函数单调性练习题

函数单调性练习题

函数单调性练习题

1. （1）已知函数f(x)＝x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a

2

的取值范围是 .

（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数 y 2x 的最大值为_______最小值为 2 x_________

2.讨论函数f(x)＝

ax1 x

2

(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.

ax11 x1

2

解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝-

ax21 x2

2

＝

a(x1 x2)(1 x1x2)(1 x)(1 x)

21

22

∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0 于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).

故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.

3

3.判断函数f(x)=－x+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？

4. 已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(x2－1)求x的取值范围．

5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．

解：令t ( x ) 2 x , 则由已知得 f (t ) 在t 2 6）上是增函数， （ ， t ( x ) 2 x 2 6） 而 （ ， x 4 0） （－ ，) 2 x 4, 0 ) 上 又t ( x 在x ( 是单减的，

， 由复合函数单调性可知

f ( 2 x ) f [ t ( x )]在 x （－4 ， 0）

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6．函数f(x)

A.0 a

ax 1x 212

在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（ ）

B.a

12

C.a<-1或a>1 D.a>-2

ax＋1a(x＋2)＋1－2a1－2a

解：f(x)＝a.

x＋2x＋2x＋2

1－2a1－2a(1－2a)(x2－x1)

任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)－＝x1＋2x2＋2(x1＋2)(x2＋2)

ax＋1

∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)<0.

x＋2

11

∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a. 即实数a的取值范围是 ∞ .

2 2

2

x＋4x，x≥0，

7.已知函数f(x)＝ 若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( ) 2

4x－x，x<0.

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

22 x＋4x＝(x＋2)－4，x≥0，

解析：f(x)＝ 由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调22

4x－x＝－(x－2)＋4，x<0，

递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.

+

8.已知f(x)在其定义域R上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2) ≤3

f(4) f(2) f(2) 2

f(8) f(4) f(2) 3

2

解： f(xy) f(x) f(y)

f(x)为R上的增函数x 0

x 2 0 x2 2x 8

＋

f(x) f(x 2) f(x 2x)又

由题意有f(x 2x) f(8)

2

解得x 2，4

9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

（2）当0 < x < y时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。

（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f单调减，所以| x | > 9 x＞9或x＜-9

x1x2

)=f(x1)-f(x2)，且当

x＞1时，f(x)＜0.

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10.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)

=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)

=f(x2-x1)-1＞0.

∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数.

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 4

4 1,

解得-1＜m＜故解集为3

3

x11.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f() f(x) f(y)

y

（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）； （2）设f（2）=1，解不等式f(x) f(

1x 3

) 2。

x

（1）证明：f() f(x) f(y)，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，

y

1

) f(x) f() f(x) [f(1) f(y)] f(x) f(y)。 1yyx

f(xy) f(

（2）解：∵f(x) f(

1x 3

) f(x) [f(1) f(x 3)] f(x) f(x 3) f(x 3x)，

2

∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）， ∴f(x) f(

1x 3

) 2等价于：f(x 3x) f(4)①，

2

且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得

∵x(x 3) x 3x 0，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，

∴① x 3x 4 1 x 4。又x>3，∴原不等式解集为：{x|3<x≤4}。 －ax

(a≠1)． a－1

(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

12.已知函数f(x)2

2

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33

(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤f(x)的定义域是 －∞，；

aa(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3. 当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 13. 定义在R上的函数y f(x)，f(0) 0，当x 0时，f(x) 1，且对任意的a、b R，有f(a b) f(a) f(b). (1)求f(0)的值；(2)求证：对任意的x R，恒有f(x) 0；(3)若f(x) f(2x x2) 1，求x的取值范围.

解：（1）解：令a b 0，则f(0) f2(0). 又f(0) 0，f(0) 1.

（2）证明：当x 0时， x 0，∴f( x) 1 ∵f(0) f(x) f( x) 1，∴

1f( x)

f(x) 又x 0时， f(x) 1 0 ∴对任意的x R，恒有f(x) 0. 0

（3）解：设x1 x2，则x2 x1 0. ∴f(x2 x1) 1. 又f(x1) 0

∴ f(x1) f(x2) f(x1) f[(x2 x1) x1] f(x1) f(x2 x1) f(x1) =f(x1)[1 f(x2 x1)] 0

∴ f(x1) f(x2).∴ f(x)是R上的增函数. 由f(x) f(2x x2) 1，f(0) 1

22

得 f(3x x) f(0).∴ 3x x 0，∴0 x 3∴所求的x的取值范围为(0,3)

2

14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－3

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．

解法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8zoe.html