2008年NBA建模获奖论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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NBA赛程的分析与评价

摘 要

论文对于已经制定好的NBA赛程进行了统计分析，对已给数据进行筛选和处理，更好地对NBA赛程进行了定量的分析与评估。

问题一，考虑NBA整体赛事运行以及影响球队发挥的关键因素，我们结合题目中给出的数据，找出影响赛程的弊端因素，我们主要考虑三种因素分别为：背靠背场次，连续客场3场及以上，对手的平均实力。然后将赛程数字化，分析赛程对于各支球队的利弊，然后给出评价指标。

问题二，基于问题1的结论，求出赛程对每一支球队的利弊，在30支球队弊端因素值相比之下，得出2008-2009年度NBA常规赛安排，赛程对球队发挥最有利是：篮网；赛程对球队发挥最不利是：国王。火箭队的弊端因素值为0.636，排在第18位，这样的赛程安排对于火箭较为不利。

问题三，首先我们从赛程中找出赛3场比赛的球队，可以得出，在每一球队在与同部不同区的比赛中，分别选取同部另外2个分区中，选择2只球队进行赛3场，这样可以保证每个赛区主客场数量相同，保持一定的平衡性；在这种情况下，我们考虑到赛3场（2主场1客场或者2客场1主场）的球队有一只球队拥有一个主场优势，实力相对较大的球队相互赛三场可以最大限度消除这一优势，建立线性规划模型，使得总的弊端因素值差取得最小值，通过lingo编程求解出同部不同区的球队比赛的场次，西部的见表（11），东部的见表（12）。

在数据处理过程中使用MATLAB、LINGO等数学软件，使得处理数据的精确性很高。

关键词：层次分析法 0-1规划法 极差法 线性规划

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一、问题重述

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，比出最终结果，进入季候赛。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

二、问题分析

2.1对于问题1分析

在分析赛程对于一支球队的利弊问题，我们主要考虑：背靠背场次、连续客场3场及以上、对手的平均实力，这三种因素对于赛程的影响，然后将赛程数字化，分析各支球队赛程对于球队的利弊，然后给出评价指标。

1、背靠背指的是连续2次客场作战。

2、连续客场3场及以上因素。各球队分布于美国各地，之间的地理位置相对较远，所以在安排赛程的时候，如果一支球队要打客场比赛时候总会连续进行，连续3-6个客场都是很平常的，这样可以节省整个联赛的周期时间，以便于压缩比赛的时间，但会直接影响到球员的精力，所以一段连续客场作战，对于球队的战绩影响很大。

3、对手的平均实力因素。各个球队比赛的次数为恒定的82场，各队之间都有着或多或少的实力差距，若强队与弱队比赛，强队的胜率较大，但如果两队之间实力相当，则比赛双方的胜率也相差不多。所以在赛程安排中一个队所遇到的所有对手的平均实力，会直接影响到这支队伍在整个赛季的比赛结果。 2.2对于问题2分析

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基于问题1的结论，建立层次分析模型，求出每个因素的权重值，从而得出赛程对每一支球队的利弊，得出赛程对于所有球队中最有利和最不利的球队，然后，结合实际情况对火箭队的赛程进行评估。 2.3对于问题3分析

在东、西部相对独立下，每个球队要与同部不同区的每一只球队进行4场或者3场比赛，而每个球队总的主客场相同且同部3个区的球队间保持均衡。

首先，对于同部不同区的比赛中，统计出每一支球队赛3场比赛的场次。分析可以看出，在同部不同区的每一支球队，分别与其他2个分区，每个分区选取2支球队来进行3场（2主1客，1主2客）比赛。

然后，通过对弊端值差的分析，找出本赛季的赛程安排中选取赛3场的球队的方法，评价其是否合理，并作出我们认为合理的赛程安排方案。

三、模型假设

模型假设

1、不考虑球队人员的变动及伤病因素，即各队实力保持不变；

2、影响球队的战绩的因素只有背靠背场次，连续客场3次及以上，“对手的平均实力”，不考虑其他因素的影响；

3、各个球队对手的平均实力越近似，则说明赛程安排越公平合理； 的准确性、可行性；

5、影响比赛因素只考虑文中所列出的，对于地域因素以及气候、文化差异等实际因素不予考虑。

4、用2007—2008赛季NBA常规赛各球队战况确定各球队实力具有有一定

四、符号设定

： 球队i的胜率 wi si： 球队i的分差 b： 球队i的背靠背因素值

i li： 球队的连续3次及以上客场因素值 hi： 球队i的胜率因素值 pi： 球队i的分差因素值

i zi： 球队的综合实力 ri： 球队i的对手平均实力 qi： 球队i的分差因素值

ij cij： 球队i与球队的实力差值

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五、模型的建立与求解

5.1准备工作

5.1.1确定主要影响因素

由赛程安排可知，每支球队在主场和客场作战场次都是41场，但因为各队的主客场安排不一致，导致一些对在主场或是客场连续比赛，主场作战相对容易，而客场作战较为艰难，加之东西部球队分布于美国全国各地，连续客场需要不断奔波，这样更加影响到了球员们的精力，所以我们引入“背靠背”（即连续两场在不同客场迎战不同对手）和“连续客场3场及以上”的概念。

对于一直相对较弱的NBA球队来说，如果所以到的所有对手的平均实力较强，输掉比赛可能性更大，对于球队的士气影响也很大，相应在这一系列赛事中就会取得较差的成绩，所以我们考虑了“对手的平均实力”，在这里我们根据上一个赛季球队的排名进行数字化处理，根据每支球队在上一个赛季的胜率和分差以7:3的权重确定一支球队的综合实力，从而确定了一支球队在这个赛季所遇到的所有对手的平均实力。 5.1.2球队实力排名

为了得到每个球队实力之间量化排名，根据2007-2008赛季NBA常规赛分区排名按以下两个原则排名：

1、排名先后以球队胜率大小确定，胜率越大排名越靠前； 2、当球队间胜率相同时，球队的分差值越大的排名越靠前。 排名结果见表（1）：

排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 球队 凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 胜率 0.805 0.72 0.695 0.683 0.683 0.671 0.671 0.659 0.634 0.622 0.61 0.585 0.549 0.524 0.5 分差 10.2 7.4 7.3 5.3 4.8 5.1 4.7 6.9 5.5 4.5 3.7 2.2 -0.3 -0.4 2.9 排名 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 球队 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 胜率 0.5 0.488 0.463 0.451 0.439 0.415 0.402 0.39 0.317 0.28 0.28 0.268 0.268 0.244 0.183 分差 -0.89 0.399 -2.3 -1.8 -1.4 -5.1 -3.1 -4.3 -6.9 -6.6 -7.3 -6.2 -6.8 -8.8 -8.6 表（1） 每个球队实力排名表

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5.1.3数据统计

对NBA 2008-2009赛季赛程表进行数字化处理统计得出每支球队的背对背次数、连续客场3次及以上见表（2）：

球队 凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 背靠背 9 3 5 5 3 3 3 3 6 4 6 9 5 6 3 连续3次级以上客场 10 14 18 14 15 16 17 17 11 16 14 22 11 11 15 球队 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 背靠背 7 4 10 3 4 4 3 3 7 5 1 6 7 8 5 连续3次级以上客场 22 14 20 19 11 10 17 16 12 15 21 11 12 11 15 表（2） 每个球队背对背因素、连续客场3次及以上因素表

5.2问题一

通过极差法（公式（5.2.1））（matlab程序见附录1）量化得出背靠背、连续3次级以上客场因素值见表（3）：

bi?biminbi?bimax?bimin（5.2.1）

li?liminli?limax?limin 球队 凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭

背靠背因素值bi0.8889 0.2222 0.4444 0.4444 0.2222 0.2222 0.2222 连续客场3次 及以上li球队 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 - 7 -

背靠背因素值bi0.6667 0.3333 1 0.2222 0.3333 0.3333 0.2222 连续客场3次 及以上li0 0.3333 0.6667 0.3333 0.4167 0.5 0.5833 1 0.3333 0.8333 0.75 0.0833 0 0.5833

爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 0.2222 0.5556 0.3333 0.5556 0.8889 0.4444 0.5556 0.2222 0.5833 0.0833 0.5 0.3333 1 0.0833 0.0833 0.4167 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 0.2222 0.6667 0.4444 0 0.5556 0.6667 0.7778 0.4444 0.5 0.1667 0.4167 0.9167 0.0833 0.1667 0.0833 0.4167 表（3） 背靠背、连续3次级以上客场量化表

通过极差法（公式（5.2.2））（matlab程序见附录1）量化得出胜率、分差因素值见表（4）：

wi?wiminhi?wimax?wiminsi?siminpi?simax?simin（5.2.2）

球队 凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 胜率因素值hi 分差因素值pi 球队 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 胜率因素值hi 分差因素值pi 1 0.8633 0.8232 0.8039 0.8039 0.7846 0.7846 0.7653 0.7251 0.7058 0.6865 0.6463 0.5884 0.5482 0.5096 1 0.8511 0.8457 0.7394 0.7128 0.7287 0.7074 0.8245 0.75 0.6968 0.6543 0.5745 0.4415 0.4362 0.6117 0.5096 0.4904 0.4502 0.4309 0.4116 0.373 0.3521 0.3328 0.2154 0.1559 0.1559 0.1367 0.1367 0.0981 0 0.4101 0.4787 0.3351 0.3617 0.383 0.1862 0.2926 0.2287 0.0904 0.1064 0.0691 0.1277 0.0957 -0.0106 0 表（4） 胜率、分差量化表

通过公式（5.2.3）（matlab程序见附录2）得出各个球队的综合实力z2见表（5）：

zi?0.7?hi?0.3?pi球队

（5.2.3） 综合实力zi 综合实力zi - 8 -

球队

凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 1 0.8596 0.8299 0.7845 0.7766 0.7678 0.7614 0.7831 0.7326 0.7031 0.6768 0.6248 0.5443 0.5146 0.5402 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 0.4798 0.4869 0.4157 0.4101 0.403 0.317 0.3342 0.3016 0.1779 0.1411 0.1299 0.134 0.1244 0.0655 0 表（5） 综合实力表

5.3建立赛程评价指标

由公式5.2.4求出每个球队对手平均实力值见表（6）：

82?ujj?1ri?82球队 凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 （5.2.4）

对手平均实力ri0.4541 0.458 0.4891 0.4977 0.4871 0.4919 0.4998 0.489 0.4638 0.4993 0.4969 0.4925 0.467 0.4532 0.4767 球队 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 对手平均实力ri0.504 0.4761 0.5123 0.4842 0.4949 0.4705 0.4875 0.4849 0.4933 0.5056 0.5294 0.5325 0.5298 0.5217 0.511 表（6） 对手平均实力表

5.4确定各因素权重

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层次分析法

目标层 赛程安排利弊 准则层 背靠背 连续客场3次及以上 对手平均实力 方案层 A B

通过引入每两个因素对弊端指数影响的程度大小的比值得到成对比较矩阵如下：

?1A???1/5??1/5

5115?1??1??

2)?5即表示对手平均实力和连续3次客场及以上因素对弊端指数的影响其中A(1，3)?1即表示连续3次客场及以上因素和背靠背比赛因素对弊端指数的之比为5:1，A(2，影响之比为1:1。求出对比矩阵 的最大特征根为λ=3 ，对应的特征向量归一后为

T??（0.7143，0.1429，0.1429） 即3种因素在弊端指数中所占的权重，得到

??0.7143，??0.1429，??0.1429。（matlab程序见附录3）

定义一致性指标：CI???nn?1=0

平均随机一致性指标：RI=0.52 定义一致性比率：CR? 代入

CI <0.1 RIqi???r（matlab程序见i???bi???li可得弊端值表（7）

附录4）：

球队 弊端因素值qi - 10 - 球队 弊端因素值qi

凯尔特人 活塞 湖人 黄蜂 马刺 太阳 火箭 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 猛龙 0.6081 0.5477 0.6845 0.6286 0.5917 0.6124 0.636 0.6256 0.5693 0.6409 0.6493 0.8375 0.551 0.5591 0.5817 开拓者 76人 国王 老鹰 步行者 篮网 公牛 山猫 雄鹿 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火 0.8058 0.5865 0.8459 0.6531 0.5564 0.5169 0.6242 0.6056 0.6351 0.6523 0.6859 0.6354 0.6703 0.6678 0.6575 表（7） 弊端值表 5.5结果分析 5.5.1问题一

根据表（7）中的数据可知，每支球队的利弊影响是不同的，但是主要是自己的劣势对于赛程的影响。在本题目中，每支球队评价赛程的指标越小对球队影响越小，也就相对于其他的球队也越有优势。 5.5.2问题二

在30支球队弊端指数相比之下，得出2008-2009年度NBA常规赛完全赛程安排，赛程最有利是：篮网；赛程最不利是：国王。赛程安排对对火箭队弊端指数为0.636，排在第18位，这样的赛程安排对于火箭较为不利。 5.5.3问题三

每个区有5个队，每队与不同部的15个队的每队赛2场，总共比赛15?2?30场。由于一个赛季比赛82场，则与同部不同区10个队共比赛82?16?30?36场。

设：与x个队赛4场，与y个队赛3场。 则

4x?3y?36

x?y?10解得x=6,y=4。

即与同部不同区的10个队中，要与6个队赛4场，总共24场，其中主场12场客场12场；与4个队赛3场，总共赛12 场，其中主场6场，客场6场。

本题重点是如何选取与两个区10个队中哪4个队赛3场(其余6个队赛4场)。为了使各队在比赛安排上相对的公平，我们可以把每个球队与自己比赛3场的对手划分为一个单位，解出每个单位在各数量指标影响下的实力值，最终以确定目标函数（综合实力差值），来实现最合适的方法。

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5.5.4数据处理

通过对上个赛季赛程进行统计分析，得到同部不同区的球队之间的比赛场次，西部联盟见表（8），东部联盟见表（9），发现每个分区内的球队选择另外两个分区中的四个队，而且是每个分区各两队；每个分区内的球队在和选中的4个另外分区中的四个队个进行3场比赛。

i j 湖人 太阳 勇士 国王 快船 i j 湖人 太阳 勇士 国王 快船 i j 爵士 掘金 开拓者 森林狼 超音速 黄蜂 3 4 4 3 4 马刺 3 3 4 4 4 火箭 4 4 3 4 3 小牛 4 4 3 4 3 灰熊 4 3 4 3 4 黄蜂 4 3 4 4 3 马刺 3 4 4 3 4 火箭 4 3 4 3 4 小牛 3 4 3 4 4 灰熊 4 4 3 4 3 爵士 3 4 4 4 3 掘金 4 3 3 4 4 开拓者 4 4 3 3 4 森林狼 4 3 4 4 3 超音速 3 4 4 3 4 表（8）：西部联盟同部不同区球队的实际比赛场次

i j 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 i j 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火

凯尔特人 4 3 4 3 4 活塞 3 4 3 4 4 猛龙 4 3 4 4 3 骑士 3 4 4 3 4 - 12 -

76人 3 4 3 4 4 步行者 4 3 4 4 3 篮网 3 4 4 3 4 公牛 4 4 3 3 4 尼克斯 4 4 3 4 3 雄鹿 4 3 4 4 3

i j 凯尔特人 猛龙 76人 篮网 尼克斯 活塞 4 3 3 4 4 骑士 4 3 4 3 4 步行者 4 4 4 3 3 公牛 3 4 4 4 3 雄鹿 3 4 3 4 4 表（9）：东部联盟同部不同区球队的实际比赛场次 5.5.5建立模型

根据资料可知，NBA东部和西部各有15只球队，各有3个赛区，每个赛区有5只球队；从一只球队整个赛程82场比赛来说，跟同部的球队比赛场次是52场（26个主场，26个客场），一只球队同部不同区的比赛场次有36场，包括18个主场，18个客场。

针对西部联盟

记 i?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15、j?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15分别为湖人、太阳、勇士、国王、快船、爵士、掘金、开拓者、森林狼、超音速、黄蜂马

c刺、火箭、小牛、灰熊的代号；记球队i与球队j弊端值差为ij，即有球队之间的差值表见表（10）； i j 爵士 湖人 太阳 勇士 国王 快船

0.0589 0.0132 0.2119 0.2203 0.0603 掘金 0.0352 0.0369 0.1882 0.1966 0.0366 开拓者 0.1213 0.1934 0.0317 0.0401 0.1199 森林狼 0.0142 0.0579 0.1672 0.1756 0.0156 超音速 0.0167 0.0554 0.1697 0.1781 0.0181 黄蜂 0.0559 0.0162 0.2089 0.2173 0.0573 马刺 0.0928 0.0207 0.2458 0.2542 0.0942 火箭 0.0485 0.0236 0.2015 0.2099 0.0499 小牛 0.0436 0.0285 0.1966 0.205 0.045 灰熊 0.0491 0.023 0.2021 0.2105 0.0505 i j 爵士 掘金 开拓者 森林狼 超音速 湖人 0.0589 0.0352 0.1213 0.0142 0.0167 太阳 0.0132 0.0369 0.1934 0.0579 0.0554 勇士 0.2119 0.1882 0.0317 0.1672 0.1697 国王 0.2203 0.1966 0.0401 0.1756 0.1781 快船 0.0603 0.0366 0.1199 0.0156 0.0181 黄蜂 0.003 0.0207 0.1772 0.0417 0.0392 马刺 0.0339 0.0576 0.2141 0.0786 0.0761 火箭 0.0104 0.0133 0.1698 0.0343 0.0318 小牛 0.0153 0.0084 0.1649 0.0294 0.0269 灰熊 0.0098 0.0139 0.1704 0.0349 0.0324 i j 黄蜂 马刺 火箭 小牛 灰熊 湖人 0.0559 0.0928 0.0485 0.0436 0.0491 太阳 0.0162 0.0207 0.0236 0.0285 0.023 勇士 0.2089 0.2458 0.2015 0.1966 0.2021 国王 0.2173 0.2542 0.2099 0.205 0.2105 快船 0.0573 0.0942 0.0499 0.045 0.0505 爵士 0.003 0.0339 0.0104 0.0153 0.0098 掘金 0.0207 0.0576 0.0133 0.0084 0.0139 开拓者 0.1772 0.2141 0.1698 0.1649 0.1704 森林狼 0.0417 0.0786 0.0343 0.0294 0.0349 超音速 0.0392 0.0761 0.0318 0.0269 0.0324 - 13 -

表（10） 西部联盟三区15支球队两两之间的弊端值差表

引入0—1变量

xijx?1x?0，若球队i与球队j进行3场比赛，记ij，否则记ij，根

据同部中每个球队，应该满足的几个约束条件：

每个分区内的球队选择另外两个分区中的四个队，为保证球队均衡应在每个区中各选择两个队。每个球队对一个分区只能选择两个球队。

即对于i?1,2,3,4,5

应有?xij?2、?xij?2

j?6j?111015对于i?6,7,8,9,10

应有?xij?2,、?xij?2

j?1j?11515对于i?11,12,13,14,15

应有?xij?2、?xij?2

j?1j?6510对于j?1,2,3,4,5

应有?xij?2、?xij?2

i?6i?111015对于j?6,7,8,9,10

应有?xij?2、?xij?2

i?1i?11515对于j?11,12,13,14,15

应有?xij?2、?xij?2

510i?1i?6cxcx?0当球队i选择球队j时ijij表示他们的实力差值，否则ijij，于是总的弊端值差可以表示为

T=??cij?xij???cij?xij???cij?xij???cij?xiji=1j=6i=6j=1i=6j=11i=11j=151510510151510，

这也就是该问题的目标函数。

综上所述，这个问题的0—1规划模型可写作：

Min T=??cij?xij???cij?xij???cij?xij???cij?xiji=1j=6i=6j=1i=6j=11i=11j=151510510151510

- 14 -

?102，3，4，5??xij?2,i?1，?j?6?15??xij?2,i?1,2,3,4,5?j?11?5??xij?2,i?6,7,8,9,10?j?1?15??xij?2,i?6,7,8,9,10?j?11?5??x?2,i?11,12,13,14,15?j?1ij?10?x?2,i?11,12,13,14,15ij??j?6??10s.t. ??xij?2,j?1,2,3,4,5?i?6?15??xij?2,j?1,2,3,4,5?i?11?5??xij?2,j?6,7,8,9,10?i?1 ?15??xij?2,j?6,7,8,9,10?i?11?5??xij?2,j?11,12,13,14,15?i?1?10??xij?2,j?11,12,13,14,15?i?6?x?0,1?ij?????

将表（10）中的数据代人这一模型，并输入lingo软件进行求解（lingo程序见附录5）得到西部联盟同部不同区球队的比赛场次见表（11），总的实力差值2.273000。 比赛场次 湖人 太阳 勇士 国王 快船 爵士 4 4 4 3 3 掘金 4 4 4 4 3 开拓者 3 3 4 4 4 森林狼 3 3 3 4 4 超音速 4 3 3 4 4

比赛场次 湖人 太阳 勇士 国王 快船 黄蜂 4 4 3 4 4 马刺 4 4 4 4 3 火箭 4 3 3 3 3 小牛 3 3 4 4 4 灰熊 3 3 4 4 4

比赛场次

黄蜂 马刺 - 15 -

火箭 小牛 灰熊

爵士 掘金 开拓者 森林狼 超音速 4 3 3 3 4 4 4 4 4 3 4 4 3 4 4 3 3 4 4 3 3 3 4 4 4 表（11）：西部联盟同部不同区球队的比赛场次 针对东部联盟

记 i?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15、j?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 分别为魔术、奇才、老鹰、山猫、热火、凯尔特人、猛龙、76人、篮网、尼克斯、

c活塞、骑士、步行者、公牛、雄鹿的代号；记球队i与球队j弊端值差为ij，即有球队之间的差值表见表（12）： i j 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 凯尔特人 0.0388 0.049 0.045 0.0025 0.0494 猛龙 0.0124 0.0226 0.0714 0.0239 0.0758 76人 0.0172 0.0274 0.0666 0.0191 0.071 篮网 0.0524 0.0422 0.1362 0.0887 0.1406 尼克斯 0.083 0.0932 0.0008 0.0467 0.0052 活塞 0.0216 0.0114 0.1054 0.0579 0.1098 骑士 0.0183 0.0081 0.1021 0.0546 0.1065 步行者 0.0129 0.0027 0.0967 0.0492 0.1011 公牛 0.0549 0.0651 0.0289 0.0186 0.0333 雄鹿 0.0658 0.076 0.018 0.0295 0.0224

i j 凯尔特人 猛龙 76人 篮网 尼克斯 魔术 0.0388 0.0124 0.0172 0.0524 0.083 奇才 0.049 0.0226 0.0274 0.0422 0.0932 老鹰 0.045 0.0714 0.0666 0.1362 0.0008 山猫 0.0025 0.0239 0.0191 0.0887 0.0467 热火 0.0494 0.0758 0.071 0.1406 0.0052 活塞 0.0604 0.034 0.0388 0.0308 0.1046 骑士 0.0571 0.0307 0.0355 0.0341 0.1013 步行者 0.0517 0.0253 0.0301 0.0395 0.0959 公牛 0.0161 0.0425 0.0377 0.1073 0.0281 雄鹿 0.027 0.0534 0.0486 0.1182 0.0172

i j 活塞 骑士 步行者 公牛 雄鹿 魔术 0.0216 0.0183 0.0129 0.0549 0.0658 奇才 0.0114 0.0081 0.0027 0.0651 0.076 老鹰 0.1054 0.1021 0.0967 0.0289 0.018 山猫 0.0579 0.0546 0.0492 0.0186 0.0295 热火 0.1098 0.1065 0.1011 0.0333 0.0224 凯尔特人 0.0604 0.0571 0.0517 0.0161 0.027 猛龙 0.034 0.0307 0.0253 0.0425 0.0534 76人 0.0388 0.0355 0.0301 0.0377 0.0486 篮网 0.0308 0.0341 0.0395 0.1073 0.1182 尼克斯 0.1046 0.1013 0.0959 0.0281 0.0172 表（12） 东部联盟三区15支球队两两之间的弊端值差表

同理，将表9中的数据代人这一模型，并输入lingo软件进行求解,（lingo程序见

附录6）得到东部联盟同部不同区球队的比赛场次见表（13），总的实力差值0.8118000。

- 16 -

比赛场次 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 比赛场次 魔术 奇才 老鹰 山猫 热火 比赛场次 凯尔特人 猛龙 76人 篮网 尼克斯 凯尔特人 4 4 3 4 3 活塞 4 4 3 3 4 活塞 4 4 4 3 3 猛龙 4 4 4 3 3 骑士 4 4 3 4 3 骑士 4 4 4 3 3 76人 4 4 3 3 4 步行者 4 4 4 3 3 步行者 3 3 4 4 4 篮网 3 3 4 4 4 公牛 3 3 4 4 4 公牛 3 4 3 4 4 尼克斯 3 3 4 4 4 雄鹿 3 3 4 4 4 雄鹿 4 3 3 4 4 表（13）：东部联盟同部不同区球队的比赛场次

5.5.6结果分析

通过表（11），表（13）可以看出比赛三场的大致成斜对角线，也就是这个区实力较强的球队与其他区实力较弱的球队比赛3赛。和我们的分析吻合。东部联盟的弊端值差为2.273000，西部联盟的为0.8118000.

六、模型评价及改进

6.1模型优缺点： 6.1.1模型的优点

在建立数学模型的过程中，把赛程对球队的各影响因素，背靠背场次，连续客场3场及以上，对手的平均实力因素数字化并转化为相应的权重，使问题变的简单和清晰化，设计的解法考虑的限制条件较少，简单明了，具有一定的通用性；模型在实际运用中，相对与每个球队是合理的，也是较普遍的。

在数据处理过程中使用MATLAB、LINGO等数学软件，使得处理数据的精确性很高。 6.1.2模型的缺点

- 17 -

模型的缺点是每个球队赛程不利因素有很多，这里没有全面考虑进去。 6.2模型的改进：

对于球队综合实力的取值，可以根据球队以往战绩来进行分析，综合各方面因素等多种情况进行权衡。

NBA球队赛程的安排有更多的考虑因素，我们只是提供自己的安排方法。

七、参考文献

[1] 韩中庚，数学建模方法及其运用，北京：高等教育出版社，2005

[2] 姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003 [3] 新浪网，NBA常规赛分区排名，http://sports.sina.com.cn/nba/，2008

八、附件

附件1

Wi=[0.805 0.72 0.695 0.683 0.683 0.671 0.671 0.659 0.634 0.622 0.61 0.585 0.549... 0.524 0.5 0.5 0.488 0.463 0.451 0.439 0.415 0.402 0.39 0.317 0.28 0.28 0.268 0.268... 0.244 0.183];

Hi=(Wi-0.183)/(0.805-0.183) Hi =

Columns 1 through 6

1.0000 0.8633 0.8232 0.8039 0.8039 0.7846

Columns 7 through 12

0.7846 0.7653 0.7251 0.7058 0.6865 0.6463

Columns 13 through 18

0.5884 0.5482 0.5096 0.5096 0.4904 0.4502

Columns 19 through 24

0.4309 0.4116 0.3730 0.3521 0.3328 0.2154

Columns 25 through 30

0.1559 0.1559 0.1367 0.1367 0.0981 0

附件2

- 18 -

Hi=[1 0.8633 0.8232 0.8039 0.8039 0.7846 0.7846 0.7653 0.7251... 0.7058 0.6865 0.6463 0.5884 0.5482 0.5096 0.5096 0.4904 0.4502]; Pi=[1 0.8511 0.8457 0.7394 0.7128 0.7287 0.7074 0.8245 0.75 0.6968... 0.6543 0.5745 0.4415 0.4362 0.6117 0.4101 0.4787 0.3351]; Zi=0.7* Hi+0.3*Pi Zi =

Columns 1 through 6

1.0000 0.8596 0.8299 0.7845 0.7766 0.7678

Columns 7 through 12

0.7614 0.7831 0.7326 0.7031 0.6768 0.6248

Columns 13 through 18

0.5443 0.5146 0.5402 0.4798 0.4869 0.4157

附件3

[x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r));

max_lumda_A=lumda(n,n) %最大特征根

max_x_A=x(:,n); %最大特征根所对应的特征向量

max_lumda_A =

3

max_x_A =

0.9623 0.1925 0.1925

附件4

ri=[0.4541 0.458 0.4891 0.4977 0.4871 0.4919 0.4998 0.489 0.4638 0.4993 0.4969 0.4925 0.467

- 19 -

0.4532 0.4767...

0.504 0.4761 0.5123 0.4842 0.4949 0.4705 0.4875 0.4849 0.4933 0.5056 0.5294 0.5325 0.5298 0.5217 0.511];

bi=[0.8889 0.2222 0.4444 0.4444 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.5556 0.3333 0.5556 0.888 0.4444 0.5556...

0.2222 0.6667 0.3333 1 0.2222 0.3333 0.3333 0.2222 0.2222 0.6667 0.4444 0 0.5556 0.6667 0.7778 0.4444];

li=[0 0.3333 0.6667 0.3333 0.4167 0.5 0.5833 0.5833 0.0833 0.5 0.3333 1 0.0833 0.0833 0.4167 1 0.3333 0.8333...

0.75 0.0833 0 0.5833 0.5 0.1667 0.4167 0.9167 0.0833 0.1667 0.0833 0.4167]; qi=0.7143* ri+0.1429*bi+0.1429*li qi =

Columns 1 through 6

0.4514 0.4065 0.5081 0.4666 0.4392 0.4546

Columns 7 through 12

0.4721 0.4644 0.4226 0.4757 0.4820 0.6216

Columns 13 through 18

0.4090 0.4150 0.4318 0.5982 0.4353 0.6279

Columns 19 through 24

0.4848 0.4130 0.3837 0.4633 0.4496 0.4715

Columns 25 through 30

0.4842 0.5091 0.4717 0.4975 0.4957 0.4881

附件5

min=x16*0.0589+x17*0.0352+x18*0.1213+x19*0.0142+x110*0.0167+x111*0.0559+x112*0.0928+x113*0.0485+x114*0.0436+x115*0.0491

+x26*0.0132+x27*0.0369+x28*0.1934+x29*0.0579+x210*0.0554+x211*0.0162+x212*0.0207+x213*0.0236+x214*0.0285+x215*0.0230

+x36*0.2119+x37*0.1882+x38*0.0317+x39*0.1672+x310*0.1697+x311*0.2089+x312*0.2458+x313*0.2015+x314*0.1966+x315*0.2021

+x46*0.2203+x47*0.1966+x48*0.0401+x49*0.1756+x410*0.1781+x411*0.2173+x412*0.2542+x413*0.2

- 20 -

099+x414*0.2050+x415*0.2105

+x56*0.0603+x57*0.0366+x58*0.1199+x59*0.0156+x510*0.0181+x511*0.0573+x512*0.0942+x513*0.0499+x514*0.0450+x515*0.0505

+x611*0.0030+x612*0.0339+x613*0.0104+x614*0.0153+x615*0.0098

+x711*0.0207+x712*0.0576+x713*0.0133+x714*0.0084+x715*0.0139

+x811*0.1772+x812*0.2141+x813*0.1698+x814*0.1649+x815*0.1704

+x911*0.0417+x912*0.0786+x913*0.0343+x914*0.0294+x915*0.0349

+x1011*0.0392+x1012*0.0761+x1013*0.0318+x1014*0.0269+x1015*0.0324;

x16+x17+x18+x19+x110=2; x111+x112+x113+x114+x115=2; x16+x26+x36+x46+x56=2; x611+x612+x613+x614+x615=2;

x26+x27+x28+x29+x210=2; x211+x212+x213+x214+x215=2; x17+x27+x37+x47+x57=2; x711+x712+x713+x714+x715=2;

x36+x37+x38+x39+x310=2; x311+x312+x313+x314+x315=2; x18+x28+x38+x48+x58=2; x811+x812+x813+x814+x815=2;

x46+x47+x48+x49+x410=2; x411+x412+x413+x414+x415=2; x19+x29+x39+x49+x59=2; x911+x912+x913+x914+x915=2;

x56+x57+x58+x59+x510=2; x511+x512+x513+x514+x515=2; x110+x210+x310+x410+x510=2; x1011+x1012+x1013+x1014+x1015=2;

x111+x211+x311+x411+x511=2; x611+x711+x811+x911+x1011=2;

x112+x212+x312+x412+x512=2; x612+x712+x812+x912+x1012=2;

x113+x213+x313+x413+x513=2; x613+x713+x813+x913+x1013=2;

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- 21 -

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Global optimal solution found.

Objective value: 2.273000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

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- 22 -

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30 0.000000 0.000000 31 0.000000 0.000000

附件6

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- 25 -

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Global optimal solution found.

Objective value: 0.8118000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 14

Variable Value Reduced Cost

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- 26 -

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17 0.000000 0.000000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.000000 22 0.000000 0.000000 23 0.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 27 0.000000 28 0.000000 29 0.000000 30 0.000000 31 0.000000 - 29 -

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