2017-2018学年新课标A版高中数学必修4：第二章+平面向量+单元同

第二章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有下列四个表达式： ①|a＋b|＝|a|＋|b|； ②|a－b|＝±(|a|－|b|)； ③a2>|a|2； ④|a·b|＝|a|·|b|.

其中正确的个数为( ) A．0 C．3

B．2 D．4

解析 对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．

答案 A

2．下列命题中，正确的是( ) A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同 B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反 C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反 D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角

解析 在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b， ∴a与b方向相反． 答案 B

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )

A.7 C.13

B.10 D．4

解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝13.

答案 C

1??

4．已知向量a＝?8＋2x，x?，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，

?

?

则x的值为( )

A．8 C．2

B．4 D．0

1

解析 ∵a∥b，∴(8＋2x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.

答案 B

5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满→→→→→足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于( )

4

A.9 4C．－3

4B.3 4D．－9

→→→→

解析 M为BC的中点，得PB＋PC＝2PM＝AP， →→→→∴AP·(PB＋PC)＝AP2.

→→→2→2又∵AP＝2PM，∴|AP|＝3|AM|＝3.

→→4∴AP2＝|AP|2＝9. 答案 A

6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )

A．6 C．4

B．5 D．3

解析 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)， ∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x. 又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4. 答案 C

7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( )

A．(－1,1) C．(1，＋∞)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，1)

解析 依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)， 1

则b＝2(λ－1)a，

112

∴a·b＝2(λ－1)a＝2(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B

8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1

的夹角的余弦值为( )

3A.4 25C.37

5B.37 537D.37

解析 ∵(3e1＋4e2)·e1＝3e2e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝1＋4e1·5，|3e1＋4e2|2＝9e24×1×1×cos60°＝37.

∴|3e1＋4e2|＝37.

设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则 cosθ＝

55

＝. 37×137

2

1

＋16e

22＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋

答案 D

9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD→→→

的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF＝( )

11

A.4a＋2b 11C.2a＋4b

21B.3a＋3b 12D.3a＋3b

→→→

解析 如图所示，AF＝AD＋DF，

由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3. →1→∴DF＝3AB.

→1111121∴AF＝2a＋2b＋3(2a－2b)＝3a＋3b. 答案 B

10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐

?13?

标为?2，2?，则C点坐标为( )

??

A．(1，－3) C．(4,2)

?55?

B.?－4，4? ??

D．(－2,4)

→→

解析 设C(x，y)，则由AB＝BC，得 313??1??

?－?－3?，－1?＝?x－，y－?，

2??22??2

17??x－2＝2，

∴?31??y－2＝2，答案 C

11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )

π???A.0，6? ??

?π2π?C.?3，3? ??

?π?

?B.3，π? ???π??D.6，π? ??

??x＝4，

??∴C(4,2)． ?y＝2，?

解析 设a与b的夹角为θ， ∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，

|a|2a·b|a|21

∴a·b≤4，∴cosθ＝≤＝. |a||b|4|a||b|2

?π??∵θ∈[0，π]，∴θ∈3，π?. ??

答案 B

→→→→

12．在△ABC所在平面内有一点P，如果PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比是( )

1A.3 2C.3

1B.2 3D.4

→→→→→→→→→

解析 因为PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，所以2PA＋PC＝0，PC→→

＝－2PA＝2AP，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△1

PAB与△ABC的面积之比是3. 答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.

解析 由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0， 3π7π∴tanθ＝3，又θ∈[0,2π)，∴θ＝6或6. π7答案 6或6π

14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________. 解析 设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.① 又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②

由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32， y＝－2，

∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)

→→

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC→→＝BA·BC＝2，那么c＝__________.

解析 由题知 →→→→

AB·AC＋BA·BC＝2，

→→→→→→→→→即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2?c＝|AB|＝2. 答案

2

16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析

当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边

→

形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.

答案 ②

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.

(1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？

解 (1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0， 即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0， 29

解得m＝14. 29

故当m＝14时，c⊥d.

(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b) 即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0， ∵a，b不共线，

??3－λm＝0，∴???5＋3λ＝0，

5??λ＝－3，

解得?9

??m＝－5.

9

故当m＝－5时，c与d共线．

18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则 →→→→→→AD·CE＝(AC＋CD)·(CA＋AE) →→→→→→→→＝AC·CA＋CD·CA＋AC·AE＋CD·AE ＝－a2

＋0＋a·22·2a2223a2＋2·3a·2

＝－a2

＋23a2＋13a2

＝0，

→→

∴AD⊥CE，∴AD⊥CE.

19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，→

AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．

→

解 设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，→→

BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)， →→

∵D在直线BC上，即BD与BC共线， →→

∴存在实数λ，使BD＝λBC， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．

C(－3，－

1)，

??x－3＝－6λ，∴?∴x－3＝2(y－2)， ?y－2＝－3λ，?

即x－2y＋1＝0.①

→→又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②

??x＝1，由①②可得?

?y＝1.?

→

∴|AD|＝

?1－2?2＋22＝5，

→

即|AD|＝5，D(1,1)．

→→→

20．(12分)在直角坐标系中，已知OA＝(4，－4)，OB＝(5,1)，OB→→→

在OA方向上的射影数量为|OM|，求MB的坐标．

解 设点M的坐标为M(x，y)． →→→∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|， →→→→∴OM⊥MB，∴OM·MB＝0. →→

又OM＝(x，y)，MB＝(5－x,1－y)， ∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.

→→

又点O，M，A三点共线，∴OM∥OA. xy∴4＝. －4

?x?5－x?＋y?1－y?＝0，∴?xy

＝，4－4?

??x＝2，

解得?

??y＝－2.

→→→

∴MB＝OB－OM＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分)

如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P→

关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．

(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|； (2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程． →→

解 (1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故OP＝2e1－2e2，|OP|2

＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，

→

∴|OP|＝2，即|OP|＝2.

→

(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM＝xe1＋ye2， →

又|OM|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.

∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1. 故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.

→→→

22．(12分)如图，在四边形ABCD中，BC＝λAD(λ∈R)，|AB|＝→→→

|AD|＝2，|CB－CD|＝23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．

(1)求λ的值； →→

(2)求CB·BA的值． →→解 (1)因为BC＝λAD， 所以BC∥AD， →→且|BC|＝λ|AD|. →→

因为|AB|＝|AD|＝2， →

所以|BC|＝2λ. →→

又|CB－CD|＝23， →

所以|BD|＝23.

作AH⊥BD交BD于H， 则H为BD的中点． 在Rt△AHB中，有

BH3

cos∠ABH＝AB＝2，

于是∠ABH＝30°， 所以∠ADB＝∠DBC＝30°. 而∠BDC＝90°，

3所以BD＝BC·cos30°，即23＝2λ·2， 解得λ＝2. (2)由(1)知，

→∠ABC＝60°，|CB|＝4， →→

所以CB与BA的夹角为120°， →→→→故CB·BA＝|CB|·|BA|cos120°＝－4.

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