）E ［-d 3（t ）+a 32（t ）e x 1（t ）-a 33

（t ）e x 2（t ）］，t ≠t k ，k E 1，2，…；Δx i （t ）E x i （t +）-x i （t -）E l n （1+b i k +h i k ）

，t E t k ，x i （0）E l n y i 0>

0，i E 1，2，3<╰

╰.（1.2

）引理1"1如果y （t ）E （y 1（t ），y 2（t ），y 3

（t ））T 是系统（1.1）的正w 周期解，则x （t ）E l n ｛y

（t ）｝是系统（1.2）的正w 周期解.反之亦然.定义1"1映射x ：［0，w ］→R 3是系统（1.2）在［0，w ］

上的解，若（Ⅰ）x （t ）是分段连续的，t k ?

［0，w ］是x （t ）的第一类间断点，且左连续；（Ⅱ）x （t ）在［0，w ］上满足系统（1.2）.

定义1"#映射x ：R →R 3被称为系统（1.2

）的w 周期解，若（Ⅰ）x （t ）是系统（1.2

）的解；（Ⅱ）x （t ）满足x （t +w -0）E x （t -0），t ∈R .显然，若x （t ）是系统（1.2）定义在［0，w ］满足x （0）E x （w ）的解，则由（1.2）式所定义的向量场的周期性知函数

x *（t ）E x （t -j w ），t ∈［j w ，（j +1）w ］?｛t k ｝

；x *（t ）在t k <╰╰左连续3

第4期叶丹等：具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性

是（1.2）式的一个w 周期解.因此，考虑系统（1.2

）的周期解的存在性问题就转化为讨论其在［0，w ］上满足x （0）E x

（w ）的解的存在性问题.即x ?1（t ）E ［-d 1（t ）-a 11（t ）e x 1（t ）-a 12（t ）e x 2（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?2（t ）E ［-d 2（t ）+a 21（t ）e x 1（t ）-a 22（t ）e x 2（t ）-a 23（t ）e x 3

（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?3（t ）E ［-d 3（t ）+a 32（t ）e x 1（t ）-a 33（t ）e x 2

（t ）］，t ≠t k ，k E 1，2，…；Δx i （t ）E x i （t +）-x i （t -）E l n （1+b i k +h i k ）

，t E t k ，x i （0）E x i

（w ）>0，i E 1，2，3<╰

╰.（1.3

）在［0，w ］

上解的存在性问题.2正周期解的存在性

首先我们引入重合度理论中的延拓定理.

设X ，Z 是赋范向量空间，L ：D o m L ?X →Z 为线性映射，N ：X →Z 为连续映射，如果d i m K e r L E c o d i m I m L <+∞，且I m L 为Z 中闭子集，则映射L 称为零指标的F r e d -

h o l m 映射.如果L 是指标为零的F r e d h o l m 映射，且存在连续投影P ：X →X 及Q ：Z →Z 使得I m P EK e r L ，I m L EK e r Q E I m （I -Q ），则L |D o m L ?K e r P ：

（I -P ）X →I m L 可逆，设其逆映射为K P ，设A 为X 中的有界开集，如果Q N （A -）有界且K P

（I -Q ）N ：A -

→X 是紧的，则称N 在A -上是L -紧的.由于I m Q 与K e r L 同构，因而存在同构映射J ：I m Q →K e r L .

引理2"#（延拓定理）［27］设L 是指标为零的F r e d h o l m 映射，N 在A -上是L -紧的，假设：

（a ）对任意的λ∈（0，1），方程L x E λN x 的解满足x ,?A ；

（b ）对任意的x ∈K e r L ??A ，Q N x ≠0，而且d e g

（J Q N ，A ?K e r L ，0）≠0，那么方程L x E N x 在D o m L ?A -

内至少存在一个解.

令C ［0，w ；t 1，t 2，…，t m ］

E x ：［0，w ］→R 3x （t ）在t ≠t 1，…，t m 处连续；

x （t +0）和x （t -0）在t 1，…，t m 处存在；x （t k ）E x （t k -

0），k E 1，2，…，m -./0..引理2"2若（A 3）—（A 4）

成立，则代数方程组Δ1-a -11v 1-a -12v 2E

0，Δ2+a -21v 1-a -22v 2-a -23v 3E

0，Δ3+a -32v 2-a -33v 3<╰╰E 0有惟一正解（v 11，v 12，v 13）T .

由线性代数的知识很容易得到引理2.2的结论.

定理2"#假设（A 1）—（A 5）

成立，则系统（1）至少有一个正的w 周期解.证明令4东北师大学报自然科学版第36卷

X E ｛x E （x 1，x 2，x 3）T ∈C ［0，w ；t 1，…，t m ］

|x （0）｝，Z E X *R 3q .定义

‖x ‖C E s u p t ∈［0，w ］x ，‖z ‖z E ‖x ‖C +‖y ‖，x ∈X ，y ∈R 3q ，其中?和‖?‖分别是R 3和R 3q 中的任意范数.

不难证明X 和Z 在上述范数下构成B a n a c h

空间.令

D o m L ?X ，L ：D o m L →Z ，L x

E （x ?，Δx （t 1），…，Δx （t q ）），N ：X →Z ，

N x E W 1（t ）W 2（t ）W 3（t └L ┐┘）3*1l n （1+b 1k +h 1k ）l n （1+b 2k +h 2k ）l n （1+b 3k +h 3k └L ┐┘）3*└L ┐

┘

q ，

其中

W 1（t ）E-d 1（t ）-a 11（t ）e x 1（t ）-a 12（t ）e x 2（t ），

W 2（t ）E-d 2（t ）+a 21（t ）e x 1（t ）-a 22（t ）e x 2（t ）-a 23（t ）e x 3（t ），W 3（t ）E-d 3（t ）+a 32（t ）e x 1（t ）

-a 33（t ）e x 3（t ）.

易知

K e r L E ｛x ：x E A ∈R 3，t ∈［0，w ］｝，

I m L E ｛z E （f ，C 1…C q ）｝∈Z ：?w

f （s ）d s +∑q k E 1C k E 0｝.

且

d i m K

e r L E 3E c o d i m I m L .

I m L 是Z 的闭子空间，故是L 是指标为零的F r e d h o l m 算子.令

P x E 1

w ?w

x （t ）d t ，

Q z E Q （f ，C 1…C q ）E 1

w ?w

0f （s ）d s +∑q k E 1C ［］k ，0…［］

0.

易证P ，Q 是连续投影且使

I m P EK e r L ，I m L EK e r Q E I m （I -Q ）.

因此，L 的广义逆K P ：I m L →D o m L ?K e r P 存在.

下面，我们来求K P .令z E （f ，C 1…C q ）∈I m L ，则x ∈X 满足

x ?（t ）E f （t ），t ≠t k ，k E 1，2，…；

Δx （t ）|t ≠t k E C k .

即

x （t ）E ?t

0f （s ）d s +∑t >k k C k +x （0）

.

（2.1）5

第4期叶丹等：具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性

因为x （t ）∈K e r P ，即1w ?

w

x （s ）d s E 0.由（2.1

）知?w 0?t 0

f （s ）d s d t +?w 0

∑t >t k

C k

d

t +w x （0）E 0，因此

x （t ）E ?t

0f （s ）d s +∑t >t k C k -1w ?w 0?

t

f （s ）d s d t -∑q t E 1C k +1w ∑q

t E 1C k t k ，（2.2）K P z E ?t 0f （s ）d s +∑t >t k C k -1w ?w 0?

t

f （s ）d s d t -∑q

t E 1C k .（2.3

）显然Q N 与K P （I -Q ）N 连续.设A 是X 中的任意有界开集，显然Q N

（A -

）有界，利用A r z e l a -A s c o l i 定理容易证明K P （I -Q ），N

（A -）是紧致的，从而N 在A -中是L 紧的.考虑算子方程L u E λN u ，λ∈（0，1

），即x ?1（t ）E λ［-d 1（t ）-a 11（t ）e x 1（t ）-a 12（t ）e x 2（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?2（t ）E λ［-d 2（t ）+a 21（t ）e x 1（t ）

-a 22（t ）e x 2（t ）

-a 23（t ）e x 3

（t ）

］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；x ?3（t ）E λ［-d 3（t ）+a 32（t ）e x 2（t ）-a 33（t ）e x 3

（t ）］，t ≠t k ，

k E 1，2，…；Δx i （t ）E x i （t +）-x i （t -）E λl n （1+b i k +h i k ），t E t k ，x i （0）E x i

（w ），i E 1，2<╰

╰.（2.4

）设x ∈X 为系统（2.4）对于某个λ∈（0，1

）的解.对上式两端从0到w 积分得?

w

［a 11（t ）e x 1（t ）+a 12e x 2（t ）］d t E Δ1

w ，（2.5）?

w

［a 22

（t ）e x 2

（t ）+a 23（t ）e x 3（t ）］d t E ?

w

a 21（t ）e x 1（t ）d t +Δ2

w ，（2.6）?

w 0

［a 33（t ）e x 2（t ）］d t E ?

w

a 32（t ）e x 2（t ）d t +Δ3

w .（2.7）因为x ∈X ，所以一定存在ζi ∈［0，w ］，使得x i （ζi ）E m i n t ∈［0，w

］x i

（t ），i E 1，2.（2.8

）另一方面，注意到s u p t ∈［0，w ］

x i （t ）存在，而且一定存在ηi ∈

［0，w ］使得x i （η+i ）E s u p t ∈［0，w ］x i （t ），i E 1，2.（2.9）在上式中，当ηi ≠t k ，有x i （η+i ）E x i （ηi ）；当ηi E t k ，有x i （η+i ）E x i （t +k ）

.由（2.4）和（2.5

）可得?

w

x ?1（t ）d t ≤d -1w +?

w

［a 11（t ）e x 1（t ）+a 12（t ）e x 2（t ）］d t +∑q

k E 1

l n （1+b 1k +h 1k ）

E 6

东北师大学报自然科学版

第36卷

2∑q

k E 1

l n （1+b 1k +h 1k ）

.（2.10

）由（2.5）和（2.8

）有a -11e x 1（ξ1）≤Δ1，a -12e x 2（ξ2）≤Δ1.

因此，

x 1（ξ1）≤l n Δ1a -［］11，x 2（ξ2）≤l n Δ1a -［］

12

.（2.11

）结合（2.10

），可得x 1（t ）≤x 1（ξ1）+?

w

x 1?（t ）d t ≤l n Δ1a -［］

11

+2∑q k E 1l n （1+b 1k +h 1k ）：E H 1，（2.12）由（2.4）和（2.6

）有?w

x ?2

（t ）d t ≤d -

2

w +?

w

［a 22

（t ）e x 2

（t ）+a 23（t ）e x 3（t ）+a 21（t ）e x 2

（t ）］d t +∑q

k E 1

l n （1+b 2k +h 2k ）≤2（a -21w e H 1+∑q

k E 1

l n （1+b 2k +h 2k ）

）.（2.13

）故

x 2（t ）≤x 2（ξ

2）+?w

x

?2

（t ）d t ≤l n

Δ1

a -［］

12

+2（a -

21

w e H 1

+∑q

k E

1l n （1+b 2k +h 2k ）

）：E H 2.（2.14

）由（2.7）~（2.9）和（2.14

）得a -

33e x 3（ξ3）≤a -32e x 2（η+

2）+Δ3≤a -32e H 2+Δ3，

x 3（ξ3）≤l n a -32e H 2+Δ3

a

-［

］

33

.（2.15

）由（2.4），（2.7）和（2.14

）得?

w

x ?3（t ）d t ≤d -

3w +?

w

［a 32（t ）e x 2（t ）+a 33（t ）e x 3（t ）］d t +∑q

k E

1l n （1+b 3k +h 3k ）

≤2（a -32w e H 2+∑q

k E 1

l n （1+b 3k +h 3k ）

）.（2.16

）故

x 3（t ）≤x 3（ξ

3）+?

w

x ?3（t ）d t ≤l n a -

32e H 2

+Δ3a -［

］

33

+2（a -32w e H 2+∑q

k E

1l n （1+b 3k +h 3k ）

）：E H 3.（2.17

）由（2.7）和（2.9

）得a -

33e x 3（η+3）≥Δ3，

即x 3（η+3）≥l n Δ3a -［］

33

，（2.18

）7

第4期

叶

丹等：具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性

故

x 3（t ）≥x 3（η

+3）-?

w

x ?3（t ）d t ≥l n Δ3a -［］

33

-2（a -32e H 2+∑q

k E 1

l n （1+b 3k +h 3k ）

）：E H 4.（2.19

）由（2.6）和（2.19

）得a -21

w e x 1（η+1

）+Δ2w ≥?

w

a 23（t ）e x 3（t ）

d t ≥a -23

w e H 4，即

x 1（η+1）≥l n a -23e H 4-Δ2a -［］

21

，（2.20

）故

x 1（t ）≥x 1（η

+1）-?

w

x ?1（t ）d t ≥l n a -23e H 4-Δ2a -［］

21

-2∑q k E 1l n （1+b 1k +h 1k ）：E H 5.（2.21

）由（2.6

）得a -22e x 2（

η+

2）+a -23e x 3（

η+

3）≥Δ2+a -21

e x 1（ξ1）

，a -

22e x 2（η+

2）≥Δ2+a -21e H 5-a -23H 3.

即

x 2（η

+2）≥l n Δ2+a -21e H 5-a -23

e H 3a -［

］

22

.（2.22

）故

x 2（t ）≥x 2（η

+2）-?

w

x ?2（t ）d t ≥l n Δ2+a -21e H 5-a -23e H 3a -［］

22

-2（a -21w e H 1+∑q

k E 1

l n （1+b 2k +h 2k ）

）：E H 6.（2.23

）上式结合（2.12），（2.14），（2.17），（2.19）及（2.21

）可得x 1（t ）

）x 3（t ）

显然，B i

（i E 1，2，3）不依赖λ.由引理2.2得，

代数方程组Δ1-a -11e x 1-a -12e x 2E 0，Δ2+a -21e x 1-a -22e x 2-a -23

e x 3E 0，Δ3+a -32e x 2-a -33

e x 3<╰

╰E 0（2.25

）有惟一解x *E （x *1，x *2，x *3）T ∈R 3.令H E ‖（B 1，

B 2，B 3）T ‖+A ，其中A 充分大使得（2.25）的惟一解满足‖x ‖E ‖（x *1，x *2，x *3）T ‖

0）‖

第36卷

…，q ，

则‖x ‖C

A E ｛x （t ）E （x 1（t ），x 2（t ），x 3（t

））T ∈X |‖x ‖C

3中的常值向量且满足‖x ‖C E ‖（x 1，x 2，x 3）T ‖C E H .

这样Q

N x E Δ1-a -11e x 1-a -12e x 2Δ2+a -21e x 1-a -22e x 2-a -23e x 3Δ3+a -32e x 2-a -33

e x └L ┐┘3，0，…，└L ┐┘0≠0.通过直接计算得d e g

（J Q N ，A ?K e r L ，0）E-1，其中度为B r o u w e r 度，J 为恒同映射.这样A 满足引理1.1的所有条件.因此，L u E N u 在D o m L ?A -中至少存在一解，

即系统（1.3）在D o m L ?A -中至少存在一个w 周期解x *（t ）E （x 1*（t ），x 2

*（t ），x 3*（t ））T .令y i *（t ）E e x p ｛x i *（t ）｝，则y *（t ）E （y 1*（t ），y 2*（t ），y 3*（t ））T 是系统（1.1

）的的w 周期正解，定理证毕.［参考文献］

［1］F a nM ，W a n g K .G l o b a l e x i s t e n c e o f p o s t i t i v e p e r i o d i c s o l u t i o n s o f p e r i o d i c p r e d a t o r -p r e y s y

s t e mw i t h i n f i n t e d e -l a y

s ［J ］.JM a t hA n a l A p p l ，2001，262（1）：1~11.［2］F a nM ，W a n g K .P e r i o d i c i t y i n a d e l a y e d r a t i o -d e p e n d e n t p r e d a t o r -p r e y s y s t e m ［J ］.JM a t hA n a l A p p

l ，2001，262（1）：179~190.

［3］F a nM ，A g a r w a l S .P e r i o d i c s o l u t i o n s o f n o n a u t o n o m o u s d i s c r t e t t i m e p r e d a t o r -p r e y s y

s t e mo f L o t k a -v o l t e r r a t y p e ［J ］.A p p l i c a b l eA n a l y

s i s ，2002，81（4）：801~812.［4］F a nM ，W a n g K .P e r i o d i c s o l u t i o n s o f n o n a u t o n o m o u s d i s c r e t e t i m e r a t i o -d e p e n d e n t p r e d a t o r -p r e y s y

s t e m ［J ］.M a t h e m a t i c a l a n dC o m p u t e r sM o d e l l i n g

，2002，35：951~961.［5］Z h a n g X ，B a i L ，F a nM ，e t a l .E x i s t e n c e o f p o s i t i v e p e r i o d i c s o l u t i o n s f o r p r e d a t o r -p r e y d i f f e r e n c e s y

s t e m sw i t h H o l l i n g Ⅲf u n c t i o n a l r e s p o n s e s ［J ］.M a t h e m a t i c aA p p

l i c a t a ，2002，15（3）：25~31.［6］W a n g Q ，F a nM ，W a n g K .D y n a m i c s o f a c l a s s o f n o n a u t o n o m o u s s e m i -r a t i o -d e p e n d e n t p r e d a t o r -p r e y s y

s t e m s w i t h f u n c t i o n a l r e s p

o n s e s ［J ］.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s ，2003，278（2）：443~471.［7］G o hBS .G l o b a l s t a b i l i t y i n t w o s p

e c i e s i n i n t e r a c t i o n s ［J ］.JM a t hB i o l ，1976，3：313~318.［8］H a s t i n g A .G l o b a l s t a b i l i t y i n t w o s p e c i e s s y

s t e m s ［J ］.M a t hB i o l ，1978，5：388~403.［9］H eXZ .S t a b i l i t y a n d d e l a y s i n a p r e d a t o r -p r e y s y s t e m ［J ］.JM a t hA n a l A p p

l ，1996，198：355~370.［10］K u a n g Y .D e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s i n p o p u l a t i o nd y

n a m i c s ［M ］.B o s t o n ：A c a d e m i cP r e s s ，1993.58~120.

［11］L i YK .P e r i o d i c s o l u t i o n s o f p e r i o d i c d e l a y p r e d a t o r -p r e y s y

s t e m ［J ］.P r o cA m e rM a t h S o c ，1999，12：1331~1335.

［12］S o n g X ，C h e nL .P e r s i s t e n c e a n d p e r i o d i c o r b i t s f o r t w o -s p e c i e s p r e d a t o r -p r e y s y

s t e m w i t hd i f f u -s i o n ［J ］.C a n a dA p p

lM a t hQ u a r t ，1998，6（3）：233~244.［13］X uR ，C h e nL S .P e r i s t e n c e a n d s t a b i l i t y o f t w o -s p e i c e s r a t i o -d e p e n d e n t p r e d a t o r -p r e y s y s t e mw i t h d e l a y

i n a t w o -p a t c h e n v i r n m e t n ［J ］.C o m p u t e r sM a t hA p p

l i c ，2000，40：577~588.［14］柏灵，李晓月，杨帆.捕食-食饵系统的两种群同时捕获的最优化问题［J ］.

东北师大学报（自然科学版），2001，33（1）：1~5.9第4期叶丹等：具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性

［15］X uR ，C h e nLS .P e r s i s t e n c e a n d s t a b i l i t y f o r a d e l a y e d n o n a u t o n o m o u s p r e d a t o r -p r e y s y

s t e mw i t h o u t d o m i n a t -i n g i n s t a n t a n e o u s n e g a t i v e f e e d b a c k ［J ］.JM a t hA n a l A p p

l ，2001，262：50~61.［16］徐瑞，陈兰荪.具有时滞和基于比率的三种群捕食系统的持久性与全局渐近稳定性［J ］.

系统科学与数学，2001，21（2）：204~212.

［17］G o uQ M.P e r m a n e n c e f o r t h r e e -s p e c i e s p r d a t o r -p r e yp a t c h s y s t e m sw i t h t i m e d e l a y n a d f u n c i o n a l r e p

o n s e ［J ］.J o u r n a l o f B i o m a t h e m a t i c s ，2002，17（1）：31~37.

［18］董士杰，葛渭高.一类三种群离散型捕食系统的周期解［J ］.应用数学，2002，15（4）：1~6.

［19］柏灵，王克.一类三种群离散型捕食系统的周期解［J ］.应用数学，2002，15（4）：1~6.

［20］A n o k h i nAV ，B e r e z a n s k y L ，B r a v e r m a nE .E x p o n e n t i a l s t a b i l i t y o f l i n e a r d e l a y i m p u l s i v e d i f f e r -e n t i a l e q

u a t i o n s ［J ］.JM a t hA n a l A p p

l ，1995，193：923~941.［21］申建华.脉冲积分-微分方程的几个渐近稳定性结果［J ］.数学年刊，1996，17A ：759~765.

［22］S h e n J H .T h e e x i s t e n c e o f n o n -o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s o f d e l a y d e f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h i m p u l s e s ［J ］.A p p

l M a t h C o m p

u t ，1996，77：165~165.［23］S h e n J H ，Y a n J R .R a z u m i k h i n t y p e s t a b i l i t y t h e o r e m s f o r i m p u l s i v e f u n c t i o n a l d e f f e r e n t i a l e q

u a t i o n s ［J ］.N o n l i n -e a r A n a l T M A ，

1998，33：519~531.［24］Y u J S ，Z h a n g BG .S t a b i l i t y t h e o r e m s f o r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h i m p u l s e s ［J ］.JM a t hA n a l A p p

l ，1996，199：162~175.

［25］L a k s h m i k a n t h a mV ，B a i n o v DD ，S i m e o n o v P S .T h e o r y o f i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ［M ］.S i n g a p

o r e ：W o r l d S c i e n t i f i c ，1989.106~140.

［26］靳祯.在脉冲作用下的生态和流行病模型研究［D ］.西安：西安交通大学，2001.

［27］G a i n e s RE ，M a w h i n J L .C o i n c i d e n c e d e g r e e a n d n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ［M ］.B e r l i n ：S p r i n g e r -V e r l a g

，1997.95~169.

P e r i o d i c i t y i n p r e d a t o r -p r e y c h a i n s y

t e Lo f t h r e e s p e c i e s w i t h i L p

u l s e Y ED a n 1，

2，F A N M e n g 1（1.I n s t i t u t e o fM a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ，N o r t h e a s tN o r m a l U n i v e r s i t y ，C h a n g

c h u n 130024，C h i n a ；2.T h e S c h o o l o f I n f o r m a t i o n S c i e n c e a n dE n g i n e e r i n g ，N o r t h e a s tU n i v e r s i t y ，S h e n y a n g 1

10004，C h i n a ）A b s t r a c t ：I n t h i s p a p e r ，a n e x i s t e n c e c r i t e r i o n o f p o s i t i v e p e r i o d i c s o l u t i o n o f p r e d a t o r -p r e y c h a i n s y s t e mo f t h r e e s p e c i e s w i t h i m p u l s e a r e o b t a i n e d b y u s i n g

c o n t i n u a t i o n t h e o r e m i n c o -i n c i

d

e n c e d e g r e e t h e o r y

.K e y w o r d s ：p r e d a t o r -p r e y c h a i n s y s t e m ；p e r i o d i c s o l u t i o n ；c o i n c i d e n c e d e g r e e ；i m p u l s e 01东北师大学报自然科学版第36卷

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/90mq.html