五年级思维提升训练

五年级思维提升训练Q（二）

第一讲 尾数和余数

尾数和余数在运算时，是有规律可循的。 1、1×1=1，所以尾数是1的相乘，无论是多少个，积的尾数肯定是1，同样，5?5?25，积的尾数肯定是5。6?6?36，积的尾数肯定是6。

2、积的尾数、商的小数部分等会出现循环现象，我们称作“周期性”。

71?7，72?7?7?49，73?7?7?7?343，74?7?7?7?7?2401， 75?7?7?7?7?7?16807

积的尾数依次出现7，9，3，1，7，9，3，1，······，就说周期是4；又如2?11?0.1818······， 商是循环小数，循环节是18，共两位，周期就是2。 解答这类题目，方法如下：

1、要根据题目各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期数，再求问题。

2、循环小数的有关题目，要通过计算得出的商，发现循环节是哪几个数字组成的，有几位，周期就是几。如果要求小数点后面若干位上的数字是几，先看循环节是不是从小数部分第一位开始，如果是，就要用位数除以周期数，商是循环的次数，余数是几，就在一个周期中找出第几个数，就是要求的得数。如果不是，那么先用位数减去不循环部分的位数，得到的差除以周期数，方法同上。 3、求a的个位数字，要先取n=1，2，3，4，5，??发现这个数a积的个位数字出现的规律，发现个位数字是几个数字重复出现，周期是几，用几除以周期数，看余数是多少，就在一个周期中找出相应的数字。 4、求一串数除以某数的余数，要通过试除，看前多少位能被这个数整除，还余几，把这个余几组成的数除以某数，余数就求出来了。 5、在有余数的除法中，要求符合条件的除数，可以先用被除数减余数，得除数?商的积，再将所得的结果分解质因数后组合相乘，使得到的积符合指位数。

例题1、（1）125?125?125????125积的尾数是几？ 200个125

（2）(11?16)?(11?16)????(11?16)积的尾数是几？ 200个(11?16)

试一试1、（1）61?61?61????61积的尾数是几？

20个61 （2）(35?21)?(35?21)????(35?21)积的尾数是几？ 20个(35?21)

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例题 2、（1）4?4?4????4?4积的个位数是几？

60个4

（2）9?9?9????9积的个位数是几？

61个9

试一试2、（1）24?24?24????24积的尾数是多少？

2005个24

（2）329?329?329????329积的个位是多少？ 329个329

例题3、写出除213后余3的全部两位数。

试一试3、写出除109后余4的全部两位数。

例题4、3?7商的小数点后面第2005个数字是几？

试一试4、5?7商的小数点后面第2000个数字是几？

例题5、 2002

试一试5、200320032002的个位数字是几？

的个位数字是几？

例题6、有串数排成一行，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个起，每个数恰好是前两个数的和，它们是：5，8，13，21，34，55，89，······那么，在这一串数中，第2004个数被3除后所得的余数是几？

试一试6、有一串数排成一行，其中第一个数是4，第二个数是5，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，它们是：4，5，9，14，23，37，60，97，157，······那么，在这一串数中，第1000个数被3除后所

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五年级思维提升训练Q（二）

得的余数是几？

例题7、接连写100个12得到一个自然数121212······12，这个数除以13的余数是几？

200位

试一试7、555??55?13，当商是整数时，余数是几？

2001个5

例题8、（1）求89

（2）求784?843的尾数。

试一试8、（1）求52?96的尾数。

（2）求256?11?7的尾数。

综合训练

1、1.5?1.5?1.5????1.5积的尾数是几？

200个1.5

2、24?24?24????24积的尾数是多少？

2004个24

3、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？

4、47.5?11商的小数点后第100位上的数字是多少？

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823594256142102?4763的尾数。

五年级思维提升训练Q（二）

5、72004的个位数字是几？

6、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，其余每个数的3倍都恰好等于他两边的两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，······问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

7、444??4÷6当商是整数时，余数是几？

100个4

8、求下列各算式的运算结果的末位数字 （1）19?31?59

（2）256?11?7

考查练习 1、(12?53)?(12?53)?(12?53)????(12?53)积的尾数是多少？ 100个(12?53) 823315913

2、1?2?3?4????98?99，积的尾数是多少？

3、写出除1290后余3的全部三位数。

4、1?14商的小数点后面第2004位的数字是几？

5、38的个位数字是几？

6、有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每一个数恰好是前面两个数的和，那么，在这一串数中第2002个数被3除所得的余数是多少？

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19 五年级思维提升训练Q（二）

7、888??8?7，当商是整数时，余数是几？

200个8

8、根据下面四个算式，能否发现其中规律，然后在括号中填入适当的数。

1?5?4?9?3?3 2?6?4?16?4?4 3?7?4?25?5?5 4?8?4?36?6?6

10?（ ）+4=（ ）=（ ）? （ ）

（ ）?（ ）+（ ）=（ ）＝（ ）?102 9、2?2????2，那么，这个积的末两位数字是几？

1991个2

第二讲 平均数应用题 平均数问题在我们的日常生活中有广泛的运用，如求平均分、平均身高、平均体重、平均速度等。解答平均数问题一定要牢记以下数量关系：

平均数＝总数量÷总份数 总数量＝平均数×总份数 总份数＝总数量÷平均数

更要牢记平均数是由总数量除以相对应的总份数得到的。

此外，有时用移多补少的方法求平均数也十分方便，特别是求平均速度时不能把两次速度加起来除以2，而要用全路程除以行完全程所用的时间来求平均速度。

例题1、五位小朋友，他们的体重分别是31千克、32千克、29千克、35千克、28千克，他们的平均体重是多少千克？

试一试1、五位小朋友，他们的身高分别是142厘米、150厘米、138厘米、140厘米、145厘米。求这五位小朋友的平均身高是多少厘米？

例题2、在一次100米赛跑中，小明前40米的平均速度为每秒4米，后60米的平均速度为每秒6米，求小明跑100米的平均速度是每秒多少米？

试一试2、甲、乙两地相距600千米，一辆汽车前一半路程的平均速度是每小时100千米，后一半路程的平均速度是每小时60千米，求这辆汽车的平均速度是每小时多少千米？

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例题3、明明4次数学测试的平均成绩是89分，第五次得了94分，5次测试的平均成绩是多少？

试一试3、某工厂2008年的前11个月平均每月生产13200件产品，12月份生产了10800件产品，求该工厂在2008年中平均每月生产多少件产品？

例题4、有三个数，甲、乙的平均数是81，甲、丙的平均数是85，乙、丙的平均数是86，求这三个数的平均数是多少？

试一试4、王新同学期末考试的成绩是：语文和数学平均95分，数学和英语平均90分，英语和语文平均85分，求王新这三科成绩的平均分？

例题5、小明四次语文测试，平均成绩是68分，他想在下一次语文测试后，将平均成绩提高到70分，那么，在下一次测试中，他要得多少分？

试一试5、小华期中考试考5个科目，如果数学成绩不算在内，平均分是90分。把数学成绩算进去,平均分是92分。小华数学成绩是多少？

例题6、一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，到达乙地后，又以每小时60千米速度从乙地返回甲地，这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米？

试一试6、在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走50米，到达山顶后沿原路下山，每分钟走75米。小刚上、下山平均每分钟走多少米？

例题7、甲、乙、丙、丁四人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙、丁没带钱。等吃完后一算，丙应该拿出6元钱，问甲应收回多少钱？

试一试7、甲、乙、丙、丁四个同学共买了10个面包，平均分着吃，甲拿出6个面包钱；乙拿出2个面包钱；丙拿出2个面包钱；丁没有带钱。吃完一算，丁应该拿出1.25元。问甲应该收回多少钱？

综合练习

1、某书共有上、中、下三册，上册有73页，中册有75页，下册有52页。求小明平均每天要读多少页才能在5天内读完该书？

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2、某工厂加工两批产品，分别是8000件、10000件，第一批产品每天加工80件，第一批加工完后以每天100件的速度加工第二批，求该厂平均每天加工多少件产品？

3、某班48人考试，有3位同学因病没有参加。其他同学的平均分是80分，第二天他们的补考成绩分别是100分、96分、92分，加上他们的成绩后，全班的平均分是多少？

4、甲、乙、丙、丁四人称体重，甲、乙、丙三人平均体重是30千克，甲、丙、丁三个人平均体重是40千克，甲、乙、丁平均体重是35千克，乙、丙、丁平均体重是39千克，求4人的平均体重是多少？

5、李华期中考试语文、英语、自然的平均成绩是80分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了2分，李华数学考了多少分？

6、小虎早晨以每秒3米的速度从家赶到学校，发现忘记了一本书在家里，于是又立刻以每秒6米的速度回到家，接着又以每秒4米的速度来到学校，求小虎总的平均速度是每秒多少米？

7、把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？

8、甲、乙、丙三个食堂节日分一样多的肉，甲拿出4只羊，乙拿出5只羊，丙没有羊，就给了900元钱，则甲、乙食堂各应分得多少元？

9、五个数的平均数是11，把其中一个数改为3后，这五个数的平均数是8，这个改动的数原来是多少？

考查练习

1、某学校期末考试考了4门科目，小林的4门成绩分别是95分、92分、82分、75分，小凡的4门成绩分别是100分、91分、85分、72分，分别求出两人的平均分，并指出谁的成绩好。

2、有80个苹果，64个桔子，48个桃子分别分给三个组同学，第一组每人得了5个苹果，第二组每人得了4个桔子，第三组每人得了3个桃子，求平均每人得了多少个水果？

3、跳远比赛每人有3次机会，要求平均成绩要达到155厘米才能及格，小勇前两次的平均成绩是153厘米，第三次他跳了159厘米，问他是否能及格？为什么？

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4、三个小组同学去植树，第一、二两组平均每组植18棵，第一、三两组平均每组植17棵，第二、三组平均每组植19棵。三个小组各植多少棵？

5、某人用一周时间行完了A、B两地之间的全程，平均每天行10千米，已知前5天平均每天行8千米，后两天平均每天行多少千米？

6、一辆汽车由甲城开往乙城，从出发到两城中点平均每小时行30千米，以后用了平均每小时50千米的速度到达乙城，求平均每小时行多少千米？

7、两地相距300千米，一艘船顺水行全程要10小时，已知这条河的水速为每小时5千米，往返两地的平均速度是每小时多少千米？

8、小强随手写了四个不同的自然数，求出四个数的平均数是14，还求出三个大数的平均数是15，三个小数的平均数是12，如果第二个大数是奇数，请你猜一猜小强写的奇数是多少？

9、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知某用户4月份煤气费平均每立方米0.88元，求四月份这个用户应缴煤气费多少元？

第三讲 行程问题（二）

火车行程问题，流水中的航行问题是两种特殊的行程问题。

前面的行程问题中所涉及的运动物体是不考虑它本身的长度的，可是当考虑火车的行程问题时，一列火车有百米以上的长度，是不能忽略不计的；前面的行程问题也不考虑行动中风速等因素的影响，但流水中航行的速度与水流的速度有很大关系，不能不考虑。 注意到它们的特征，来解决这样的行程问题就方便多了。 1、火车过桥问题，可以用下面的关系式求火车通过的时间：（列车长度+桥的长度）÷列车速度=列车过桥时间。 2、火车通过一座桥，或通过一个隧道，车头走过的长度是：桥长+火车长或隧道长+火车长。 3、流水航行问题，必须掌握下列数量关系式：

顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

以上公式，是基本的数量关系，具体情况要作具体分析，不能硬套。

例题1、一列火车长300米，每秒钟行20米，全车通过一个长360米的隧道，需要多少时间？

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试一试1、一列火车长280米，每秒钟行30米，全车通过一个长350米的大桥，需要多少时间？

例题2、一列火车长600米，经过铁路边的一个标志牌用了30秒，以同样的速度通过一个大桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了100秒。这座大桥长多少米?

试一试2、一列火车长800米，从站在铁路边的铁道员旁边经过用了25秒钟，以同样的速度通过前方的一个山洞，从车头进洞到车尾出洞共用了50秒，求这个山洞长多少米？

例题3、一列火车通过一座长2400米长的大桥用了90秒，用同样的速度穿越长1800米的隧道用了70秒，问这列火车的速度和车身长各是多少？

试一试3、一列火车通过一个长500米的山洞，用了30秒，用同样的速度通过一座长1800米的大桥，用了82秒，求这列火车的速度和车身的长各是多少？

例题4、有两列客车，车长分别为250米和142米，两列车分别以每秒24米和每秒25米的速度相向而行，在双轨铁路上，交会时从车头相遇到车尾相离共需要多少时间？

试一试4、有两列火车，一列长150米，每秒行23米；另一列长230米，每秒行15米。现在两车相向而行，从相遇到离开需要多少秒钟？

例题5、甲、乙两港相距300千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时12.5千米，水流速度是每小时2.5千米。这艘轮船在甲、乙两港间往返一次共用几个小时？

试一试5、两地相距108千米，一艘船在静水中的速度是每小时25千米，水流速度为每小时5千米，求这艘船在两地间往返一次共用多少小时？

例题6、一艘轮船在长江中顺流而下行400千米，要10小时；逆流而上行360千米，也需要10小时，求这艘轮船在静水中航行190千米所用的时间。

试一试6、一架飞机顺风飞行3480千米要4小时，逆风飞行3320千米也要4小时，求这架飞机在无风的时候飞行2550千米需要多少小时？

例题7、甲、乙两船在静水中航速相同，分别从A、B两港口同时出发，相向而行，水流速度为每小时5千米，5小时后相遇。已知两港口之间的距离为350千米。求甲船从A港口顺流而下几小时到达B港口？

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试一试7、两架飞机航速相同，分别从A、B两地同时出发，相向而行风速为每小时100千米，1.5小时后两飞机相遇。已知两地之间的路程为2700千米，求飞机顺风飞行3600千米所用的时间。

综合训练

1、一列火车由30节车厢组成，每节车厢长20米，每秒钟行25米，全车通过一座长1500米的大桥，需要多少时间？

2、一列火车通过一个长200米的山洞需要20秒钟，用同样的速度通过一座长500米的大桥需要32秒，求火车的长度和速度。

3、甲火车车身长240米，车速是每秒15米；乙火车车身长360米，车速是每秒25米。两车在双轨轨道上相向而行，从车头相遇到车尾相离需要多少秒钟？

4、一位少年短跑选手进行100米短跑训练，在无风时他的速度是每秒9米，训练时的风速为每秒1米。求这位选手往返一次共需多少秒？

5、慢车车身长120米，车速20米/秒；快车车身长164米，车速24米/秒。慢车在前面行驶，快车在后面从追上到完全超过需要多少时间？

6、一艘轮船在长江中顺流而下300千米，要7.5小时，已知这艘轮船在静水中3小时能航行105千米，求这艘轮船逆水航行5小时所走的路程。

7、两架飞机航速相同，分别从A、B两地出发，相向而行，风速为每小时50千米，2.5小时后两飞机相遇。已知两地间的路程为4500千米。求飞机逆风飞行2550千米所用的时间。

8、甲列车每秒行22米，乙列车每秒行18米，若两列车齐头并进，则甲车行60秒超过乙车，若两列车齐尾并进，则甲车45秒超过乙车。求甲列车和乙列车各长多少米？

9、芳芳以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的火车从对面而来。从她身边通过用了12秒钟。求这列车的速度。

考查训练

1、一列火车长360米，每秒行15米，全车通过一个长240米的山洞，需要多长时间？

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2、一列火车长180米，从路边的一根电线杆旁边通过，用了10秒钟，用同样的速度通过一座大桥，用了65秒，求这座大桥的长度。

3、一列火车通过一个长1000米的隧道用了50秒，以同样的速度通过一座长1650米的大桥，用了75秒。求这列火车的速度和车身长度各是多少？

4、甲、乙两人在铁道旁背向而行，速度都是每秒2米，一列火车向甲迎面开来，通过甲用了8秒，通过乙用了10秒。求车速和车长。

5、沿江两码头相距105千米，一艘船在静水中的速度为每小时36千米，水流速度为每小时6千米。求这艘船在两码头之间往返一次需要多少小时？

6、一艘飞艇顺风前进100米，需要10秒；逆风前进100米，需要20秒。求这艘飞艇在无风的情况下前进300米需要多少秒？

7、两位短跑运动员速度相同，分别从长400米的跑道两端同时向对方跑去，风速为每秒1米。20秒后两人相遇。求他们顺风跑400米的成绩是多少？

8、有两列火车，一列长280米，每秒行18米，另一列长320米，每秒行22米，现两列火车相向而行，从相遇到相离一共需几秒钟？

9、甲列车每秒行18米，乙列车每秒行13米，若两列车齐头并进，则甲车行55秒超过乙车；若两列齐尾并进，则甲车35秒超过乙车，求甲列车和乙列车各长多少米？

第四讲 数的整除

数的整除性质是研究自然数之间关系的学问。我们在课本中已经学习了能被2、3 5整除数的特征，这里再补充几个想整除特征：

1、能被4和25或8和125整除数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，那么它一定能被4或25整除，一个数的末三位数能被8或125整除，那么它一定能被8或125整除。

2、能被9整除的数的特征：一个数个位上的数字的和能被9整除，这个数一定能被9整除。

3、能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和之差（大减小）能被11整除。

4、能被7、11、13整除的特征的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数字所组成的数的差（大数减小数）能被7或11、或13整除，那么这个书就能被7或11、或13

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整除。

一个整数按能不能被2整除被分为奇数和偶数。数的奇偶数有着很重要应用。我们要记住下面的结论：

奇数±奇数﹦偶数 偶数±偶数﹦偶数 奇数±偶数﹦奇数 奇数×奇数﹦奇数 奇数×偶数﹦偶数 偶数×偶数﹦偶数

对于数较多，无法一一写出而难以判断结果是奇数还是偶数时，可以先写出着若干个数中的前十几个，依次写出它们的奇偶性，从中发现规律再去推算，这是一种很重要的解决问题方法。

5、数的整除性质：性质1：如果数a、b能被c整除，c为整除，则（a＋b）（a-b）也能被c整除。这叫做和、差的整除性。

性质2：如果数a能被数b整除，c为整除，则积ac也能被b整除，这叫做积的整除性。 性质3：如果数a能被b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除，这叫做整除的传递性。

性质4：如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，则a一定能被b和c整除。这叫做整除的积整除 解题时，我们要认真审题，灵活运用进行转化，通过推理，计算，求出所有可能的答案。

例题1、有两堆糖果第一堆有423块，第三堆有344块，哪一堆平均分给9个小朋友而无剩余？ 解：因为4+2+3=9, 3+4+4=11，所以423可以被9整除，因此第一堆可以平均分给9个小朋友。

试一试1、判断45728能否被4整除。 解：看末两位，28÷4=7，所以45728能被4整除。

例题2、四位数5?1?能被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？ 解：因为5?1?能被2、5整除，所以个位是0，变成5?10，又因为被3整除，所以有5+1+0+○可以被3整除，因此○可能为0,3,6,9，故这样的四位数有5010,5310,5610,5910。 试一试2、四位数6?1?能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？ 解：因为6?1?能被2、5整除，所以个位是0，变成6?10，又因为被3整除，所以有6+○+1+0可以被3整除，因此○可能是2,5,7，故这样的四位数有6210,6510,6710。

例题3、1000个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？为什么？ 解：因为相邻的两个数必是一奇一偶，所以两两分组，可以分500组，组内两数相加，奇数+偶数=奇数，可以得到500个奇数，再两两分组可以分250组，组内两数相加，奇数+奇数=偶数，可以得到250个偶数，又因为偶数+偶数=偶数，所以最后的也就是1000个连续自然数的和必是偶数。

试一试3、5＋6＋7??＋999＋1000的和是奇数还是偶数？为什么？

解：两两一组相加，得到（1000-5+1）÷2=498组奇数，再两两一组相加，得到498÷2=249个偶数，偶数+偶数=偶数，所以最后的和是偶数。

例题4、有一列数：2、3、5、8、13、21??从第3个数开始，每个数都是前两个数的和。问在前1000个数中有几个偶数？

解：经过观察可以发现，数字的奇偶性是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇??，故以3为周期循环，1000÷3=333?1，所以第1000个数字是偶数。

试一试4、数列1、3、4、7、11、18??是这样构成的：从第一个数开始，每一个数都是前两个数的和。

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问在前500个数中，有几个偶数？

解：经过观察可以发现，数字的奇偶性是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶??，故以3为周期循环，500÷3=166?2，所以第500个数字是奇数。

例题5、晓晨在文具店买了5本笔记本，1支钢笔，3支自动铅笔和6块橡皮.已知笔记本每本2元，1支钢笔5元。自动铅笔和橡皮的价格晓晨记不清了。售货员要晓晨付25元，晓晨马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？

解：买自动铅笔和橡皮一共用了25-(2×5+5×1)=10(元)，因为买了3只铅笔和6块橡皮，所以买的总数是3的倍数，总钱数也应该能被3整除，但10不能被3整除，故晓晨马上说售货员把帐算错了。

试一试5、小兵在文具店买了3本笔记本，1支钢笔，2支自动铅笔和4块橡皮。已知笔记本每本2元，1支钢笔5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了。售货员要小兵付18元。小兵马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？

解：买自动铅笔和橡皮一共用了18-(2×3+5×1)=7(元)，因为买了2只铅笔和4块橡皮，所以买的总数是3的倍数，总钱数也应该能被3整除，但7不能被3整除，故小兵马上说售货员把帐算错了。

例题6、一个六位数85?56?能被45整除，这个数除以5所得的商是多少？ 解：因为45=5×9，5和9互质，所以85?56?能被45整除，也就是能同时被5和9整除。那么因为85?56?能被5整除，个位只能是0或5。如果末尾是0的话，那么85?560能被9整除，得到8+5+○+5+6+0=24+○能被9整除，所以○只能填3，这个数字是853560；如果末尾是5的话，同理，得到8+5+○+5+6+5=29+○能被9整除，所以○只能填7，这个数字是857565。所以有两个数满足，853560÷5=170721，857565÷5=171513。

试一试6、一个五位数7?57?能被72整除，这个数除以8所得的商是多少？ 解：因为72=8×9，8和9互质，所以7?57?能被72整除，也就是能同时被8和9整除。那么因为7?57?能被8整除，末三位57?肯定能被8整除，所以这个数末尾是6，又因为7?576能被9整除，所以有7+○+5+7+6=25+○能被9整除，所以○只能填2，这个数字是72576；72576÷8=9072。

例题7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同数字，组成一个四位数，使它能同时被2、3、5、7整除，这个数最大是几？

解：因为这个数同时能被2、3、5、7整除，且2、3、5、7两两互质，所以这个数能被他们的最小公倍数2×3×5×7=210整除，要最大的四位数，所以先用10000÷210≈47.619，故可以从47往下试乘，210 ×47=9870，满足题意不同的数字，故这个数最大是9870。

试一试7、从从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同数字，组成一个四位数，使它能同时被3、7、9整除，这个数最大是几？

解：因为这个数同时能被3、7、9整除，也就是能同时被7,、9整除(因为能被9整除，肯定能被3整除)，所以这个数能被9×7=63整除，（同例七3、7、9的最小公倍数是63），要最大的四位数，所以先用10000÷63≈158.73，故可以从158往下试乘，63 ×158=9954，不满足题意不同的数字，故接着算63×157=9891也不行，63×156=9828，63×155=9765，满足题意，故这个数最大是9765。

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五年级思维提升训练Q（二）

例题8、学期结束时，老师买了72练习本48支笔57块橡皮，将它们平分给每个三好学生，余下的练习本数是橡皮数的3倍，余下的笔的支数是橡皮数的2倍。求一共有多少名三好学生？

解：设余下的橡皮数量是a，有x名三好学生，则笔是2a，练习本是3a，那么有72-3a，48-2a，57-a 分别能被x整除，所以48-2a+57-a-(72-3a)=33能被x整除，因为33=3×11，所以三好学生数可能是3或 11，但如果是3的话，橡皮可以刚好分尽，不符合题意，所以三好学生有11名，经检验是正确的。

试一试8、幼儿园张老师把60块饼干，38块糖和15个苹果平均分给第一小组的每位小朋友，余下的饼干是余下的苹果数的4倍，余下的糖是余下的苹果数的3倍。求第一小组一共有几位小朋友？ 解：设余下的苹果数量是a，有x位小朋友，则余下的糖是3a，余下的饼干是是12a，那么有60-12a，38-3a，15-a分别能被x整除，所以38-3a+15-a-(60-12a)÷3=33能被x整除，因为33=3×11，所以三好学生数可能是3或11，同理排除3，故一共有11位小朋友。

例题9、某七位数1997???能被4、5、6整除，那么最后三个?中三位数字的和最小值可能是几？ 解：因为能被4、5、6整除，就是能被他们的最小公倍数60整除，又因为60=3×4×5，所以这个数能同时被3、4、5整除，所以个位是0，十位是偶数，因为要数字之和最小，所以可以填0，这样的话七位数变成1997?00因为能被3整除，所以1+9+9+7+○+0+0=26+○，所以○最小可以填1。所以三位数字的和最小值可能是1。

试一试9、在358后面补上三个数码组成的一个六位数，使得它分别能被3、4、5整除，这样的六位数的最小值是多少？

解：因为这个数能被4、5整除，所以个位是0，十位是偶数，又因为能被3整除，所以3+5+8+百位+十位+0=16+百位+个位能被3整除，因为要最小，所以取18先试，即十位+百位=2，又因为十位是偶数，所以取2，则百位取0，所以这样的六位数最小值是358020。

综合训练

1、下面那些数能被8或125整除？ 2616、1875、1448、5525、1848、2500、46375 解：能被8整除的有：2616、1448、1848；能被125整除的有2500。 2、在?里填上适合的数，使五位数2?10?，能同时被8和9整除？ 解：能被8整除看末三位10?能被8整除，所以括号里得填4，又因为能被9整除，所以2+1+0+4+○=7+○能被9整除，所以填2，故这个五位数是22104。

3、1000个连续自然数的积是奇数还是偶数？为什么？ 解：必须偶数，因为任何自然数乘偶数的积是偶数。

4、数列1、2、5、13、34、89??的排列规律是这样的，从第二个开始，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和。问这个数列的第100个数是奇数还是偶数？ 解：经过观察可以发现，数字的奇偶性是：，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇??，周期为3，100÷3=33?1，所以这个数列的第100个数是奇数。

5、商店有六箱货物，分别种18，19，16，15，31，20千克，两个顾客买其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，问商店剩下的一箱货物重多少千克？

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五年级思维提升训练Q（二）

解：由题意知两个顾客一共买的货物的重量是3的倍数，也就是能被3整除，又因为18+19+16+15+31+20=119,119÷3=39?2所以剩下的这一箱货物一定是被3除余2，也就是各个数位数字之和是3的倍数加2，经过计算发现只有20符合，所以商店剩下的一箱货物重20千克。

6、一个六位数87?56?能被55整除，这个数除以11所得的商是多少？

解：因为55=5×11，所以这个六位数个位是0或5，当末尾是0，奇数位数字之和为12，偶数位数字之和为14+○，然后作差（大减小），14+○-12=2+○，能被11整除，所以填9；同理，当末尾是5，14+○-17能被11整除，所以填3。所有有两个数字879560÷11=79960，873565÷11=79415。

7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数字，组成一个五位数，若它能同时被3，5，7，13整除。这个数最大是几？

解：因为能同时被3、5、7、13整除，且两两互质，所以这个五位数也能被3×5×7×13=1365，又因为要最大的五位数，所以用100000÷1365≈73.26，从73开始试，1365×73=99645，不符合题意的不同数字，所以接着试1365×72=98280,1365×71=96915，1365×70=95550，1365×69=94185，符合题意，所以这个数最大是94185。

8、某车间接到加工任务，要求加工甲种零件269个，乙种零件201个，丙种零件211个。现在将这些任务平均分给每位工人，余下的零件，甲种是丙种的3倍，乙种是丙种的2倍，这个车间有多少位工人？ 解：设余下丙种零件a，则余下乙种零件2a，余下甲种零件3a，有x位工人，那么有269-3a，201-2a，211-a分别能被x整除，那么201-2a+211-a-(269-3a)=143也能被x 整除，又因为143=11×13，所以x可能是11或13，当x是11时，代进去发现不满足题意，舍去，当x是13时，代进去发现满足题意，所以这个车间有13个工人。

9、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2，3，5，11整除，这个七位数最小是多少？ 解：因为这个7位数能被2,3,5,11整除，且两两互质，所以这个数能被2×3×5×11=330整除， 因为要最小，所以用1992000÷330≈6036.37，所以可以用6037×330=1992210，所以这个七位数最小是1992210。

考查训练

1、判断789646能不能被7或11或13整除？

解：因为789-646=143,经过计算143能被11,13整除，不能被7整除，所以这个数789646能被11和13整除，不能被7整除。

2、在?内填上合适的数，使五位数7?36?既能被5整除，也能被9整除？

解：能被5整除，末尾是0或5，当末尾是0，7+○+3+6+0=16+○能被9整除，所以○填2，；当末尾是5，7+3+6+5+○能被9整除，填6；所以一共有两个数字满足题意，分别是72360和76365。

3、1×2＋3×4＋5×6＋??＋199×200的结果是奇数还是偶数？

解：任何自然数×偶数=偶数，偶数+偶数=搜书，所以结果是偶数。

4、数列1、4、13、40、121、??的排列规律是这样的，从第二个数开始，每个数都比以前一个数的3倍多1，求这个数列的前100个数的和是奇数还是偶数？

解： 因为奇数乘以3倍加1就变成了偶数，偶数乘以3倍加1就变成了奇数，所有这个数列是：奇、偶、奇、偶、奇、偶，故，所以50个奇数之和是偶数，50个偶数之和也是偶数，则最后的数列的和是偶数。

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五年级思维提升训练Q（二）

.5、琳琳买了三支铅笔，2支圆珠笔，6本练习本和12块橡皮。已知铅笔5角一支，圆珠笔1元一支，其余单价琳琳记不清了。营业员要琳琳共付14元5角。请问营业员的帐算错了没有？为什么？

解：练习本和橡皮一共用了14.5-（0.5×3+1×2）=11元，又因为练习本和橡皮的数量都是三的倍数，所以总钱数也是3的倍数，故11不符合，所以营业员确实算错了。

6、一个五位数3?29?能被44整除，这个数除以11所得的商是多少？

解：44=4×11，能被4整除，所以末尾是2或6，当末尾是2，千位上是9；当末尾是6，千位上是2，所有有两个数39292÷11=3572，32296÷11=2936。，

7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这是个数中，选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同时被5，7，9，11整除，这个五位数最大是多少？

解：因为能被5,7,9,11整除，且互质，所以这个五位数能被5×7×9×11=3465，要求五位数最大，所以用100000÷3465≈28.86，所以先用28试乘，3465×28=97020，不符合，接着3465×27=93555，3465×26=90090 ，3465×25=86625，3465×24=83160，符合，故这个五位数最大是83160。

8、有红球41个，黄球61个，白球57个，把它们平均分给几个小朋友，剩下的红球是白球的6倍，剩下的黄球是白球的5倍，求共有几个小朋友？

解：设剩下的白球是a，剩下的黄球是5a，剩下的红球是6a，有x个小朋友，则57-a，61-5a，41-6a都能被x整除，则57-a+61-5a-(41-6a)=76，故76也能被x整除，76=4×19，4和19互质（不能写成76=2×2×19），所以可能有4个或19个小朋友，当小朋友是4个话，发现不满足题意，所以共有19个小朋友。

9、在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个与最小的一个相差多少？

解：因为所有各位数字之和等于34，所以各个数位上只能是9,9,8,8四个数字，又因为能被11整除，所以奇数位上的数字和与偶数位上的数字和是11的倍数，总和前面只能是0，所以奇数位上的数字和偶数位上的数字相等，都是34+2=17，所以最大是9988，最小是8899，相差是9988-8899=1089。

第五讲 分解质因数

在一个自然数的因数中，是质数的因数叫做这个自然数的质因数。例如，5和7都是35的因数，这两个数本身又都是质数，所以5和7都是35的质因数。

再如，4和5都是20的因数，但4不是质数，而5是质数，所以4不是20的质因数，而5是20的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分数质因数。如30=2×3×5，24=2?3

在许多的数学问题的解答过程中，常常要先把一个数分解质因数，以便于已知数与未知数之间的关系，从而使问题得到解决，常用的分析方法有以下几种：

1、如果已知几个数的积要求这几个数可以把原数分解质因数，然后再根据题目的要求，将这些质因数重新组合成符合条件的几个数;

2、如果给出几个数，要将它们分成几组，使每个组中几个数的乘积相等，通常要先把这几个数分别分解质因数，然后对所有质因数进行分组，使得每组中各个质因数的个数都对应相等；

3、如果要求一个合数的约数共有多少个，可以把这个合数分解质因数，然后将相同质因数的个数加上1再相乘即可；

4、要求一个连乘算式的积的末尾有几个连续的0，可以找出算式各乘数中所含有的质因数2和5各有多少

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3 五年级思维提升训练Q（二）

个，取其最少的个数就是乘积末尾0的个数。

例题1、一只筐里装有100个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个得拿出，但每次拿出的个数都要相等，并且最后一次正好拿完。共有几种拿法？

试一试1、用120个大小相同的正方形拼成一个长方形，共有多少种不同的拼法？

例题2、一个长方体木块，它的长，宽，高的厘米数正好是三个连续的自然数，这个长方体的体积是504立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？

试一试2、三个连续偶数的乘积是960，这三个数的和是多少？

例3、某班同学在班主任老师的带领下，去福利院擦玻璃，同学们恰好能平均分成4组，并且师生每人擦的块数同样多。已知师生一共擦了102块玻璃，平均每人擦了多少块玻璃？

试一试3、李老师带领一部分同学去植树，同学们正好可以平均分成3组。如果师生每人植树的棵树一样多，则共植了155棵树。平均每人植树多少棵？

例4、把8，21，25，35，44，65，78，99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

试一试4、把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

例5、1×2×3×4×?×200这个乘积的末尾有多少个连续的0？

试一试5、1×2×3×4×?×1000这个乘积的末尾有多少个连续的0？

例6、24的全部因数共有多少个？180的全部因数共有多少个？

试一试6、360的全部因数共有多少个？

例7、四个连续的奇数，它们的积为19305，这四个奇数分别是多少？

试一试7、四个连续奇数的连乘积是326025，这四个数分别是多少？

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五年级思维提升训练Q（二）

综合训练

1、把210块糖平均分成若干份，每份块数在10至20之间，共有多少种分法？

2、甲数比乙数大7，两个数的乘积是450，求这两个数的和是多少？

3、王老师带着班上同学（不超过100人）去植树，学生按人数正好可以平均分成三组。已知师生共植了154棵树，老师与学生每人植的树一样多，并且不超过10棵。共有多少学生参加植树的数一样多，并且不超过10棵。共有多少学生参加植树？每人植树多少棵？

4、把39，45，56，60，70，78，84，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。

5、要使75×（ ）×184×125×60的乘积的末尾有7个连续的0，括号里做小应填多少？

6、144的全部因数共有多少个？

7、在100和200之间找出两个整数，使其乘积等于28710，这两个数分别是多少？

8、把50拆成10个质数的和，要使其中最大的质数尽可能大，那么最大的质数是几？

9、张爷爷今年84岁，他告诉同学们“我有三个孙子，他们三个年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子的年龄和正好是另外一个孙子的年龄。”你能知道张爷爷这三个孙子各几岁吗？

考查训练

1、有一个长方体，相邻三个面的面积分别为35平方厘米，77平方厘米和55平方厘米，求它的体积是多少？

2、三个质数的和是90，这三个数的乘积最大可以是多少？

3、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁。他们年龄相乘积等11880.那么他们的年龄各是多少？

4、不计算，判断一下，48×925×34×475×60的积的末尾共有几个连续的0？

5、2004的因数共有多少个？

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五年级思维提升训练Q（二）

6、合数3570有很多因数，其中最小的三位数因数是多少？

7、1×2×3×4×?×2506的乘积中，末尾连续有多少个0？

8、一个长方形的长、宽、高是三个连续的自然数，它的体积是39270平方厘米，那么长方体的表面积是多少平方厘米？

第六讲 最大公因数

我们知道，几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数，一般的，把自然数a和b的最大公因数记为（a，b）

求两个数的最大公因数，可以用分解质因数法，短除法和辗转相除法。几个数的最大公因数必须包含几个数全部共有的质因数。

最大公因数是1的两个数叫做互质数，关于互质数，我们知道： 1、两个相邻自然数一定是互质数，如16和17互质； 2、两个不同的质数一定是互质数，如17和23互质； 3、1和任何自然数一定是互质数，如1和50互质；

4、质数与比它小的任一自然数一定是互质数，如79和25互质; 5、合数与任一不是它因数的质数一定是互质数，如80和13互质。

许多题目都和最大公因数有关，灵活运用最大公因数与互质数的知识，将使有些题目的解答变得更简单。

例1、把一张长72厘米，宽48厘米的长方形纸，裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要使正方形的边长尽可能大，可以分成多少个正方形？

试一试1、把一张长60厘米，宽48厘米，裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，小正方形的面积最大是多少？

例2、有两根钢管，长度分别为2.4米和4.2米。如果把它们截成同样长的小段而没有剩余，要使每小段尽可能长，一共可以截成多少段？

试一试2、把长135厘米，宽120厘米的长方形纸截成同样大小的正方形，要求正方形尽可能大，一共能裁成多少个小正方形？

例3、一条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙两村相距450米，乙、丙两村相距630米，现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在甲、乙两树的中点和乙、丙两树的中点都要栽上树。那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

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五年级思维提升训练Q（二）

试一试3、一条公路由王村经张镇到李庄。已知王村和张镇相距1200米，张镇和李庄相距4320米，现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在王村和张镇的中点，张镇和李庄的中点都要栽上树，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

例4、园林工人要加工一种盆景，第一批加工303盆，第二批加工179盆，第三批加工535盆。各批都平均分给工人加工，分别剩余3盆，4盆和10盆。一共有多少工人参加加工？

试一试4、用某数去除425余5，去除500少4，去除300余6，这个数最大是多少？

例5、甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公因数是16，求这两个数。

试一试5、已知甲、乙两数的和是125，它们的最大公因数是25，求这两个数。

例6、有很多种方法能将2004写成10个大于0的自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种方法，这10个数都有相应的最大公因数。那么这些最大公因数中的最大值是多少？

试一试6、有很多种方法能将2001写成24个大于0的自然数（可以相同，也可以不相同）的和，这24个数的最大公因数最大可以是多少？

综合训练

1、为了进行科学种田的实验，要将一块长75米，宽60米的长方形土地划分成若干块面积相等的小正方形，那么每块小正方形土地的面积最大是多少平方米？

2、把一个长4.5分米，宽3.6分米，高2.4分米的长方体木块切成大小相等的小正方形木块，不许有剩余。小正方形木块的棱长最长是多少？

3、有50个梨，75个桔子和175个苹果，要把它们平均分成几堆，要求每堆中三种水果的个数分别相等。最多能分成几堆？

4、一条公路由A地经B地到C地，已知AB之间相距600米，BC之间距离780米。现在路边种树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在B地以及AB，BC的中点上都要种一棵。那么相邻两棵树之间的距离最多有多少米？

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五年级思维提升训练Q（二）

5、两个数的最大公因数是21，这两个数的和是105，求这两个数各是多少？

6、五年级三个班分别有24人，36人，42人参加体育锻炼要把他们分成人数相等的小组。但各班同学不能打乱。最多每组多少人？每班各分多少组？

7、一个房间长450厘米，宽330厘米。现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少整块，才能正好把房间地面铺满？

考查训练

1、有两根钢管，分别长200厘米和240厘米。现在要把这两根钢管截成尽可能长而且相等的小段，没有剩余。一共能截成多少小段？

2、在长50米，宽35米的长方形操场四周插上彩旗，要求每两面彩旗之间的距离相等，而且在长方形的四角上都要各有一面彩旗。那么每两面彩旗之间的距离最大可以是多少米？

3、现在语文书42本，数学书126本，刘语书98本，平均分成若干堆，每堆中三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？

4、两个自然数的和是432，它们的最大公因数是36，求这两个数。

5、把36支笔和40本练习本平均奖给几个三好学生，结果多出一支笔，练习本还缺两本。共有几个三好学生？

6、一张长方形纸，长7分米5厘米，宽4分米。现在要把它截成相等的小正方形，小正方形的边长最大是多少？

7、一个数，除410时余5，除242时少1，除550时余10。这个数是多少？

8、现计划用围墙起一块面积为5544平方米的长方形，为节约材料，要求围墙最短，那么这块地的围墙有多少米长？

第七讲 最小公倍数

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五年级思维提升训练Q（二）

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般的，把自然数a和b的最小公倍数记作〔a，b〕，比如〔4，6〕=12，〔2，12，10〕=60

求几个数的最小公倍数，可以采用分解质因数法或短除法。两个数的最小公倍数必须包含这两个数全部公有的质数，以及各自独有的质因数；三个数的最小公倍数除了必须包含这三个全部公有的质因数，还必须包含每两个数共有的质因数以及各自独有的质因数。关于最小公倍数，我们还需要知道一下几点： 1、如果两个数是互质数，那么几个数两两互质，那么的最小公倍数也是它们的乘积；

2、如果较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数就是较大数;如果几个数中有一个是其他所有数的倍数，那么它就是这几个数的最小公倍数；

3、关于两个数的最大公因数和最小公倍数，有如下关系： 最大公因数×最小公倍数=两数的乘积 即（a，b）×〔a,b〕=a×b

根据这个关系：我们可以方便的求出两个数的最小公倍数或者其中某一个数，这在解题时经常用到。

例1、小明和小军每人隔不同的天数到图书馆去看书，小明每6天去一次，小明每8天去一次，这个星期天，他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天，他们又在图书馆相遇？

试一试1、甲、乙两人在操场上练习长跑，甲跑一圈用15分钟，乙跑一圈用12分钟。现在两人同时在起点处，至少再过多少时间，他们两人又同时出现在起点处？

例2、同学们排队做操，无论是每行排6人，还是每行排8人或12人，都正好排满，没有剩余。至少有多少人做操？

试一试2、有一堆苹果，无论是5个一数，还是8个一数，或是12个一数，都正好数完，而没有剩余。这堆苹果至少有多少个？

例3、一个大于10的自然数，被16除和被20除的余数都是8，这个数最小是多少？

试一试3、一盒棋子，无论是9个一堆，还是12个一堆，最后都多出2个。这盒棋子至少有多少个？

例4、用长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少个？

试一试4、用长6厘米，宽4厘米的长方形瓷砖拼成一个最小的正方形，要用这样的瓷砖多少块？

例5、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，这两个数分别是多少？

试一试5、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，这两个数分别是多少？

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五年级思维提升训练Q（二）

例6、一排电线杆，每相邻两根之间的距离为45米，现在要改为60米。如果起点的一根不动，至少再过多远又有一根不需要移动？

试一试6、在一条长400米的道路一边，每隔16米插上一面彩旗（起点和中点都要插）。现在要改为每隔10米插一面彩旗，如果起点的彩旗不动，那么重新插完后，不要移动的彩旗有多少面？

例7、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于多少？

试一试7、四个连续的最小公倍数是33915，这四个数中最大的一个是多少？

综合训练

1、一对交合齿轮，分别有60个齿和80个齿，其中互相咬合的任意一对从第一次相接，两个齿轮各要转多少圈？

2、1路车，51路车和22路车都是从市人民广场发车。1路车每隔8分钟发一辆，51路车每隔15分钟发一辆，22路车每隔9分钟发一辆。当这三条路线的车同时发车后，至少再过多少时间，又会同时发车？

3、一个数，不论被10除，被4除还是被15除，最后都少3，这个数最小是多少？

4、有一批砖，长45厘米，宽27厘米，至少要用这样的砖多少块，才能铺成一个正方形？

5、两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？

6、两个数的最大公因数是66，最小公倍数是2310，两个数的差是132，这两个数分别是多少？

7、插一排彩旗共26面，原来每两面之间的距离是6米，现在改为10米。如果起点的一面不移动，还可以有几面不需要移动？

8、父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，其中有一些脚印与父亲重合。在120米内一共留下多少个脚印？

9、有一个电子闹钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子闹钟既响铃又亮灯，

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五年级思维提升训练Q（二）

问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？

考查训练

1、甲、乙二人沿一环形跑道跑步，甲跑一圈要1分12秒，乙跑一圈要1分20秒。两人同时从起点出发后，至少再过多少时间，他们在起点相遇？

2、有一盒巧克力，无论7粒一数，8粒一数还是3粒一数，都正好数完。这盒巧克力至少有多少粒？

3、一盒围棋子，4个一数多3个，6个一数多5个，15个一数多14个。这盒围棋子最少有多少粒？

4、两个数的乘积是360，它们的最小公倍数是120，这两个数各是多少？

5、一条公路上有37根电线杆，原来每两根之间相距50米，现在要改成每两根之间距离60米，除起点的一根不需要移动外，还有几根不需要移动？

6、加工一批零件，需要三道工序，第一道工序的工人，每人每小时完成48个零件；第二道工序的工人，每人每小时可以完成28个零件；第三道工序的工人，每人每小时可以完成32个零件。问三道工序至少各需要多少工人？

7、有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商5余5，A除以C商6余6，A除以D商7余7.这四个数的和是多少？

8、三个连续自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和是几？

9、在1000 ～2000之间能同时被6、8和10这三个数整除的自然数共有多少个？

10、大雪后的一天，小明和爸爸共同测试一个圆形花圃的圆长，他俩的起点和走的方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以所以走完一圈后留下60个脚印，则花圃的周长是多少？

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