微分方程传递函数的定义
更新时间:2023-04-06 20:20:01 阅读量: 教育文库 文档下载
求解微分方程可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算非常繁琐,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可使问题分析大大简化。
一、传递函数的概念及意义
(1)传递函数的定义:
线性系统在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。
线性定常系统微分方程的一般表达式:
其中x c为系统输出量,x r为系统输入量
在初始情况为零时,两端取拉氏变换:
移项后得:
上式中Xc(s)输出量的拉氏变换;Xr(s)输入量的拉氏变换;W(s) 为系统或环节的传递系数。
(2)传递函数的两种表达形式
a.传递函数的零极点表示形式
b.传递函数的时间常数表示形式
(3)关于传递函数的几点说明
a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。
b.传递函数只与系统本身的特性参数有关,而与输入量变化无关。
c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。
d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。
二、典型环节的传递函数及其暂态特性
无论什么样的系统,它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节,利用传递函数和框图来进行研究,这是研究系统的一种重要方法。
(1)比例环节(放大环节/无惯性环节)
特点:输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系(见下图)。
(2)惯性环节
特点:只包含一个储能元件,使其输出量不能立即跟随输入量的变化,存在时间上的延迟(见下图)。
(3)积分环节
特点:输出量随时间成正比地无限增加(见下图)。
(4)振荡环节
特点:振荡的程度与阻尼系数有关(见下图)。
(5)微分环节
特点:是积分环节的逆运算,其输出量反映了输入信号的变化趁势(见下图)。实践中,理想的微分环节难以实现。
(6)延迟环节(时滞环节、滞后环节)
特点:输出信号经过一段延迟时间τ后,可完全复现输入信号(见下图)。
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