2018年天津高考理第14题(分段函数问题)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
更新时间:2023-03-15 16:19:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2018年天津高考理第14题(分段函数问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
一、典例分析,融合贯通
?x2?2ax?a,典例1.【2018年天津高考理第14题】已知a?0,函数f(x)??2??x?2ax?2a,于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________. 解法一:【答案】(4,8)
x?0,若关 x?0.
原问题等价于函数g(x)与函数y?a有两个不同的交点,求a的取值范围。 结合对勾函数和函数图像平移的规律绘制函数g(x)的图像, 同时绘制函数y?a的图像如图所示,考察临界条件, 结合a?0观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。
点评:本题为分段函数零点问题,先由分段函数条件,进行分类解决,即当x?0时,得:x?2ax?a?ax,2?x2?,x?0?x2x2?x?1, 同理可得:a?,此时建立函数g(x)??2,将零点个数问然后分离变量得:a??x?1x?2?x,x?0??x?2题,转化为函数图像(借助对勾函数和图像平移)的交点问题解决。 本题的核心在考查函数的零点问题,函数零点的求解与判断方法包括: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 解法二:
2x(x?2)?x2x2?4xx2?设h(x)?,则h?(x)?,
(x?2)2(x?2)2x?2由h?(x)?0得x?4,此时递增,
由h?(x)?0得0?x?2或2?x?4,此时递减,即当x?4时,h(x)取得极小值为h(4)?8h, 同时绘制函数图像如图所示,考察临界条件,
结合a?0,y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。
x2x?2ax?a?ax,然后分离变量得:a??, 点评:先由分段函数条件,进行分类解决,即当x?0时,得:
x?12x2化为函数g(x)??,运用导数研究函数,将零点个数问题转化为函数图像的交点问题解决。
x?1解法三:
y10.250.125Ot
点评:先由分段函数进行分类讨论,运用换元法化为二次函数图像问题解决。 解法四:
由题;关于x的方程f(x)?ax恰有恰有2个互异的实数解,
?x2?ax?a,等价于g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,x?0,有2个互异的实数解。 如图 x?0.yaxO-2a
22???1?a?4a?0?1?a?4a?0则使g(x)有2个互异的实数解,需满足;,解得;,4?a?8或?a?0时;?22???2?a?8a?0?2?a?8a?0解得为?,综上4?a?8.
?x2?ax?a,点评:构建函数整体解决,即化为g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,分类求解可得。所谓大道至简。 二.方法总结,胸有成竹
x?0,讨论二次函数的交点问题,x?0. 高考对分段函数问题的考查以能力为主,主要考查分段函数的概念、分段函数的图象和性质,以及分段函数与其他知识,如方程、不等式、最值等相互联系,意在考查考生的分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归能力及运算能力.
1. 分段函数涉及的基本问题及其思路:
分段函数是高考的热点问题,考查方向上主要有以下几种题型:(1)分段函数值域问题;(2)分段函数的单调性;(3)含参数分段函数的参数取值范围或最值;(4)利用分段函数图象解决函数零点问题;(5)利用分段函数的最值等性质解决参数范围. 2. 基本知识与基本方法 (1).分段函数的图象
画分段函数的图象一定要注意自变量的取值范围 (2).分段函数的单调性
分段函数是单调函数指每一段都是单调递增函数,并且在分界点处也需满足单调性的定义. (3).分段函数的最值
分段函数的最大值是指每段函数的最大值比较后的最大值,最小值是每段函数的最小值比较后的最小值,若含参一定要结合图象判断. (4).分段函数的零点
分段函数的零点个数和函数零点个数的判断方法一样
①直接法:解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)就有几个零点;
②图象法:画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数; ③将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差,从而f(x)=0?h(x)-g(x)=0?h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数即为函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象的交点个数;
(5).已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:数形结合法:先对解析式变形,在同
一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 三.精选试题,能力升级
x??a,x?11.【2018兰州模拟】若函数f?x???是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
???2?3a?x?1,x?1A. ??2??3??23??2?,1? B. ?,1? C. ?,? D. ?,???
?4??34??3??3?【答案】C
?2?x,x?02.【2018新课标Ⅰ文12】设函数f?x???,则满足f(x?1)?f(2x)的x的取值范围是( )
?1,x?0A. ???,?1? B. (0,??) C. (?1,0) D. (??,0) 【答案】A
?x????2?x【解析】 由函数解析式f,x?0?1,x?0,将函数图像画出来,
观察图像可知会有??2x?0x?x?1,解得x?0,
?2所以满足f(x?1)?f(2x)的x的取值范围是(??,0),故选D.
点评:本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及不等式的解法,考查计算能力.
?(x?a)2,x?0,3. 【2018上海奉贤区一模】f(x)???若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( ?1?x?x?a,x?0, (A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0,2] 【答案】D
. )
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