2014年全国高考大纲版数学(理)试卷及答案
更新时间:2023-12-25 13:52:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2014年普通高等学校统一考试(大纲)
理科
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设z?10i,则z的共轭复数为 3?i( )
A.?1?3i B.?1?3i C.1?3i D.1?3i 【答案】D.
2.设集合M?{x|x?3x?4?0},N?{x|0?x?5},则M( )
A.(0,4] B.[0,4) C.[?1,0) D.(?1,0] 【答案】B.
3.设a?sin33?,b?cos55?,c?tan35?,则 ( )
A.a?b?c B.b?c?a C.c?b?a D.c?a?b 【答案】C.
4.若向量a,b满足:a?1,a?b?a,2a?b?b,则b? ( )
A.2 B.2 C.1 D.【答案】B.
5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【答案】C.
2N?
????2 23x2y26.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的
3ab直线l交C于A、B两点,若?AF1B的周长为43,则C的方程为 ( )
x2x2y2x2y2x2y22??1 B.?y?1 C.??1 D.??1 A.
332128124【答案】A. 7.曲线y?xe( )
A.2e B.e C.2 D.1 【答案】C.
8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( ) A.
x?1在点(1,1)处切线的斜率等于
27?81? B.16? C.9? D.
44【答案】A.
9.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若F1A?2F2A,则
cos?AF2F1?( )
A.
2211 B. C. D.
4343【答案】A.
10.等比数列{an}中,a4?2,a5?5,则数列{lgan}的前8项和等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C.
11.已知二面角??l??为60?,AB??,AB?l,A为垂足,CD??,C?l,
?ACD?135?,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为
( )
A.
2311 B. C. D.
4442【答案】B.
12.函数y?f(x)的图象与函数y?g(x)的图象关于直线x?y?0对称,则y?f(x)的反函数是( )
A.y?g(x) B.y?g(?x) C.y??g(x) D.y??g(?x) 【答案】D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
?xy?2213. ?的展开式中xy的系数为 .(用数字作答) ???yx???【答案】70.
8?x?y?0?14.设x,y满足约束条件?x?2y?3,则z?x?4y的最大值为 .
?x?2y?1?【答案】5.
15.直线l1和l2是圆x?y?2的两条切线,若l1与l2的交点为?1,3?,则l1与l2的夹角的
22正切值等于 . 【答案】
4. 316.若函数f(x)?cos2x?asinx在区间(【答案】???,2?.
??,)是减函数,则a的取值范围是 . 62三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
1?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosC?2ccosA,tanA?,
3求B.
解:由题设和正弦定理得
3sinAcosC=2sinCcosA,\\3tanAcosC=2sinC.tanA=1,\\cosC=2sinC, 3\\tanC=0?1tanA+tanC,\\tanB=tan轾180?A+C=-tanA+C==-1,又()()臌2tanAtanC-1135?.
B<180癨,?B18. (本小题满分12分)
等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1?10,a2为整数,且Sn?S4. (I)求{an}的通项公式; (II)设bn?1,求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1解:(I)由a1?10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.又Sn?S4,故
a4?0,a5?0,于是10?3d?0,10?4d?0,解得-数列{an}的通项公式为an=13-3n.(II)
10#d3-5,因此d=-3,故2bn?1?11?????,于是
?13?3n??10?3n?3?10?3n13?3n?1??11??11??bn??????????3??710??47?1??1?11?n?1???????????10?3n13?3n??3?10?3n10?10?10?3n?1Tn?b1?b2?.
19. (本小题满分12分)
?ACB?90,如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,BC?1,AC?CC1?2.
(I)证明:AC1?A1B;
(II)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1?AB?C的大小.
0C1A1B1DACB
解:解法一:(I)A1D^平面ABC,A1Dì平面AAC11C^平面ABC.又11C,故平面AACBC^AC,
,∵侧面AAC,由三垂线定理得\\BC^平面AAC11C.连结AC111C为菱形,故AC1^AC1(II)BC^平面AACAC1^A1B;11C^平面BCC1B11C,BCì平面BCC1B1,故平面AAC1.作则A1E^平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1A1E^CC1,E为垂足,
与平面BCC1B1的距离,A1E=3.∵AC为DACC1的角平分线,故A1D=A1E=13.作
为二面角A1?AB?CDF^AB,F为垂足,连结A1F,由三垂线定理得A1F^AB,故DAFD1的
DF=平面角.由
AD=AA12-A1D2=1得D为AC的中点,
1AC′BC?2AB5,tan?A1FD5A1D=15,∴二面角A1DF?AB?C的大小为arctan15.
zC1A1EB1C1B1A1CCDAFBByDxA
解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AAC11C内. (
I
)
设
A1(,a0),,c由题设有a£2,(A2),(0B),0则,0,1,AB=(-2,1,0),AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c).由
AA1=2得(a-2)+c2=22,即a2-4a+c2=0(①).于是
AC1?BA1a2-4a+c2=0,\\AC1^A1B.
(II)设平面BCC1B1的法向量m=(,xm?CB0,m?BB10.CB=(0,1,0),
,y)z,则m^CB,m^BB1,即
BB1=AA1=(a-2,0,c),z=2-a,故y=0,且
A
(a-2)x+cz=0平
面
.令
的
x=c,则离
为
(m=sm,c0),-,2a点到
BCC1B1距
C?cAoC×Am2c,C=A=22mc+(2-a)cA到平面BCC1B1的距离为.又依题设,点
3,\\c=3.代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是AA1=-1,0,3.设平面ABA1的
0,n?AB0,\\-p+3r=0,故且
()法向量n=(p,q,r),则n^AA1,n^AB,即n?AA1-2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,n??3,23,1?.又p??0,0,1?为平面ABC的
法向量,故cosn,p?n?pn?p?11,∴二面角A1?AB?C的大小为arccos.
4420. (本小题满分12分)
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(I)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(II)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备,i?0,1,2;B表示事件:甲需使用设备;C表示事件:丁需使用设备;D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (I)D?A1?B?C?A2?B?A2?B?C,又
iP?B??0.6,P?C??0.4,P?Ai??C2?0.52,i?0,1,2.?P?D??
P?A1?B?C?A2?B?A2?B?C??P?A1?B?C??P?A2?B??P?A2?B?C??P?A1?P?B?P?C??P?A2?P?B??P?A2?P?B?P?C??0.31.(II)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P?X?0??PB?A0?C?PBP?A0?PC??1?0.6??0.52??1?0.4??0.06,
P?X?1??PB?A0?C?B?A0?C?B?A1?C?P?B?P?A0?PC?PBP?A0?P?C??PBP?A1?PC?0.6?0.52??????????????????1?0.4???1?0.6??0.52?0.4??1?0.6??2?0.52??1?0.4??0.25,P?X?4??P?A2?B?C??P?A2?P?B?P?C??0.52?0.6?0.4?0.06,P?X?3??P?D??P?X?4??0.25,P?X?2??1?P?X?0?P?X?1??P?X?3??P?X?4??1?0.06?0.25?0.25?0.06?0.38.
∴数学期望
EX=0?P(X0)+1?P(X1)+2?P(X2)+3?P(X3)+4?P(X4)=0.25+2?0.383?0.254?0.062.
21. (本小题满分12分)
已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F,直线y?4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|?(I)求C的方程;
(II)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l?与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程. 解:(I)设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=设得
88pp8,\\PQ=,QF=+x0=+..由题pp22p25|PQ|. 4p858(II)由题设知+=?,解得p=-2(舍去)或p=2,∴C的方程为y2=4x;
2p4p故可设l的方程为x=my+1(m?0),代入y2=4x得y2-4my-4=0.设l与坐标轴不垂直,
A(x1,y1),Bx(2y,2,)则y1+y2=4m,
y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),AB=m2+1y1-y2=4(m2+1).又l¢的斜率
为-m,\\l¢的方程为x=-y2+1y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得m44x3y,3Bx,y设M(y-4(2m2+3)=0.)(,4m桫mmm,)则y3+y4=-4,y3y4=-4(2m2+3).故MNm4(m2+1)2m2+122÷12?的中点为E骣. +2m+3,-÷?2÷,MN=1+2y3-y4=?2m由于MN垂直平分线AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=1MN,从而
2224(m2+1)(2m2+1)骣骣2222m+鼢+2=即4(m+1)+珑,化简得鼢+珑珑桫m鼢桫m2m42211222AB+DE=MN,44m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
22. (本小题满分12分)
函数f?x??ln?x?1??ax?a?1?. x?a(I)讨论f?x?的单调性;
23. ?an?n+2n?22x?x?a?2a?????.
解:(I)f?x?的定义域为??1,???,f??x??2?x?1??x?a?(II)设a1?1,an?1?ln(an?1),证明:
(i)当1?a?2时,若x??1,a2?2a,则f??x??0,f?x?在?1,a2?2a上是增函
2数;若x?a?2a,0则,f??x??0,f?x?在
???????a2?2a,0?上是减函数;若
x??0,??,f??x??0,f?x?在?0,???上是增函数. ?则
(ii)当a=2时,fⅱ(x)?0,f(x)0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+?)上是增函数.
(iii)当a>2时,若x?(1,0),则f??x??0,f?x?在是(-1,0)上是增函数;若则f??x??0,f?x?在?0,a2?2a?上是减函数;若x??a2?2a,???,x??0,a2?2a?,
则f??x??0,f?x?在a2?2a,??上是增函数.
??(II)由(I)知,当a=2时,f(x)在(-1,+?)是增函数.当x?(0,即ln(x+1)>2x(x>0).又由(I)知,当a=3时,fx+2?)时,f(x)>f(0)=0,
?x?在[0,3)上是减函数;当x?(0,3)时,f(x) 3(ii)假设当n=k时结论成立,即 23.当n=k+1时,ln珑+1>(k)鼢珑k+1珑桫桫k+2鼢2+2k+3k+2k+2,即当n=k+1时有成立. 23,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何n?N*结论都
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