2018年天津高考理第14题（分段函数问题）-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年天津高考理第14题(分段函数问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

一、典例分析，融合贯通

?x2?2ax?a,典例1.【2018年天津高考理第14题】已知a?0,函数f(x)??2??x?2ax?2a,于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________. 解法一：【答案】(4,8)

x?0,若关 x?0.

原问题等价于函数g(x)与函数y?a有两个不同的交点,求a的取值范围。 结合对勾函数和函数图像平移的规律绘制函数g(x)的图像, 同时绘制函数y?a的图像如图所示,考察临界条件, 结合a?0观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

点评：本题为分段函数零点问题，先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x?2ax?a?ax,2?x2?,x?0?x2x2?x?1, 同理可得：a?,此时建立函数g(x)??2,将零点个数问然后分离变量得：a??x?1x?2?x,x?0??x?2题，转化为函数图像（借助对勾函数和图像平移）的交点问题解决。 本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 解法二：

2x(x?2)?x2x2?4xx2?设h(x)?，则h?(x)?，

(x?2)2(x?2)2x?2由h?(x)?0得x?4，此时递增，

由h?(x)?0得0?x?2或2?x?4，此时递减，即当x?4时，h(x)取得极小值为h(4)?8h， 同时绘制函数图像如图所示,考察临界条件,

结合a?0，y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

x2x?2ax?a?ax,然后分离变量得：a??, 点评：先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：

x?12x2化为函数g(x)??，运用导数研究函数，将零点个数问题转化为函数图像的交点问题解决。

x?1解法三：

y10.250.125Ot

点评：先由分段函数进行分类讨论，运用换元法化为二次函数图像问题解决。 解法四：

由题；关于x的方程f(x)?ax恰有恰有2个互异的实数解,

?x2?ax?a,等价于g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,x?0,有2个互异的实数解。 如图 x?0.yaxO-2a

22???1?a?4a?0?1?a?4a?0则使g(x)有2个互异的实数解，需满足；，解得；，4?a?8或?a?0时；?22???2?a?8a?0?2?a?8a?0解得为?，综上4?a?8.

?x2?ax?a,点评：构建函数整体解决，即化为g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,分类求解可得。所谓大道至简。 二．方法总结,胸有成竹

x?0,讨论二次函数的交点问题，x?0. 高考对分段函数问题的考查以能力为主，主要考查分段函数的概念、分段函数的图象和性质，以及分段函数与其他知识，如方程、不等式、最值等相互联系，意在考查考生的分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归能力及运算能力.

1. 分段函数涉及的基本问题及其思路：

分段函数是高考的热点问题，考查方向上主要有以下几种题型：（1）分段函数值域问题；（2）分段函数的单调性；（3）含参数分段函数的参数取值范围或最值；（4）利用分段函数图象解决函数零点问题；（5）利用分段函数的最值等性质解决参数范围. 2. 基本知识与基本方法 （1）.分段函数的图象

画分段函数的图象一定要注意自变量的取值范围 （2）.分段函数的单调性

分段函数是单调函数指每一段都是单调递增函数，并且在分界点处也需满足单调性的定义. （3）.分段函数的最值

分段函数的最大值是指每段函数的最大值比较后的最大值，最小值是每段函数的最小值比较后的最小值，若含参一定要结合图象判断. （4）.分段函数的零点

分段函数的零点个数和函数零点个数的判断方法一样

①直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；

②图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数； ③将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；

（5）.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：数形结合法：先对解析式变形，在同

一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三.精选试题，能力升级

x??a,x?11.【2018兰州模拟】若函数f?x???是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )

???2?3a?x?1,x?1A. ??2??3??23??2?,1? B. ?,1? C. ?,? D. ?,???

?4??34??3??3?【答案】C

?2?x,x?02．【2018新课标Ⅰ文12】设函数f?x???,则满足f(x?1)?f(2x)的x的取值范围是( )

?1,x?0A. ???,?1? B. (0,??) C. (?1,0) D. (??,0) 【答案】A

?x????2?x【解析】 由函数解析式f,x?0?1,x?0,将函数图像画出来,

观察图像可知会有??2x?0x?x?1,解得x?0,

?2所以满足f(x?1)?f(2x)的x的取值范围是(??,0),故选D.

点评：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．

?(x?a)2,x?0,3. 【2018上海奉贤区一模】f(x)???若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（ ?1?x?x?a,x?0, (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D

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