第20章《四边形》常考题集(24)：20.3 矩形 菱形 正方形

第20章《四边形》常考题集（24）：20.3 矩形 菱

形 正方形

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第20章《四边形》常考题集（24）：20.3 矩形 菱

形 正方形

解答题 331．（2003?青岛）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．

332．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．

（1）写出点B的坐标；

（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，求点D的坐标； （3）如果将（2）中的线段CD向下平移2个单位，得到线段C′D′，试计算四边形OAD′C′的面积．

333．（2012?广西模拟）如图，已知E、F分别为矩形ABCD的边BA、DC的延长线上的点，且AE=AB，CF=CD，连接EF分别交AD、BC于点G、H．请你找出图中与DG相等的线段，并加以证明．

334．如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3，AB=．

（1）求证：△AOB为等边三角形；

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www.jyeoo.com （2）求BF的长．

335．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．

336．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AD=DE，AF⊥DE，垂足为F． 求证：AF=AB．

337．（2010?安顺）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

338．（2009?衡阳）如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

339．（2009?安顺）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF． （1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

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340．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

341．（2008?宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF；

（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

342．（2008?南京）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形．

343．（2007?荆州）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为

．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _________ ．

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www.jyeoo.com （2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _________ ．

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为 _________ 时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是 _________ ；当点B的移动距离为 _________ 时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是 _________ ．（图3、图4用于探究） 344．（2006?济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

345．（2006?淮安）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△EDB；

（2）只需添加一个条件，即 _________ 等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

346．（2006?成都）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF=CE；

（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

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www.jyeoo.com 347．（2004?贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．

（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长．

348．（2011?古冶区一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

349．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．

350．（2009?苏州一模）如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F． （1）试说明四边形AECF是平行四边形；

（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；

（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．

351．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．

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www.jyeoo.com （1）求证：四边形ADFC是平行四边形；

（2）若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒， ①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明你的理由；

②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

352．（2008?莆田）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA+PC=PB+PD，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA、PB、PC和PD又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论． 答：对图（2）的探究结论为 _________ ； 对图（3）的探究结论为 _________ ；

2

2

2

2

2

2

2

2

证明：如图（2） 353．（2010?大田县）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF． （1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E． ①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； （2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

354．（2009?湘潭）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE．

（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若延长BG交DE于点H，求证：BH⊥DE．

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355．（2009?天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论； （2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．

356．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；

若∠FCN的大小发生改变，请举例说明． 357．（2009?南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F． 求证：AF=BF+EF．

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358．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 359．（2009?佛山）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．

360．（2008?黄冈）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．

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第20章《四边形》常考题集（24）：20.3 矩形 菱

形 正方形

参考答案与试题解析

解答题 331．（2003?青岛）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．

考点： 矩形的性质；全等三角形的判定． 专题： 探究型． 分析： 本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解． 解答： 解：△ABF≌△DEA． 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=90°，AB=DC． ∵DE⊥AG于E，DE=DC， ∴∠DEG=90°，AB=DE． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥CB． ∴∠DAE=∠AFB．∠AED=∠ABF=90°， ∴△ABF≌△DEA（AAS）． 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 332．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．

（1）写出点B的坐标；

（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，求点D的坐标； （3）如果将（2）中的线段CD向下平移2个单位，得到线段C′D′，试计算四边形OAD′C′的面积．

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www.jyeoo.com ∴AD⊥BC，故∠ADB=90° ∵BE⊥AE， ∴∠AEB=90°，∠DAE=90°， 故四边形AEBD是矩形． ∴AB=DE． 点评： 本题考查的是角平分线，等腰三角形的性质及矩形的判定定理．有一定的综合性． 339．（2009?安顺）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF． （1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论； （证法2：可根据AF平行且相等于DC，得出四边形ADCF是平行四边形，从而证得DE是△BCF的中位线，由此得出D是BC中点） （2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形． 解答： （1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE． ∵AF∥BC， ∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE． ∴△AFE≌△DBE． ∴AF=BD． ∵AF=DC， ∴BD=DC． 即：D是BC的中点．（4分） （2）解：四边形ADCF是矩形； 证明：∵AF=DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC即∠ADC=90°． ∴平行四边形ADCF是矩形．（8分） 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识． 340．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

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考点： 矩形的判定． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证． （2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证 解答： （1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO，（2分） 同理，FO=CO，（3分） ∴EO=FO．（4分） （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分） ∵EO=FO，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形，（6分） ∵CF平分∠BCA的外角， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠2+∠4=×180°=90°． 即∠ECF=90度，（7分） ∴四边形AECF是矩形．（8分） 点评： 本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 341．（2008?宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB=CF；

（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF； （2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE， ∵E为BC的中点， ∴EB=EC， ∴△ABE≌△FCE， ∴AB=CF． （2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形． 理由如下：∵AB∥CF，AB=CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∵BC=AF， ∴四边形ABFC是矩形． 点评： 此题主要考查了学生对全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况． 342．（2008?南京）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件． （2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 解答： 证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF， ∴BF=CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC． 在△ABF和△DCE中， ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠B=∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴四边形ABCD是矩形． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． 343．（2007?荆州）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 是平行四边形，根据两组对边分别相等． ． （2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 是平行四边形，根据一组对边平行且相等． ． （3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为 由是 有一直角的平行四边形是矩形 ；当点B的移动距离为 角线互相垂直平分的四边形是菱形 ．（图3、图4用于探究） 时，四边形ABC1D1为矩形，其理

时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是 对

考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题： 综合题；动点型． 分析： （1）根据两组对边分别相等，可判定四边形ABCD是平行四边形； （2）根据一组对边平行且相等，四边形ABC1D1是平行四边形； （3）当点B的移动距离为时，∠C1BB1=60°，则∠ABC1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC1D1为菱形． 解答： 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，根据两组对边分别相等； （2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等； （3）当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为矩形，根据有一直角的平行四边形是矩形； 当点B的移动距离为时，四边形ABC1D1为菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 点评： 此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质． 344．（2006?济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

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请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

考点： 矩形的判定． 专题： 方案型． 分析： （1）和题目给出的方法是相同的，只不过②和③换了换位置而已； （2）可先把四边形沿对角线分成两个三角形，然后再按照题目给出的方法进行拼接． 解答： 解：（1）如图所示： （2）如图所示： 点评： 本题主要考查了对于矩形的理解以及对于图象的认识能力．读懂题意是本题的关键． 345．（2006?淮安）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△EDB；

（2）只需添加一个条件，即 AB∥CD 等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

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考点： 矩形的判定；全等三角形的判定． 专题： 证明题；开放型． 分析： （1）题中条件给的很充分，可根据SSS直接判定三角形全等． （2）本小题应先证明四边形ABCD为平行四边形，再通过△ABD≌△EDB得到∠A=∠E=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形． 解答： 证明：（1）∵AB=CD=ED，AD=EB，BD=BD， ∴△ABD≌△EDB； （2）根据矩形的判定得，可添加AB∥CD； ∵AB=CD=ED，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵BE⊥DE， ∴∠E=90°． ∵△ABD≌△EDB， ∴∠A=∠E=90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 点评： （1）本题考查三角形全等的判定方法； （2）是一道考查矩形的识别方法的开放性题目，答案可有多种． 346．（2006?成都）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF． （1）求证：AF=CE；

（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE． （2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形． 解答： （1）证明：在△ADF和△CDE中， ∵AF∥BE， ∴∠FAD=∠ECD． 又∵D是AC的中点， ∴AD=CD． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∵∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE． ∴AF=CE． （2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形． 证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AC=EF， ∴平行四边形AFCE是矩形． 点评： 两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明． 347．（2004?贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．

（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长．

考点： 矩形的判定；三角形中位线定理． 专题： 压轴题． 分析： （1）由A1D1分别是△ABD的中位线，B1C1是△CBD的中位线知，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，故四边形A1B1C1D1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1知，四边形A1B1C1D1是矩形； （2）由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，故矩形A1B1C1D1的面积为12，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，为6； （3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为； （4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长，再求得它的周长． 解答： （1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中位线 ∴A1D1∥BD，A1D1=BD， 同理：B1C1∥BD，B1C1=BD ∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．

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www.jyeoo.com ∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1， ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90° ∴四边形A1B1C1D1是矩形； （2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3， 得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6； （3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 故四边形AnBnCnDn的面积为 （4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3． ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1 ∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则解得∴ ， ； ∴矩形A5B5C5D5的周长=方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 22=（矩形A5B5C5D5的周长）/（矩形A1B1C1D1的周长） 即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）：14 ∴矩形A5B5C5D5的周长=． 22点评： 本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解． 348．（2011?古冶区一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；探究型． 分析： （1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形． 解答： 证明： ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com （1）∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ， ∴△AEF≌△DEC， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形． ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90° ∵AF=BD， ∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识． 349．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．

考点： 矩形的判定；菱形的性质． 专题： 证明题． 分析： 根据矩形的判定定理，首先可证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得∠E=90°，即可证明平行四边形OCED是矩形． 解答： 解：是矩形．（1分） 理由：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴DE⊥CE， ∴∠E=90°， ∴平行四边形OCED是矩形．（7分） 点评： 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 350．（2009?苏州一模）如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F． （1）试说明四边形AECF是平行四边形；

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www.jyeoo.com （2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；

（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．

考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题： 应用题． 分析： （1）平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为EF过AC的中点O，通过三角形全等证明AE=CF，可选择利用“对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决． （2）“对角线平分且垂直的平行四边形是菱形”判定菱形．∵四边形AECF是平行四边形 ∴EF与AC互相平分 ∵EF与AC垂直 ∴四边形AECF是菱形 （3）“对角线平分且相等的平行四边形是矩形”判定矩形． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC∥AD ∴AE∥CF ∴∠OAE=∠OCF ∵点O是AC的中点 ∴OA=OC 在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF ∴△AOE≌△COF ∴AE=CF ∵AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形 （2）∵四边形AECF是平行四边形 ∴EF与AC互相平分 ∵EF与AC垂直 ∴四边形AECF是菱形 （3）当EF平分AC且等于AC时，四边形AECF是矩形． 点评： 考查平行四边形、菱形、矩形的判定． 351．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．

（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；

（2）若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒， ①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明你的理由；

②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

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考点： 矩形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题： 证明题；动点型． 分析： （1）因为△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形所以AC=DF，又∠ACD=∠FDE=60°，可得AC∥DF，所以四边形ADFC是平行四边形 （2）此题要注意是菱形的判定和矩形的判定原则． 解答： （1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形． ∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°（2分） ∴AC∥DF（3分） ∴四边形ADFC是平行四边形（4分） （2）解：①当t=3秒时，?ADFC是菱形（5分） 此时B与D重合，∴AD=DF（7分） ∴?ADFC是菱形（8分） ②当t=13秒时，?ADFC是矩形（9分） 此时B与E重合，∴AF=CD，∴?ADFC是矩形（10分） ∴∠CFD=90°，CF=∴S矩形ADFC=10×10=100cm（12分） 2（11分） 点评： 此题把平行四边形、菱形和矩形的判定都用于其中，可以让学生在练习中加以区分、训练． ?2010-2014 菁优网

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2

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www.jyeoo.com 352．（2008?莆田）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA+PC=PB+PD，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA、PB、PC和PD又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．

2222

答：对图（2）的探究结论为 PA+PC=PB+PD ；

2222

对图（3）的探究结论为 PA+PC=PB+PD ；

2

2

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2

2

证明：如图（2） 考点： 矩形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 2222分析： 结论均是PA+PC=PB+PD，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等． 根据矩形和直角三角形的性质，（2）如果过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，22222222Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA，PC，PB，PD，然后我们可得出PA+PC与PB+PD，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现2222PA+PC=PB+PD． （3）如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，易证． 解答： 解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2． （1）如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD， ∴MN⊥BC； 222222∵在Rt△AMP中，PA=PM+MA，在Rt△BNP中，PB=PN+BN， 222222在Rt△DMP中，PD=DM+PM，在Rt△CNP中，PC=PN+NC， 222222∴PA+PC=PM+MA+PN+NC， 222222PB+PD=PM+DM+BN+PN， ∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC， ∴四边形MNCD是矩形， ∴MD=NC，同理AM=BN， ∴PM+MA+PN+NC=PM+DM+BN+PN 2222即PA+PC=PB+PD． （2）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，

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22222222菁优网

www.jyeoo.com ∴PQ⊥AD， 222222∵在Rt△AOP中，PA=AO+PO，在Rt△PQB中，PB=PQ+QB， 222222在Rt△POD中，PD=DO+PO，在Rt△CQP中，PC=PQ+QC， 222222∴PA+PC=PO+OA+PQ+QC， 222222PB+PD=PQ+QB+DO+PO， ∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC， ∴四边形OQCD是矩形， ∴OD=QC，同理AO=BQ， ∴PA+PC=PB+PD． 点评： 本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法． 353．（2010?大田县）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF． （1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E． ①求证：DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； （2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

2222

考点： 正方形的性质；线段垂直平分线的性质． 专题： 压轴题；动点型． 分析： （1）由正方形的性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故有PA=PG，PC=CF，易得PA=EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA； （2）同（1）证得DF=EF，三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE． 解答： 解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q， ①∵AC是正方形ABCD对角线， ∴∠QAP=∠APQ=45°， ∴AQ=PQ， ∵AB=QF， ∴BQ=PF， ∵PE⊥PB， ∴∠QPB+∠FPE=90°， ∵∠QBP+∠QPB=90°， ∴∠QBP=∠FPE， ∵∠BQP=∠PFE=90°， ∴△BQP≌△PFE， ∴QP=EF， ∵AQ=DF， ∴DF=EF； ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ②如图2，过点P作PG⊥AD． ∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°， ∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形， ∵四边形DFPG为矩形， ∴PA=PG，PC=CF， ∵PG=DF，DF=EF， ∴PA=EF， ∴PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA， 即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA； （2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE． 如图3： ①∵PB⊥PE，BC⊥CE， ∴B、P、C、E四点共圆， ∴∠PEC=∠PBC， 在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边， ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴∠PBC=∠PDC， ∴∠PEC=∠PDC， ∵PF⊥DE， ∴DF=EF； ②同理：PA=PG=DF=EF，PC=CF， ∴PA=EF=（CE+CF）=CE+CF=CE+PC 即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC=CE． 点评： 本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、线段垂直平分线的性质、三角形相似的条件和性质进行有条理的思考和表达能力，还考查按要求画图能力． 354．（2009?湘潭）如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG，DE．

（1）观察图形，猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若延长BG交DE于点H，求证：BH⊥DE．

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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应边相等，所以BG=DE． （2）根据全等三角形的对应角相等，得到∠CBG=∠CDE，再根据角之间的关系可得到∠DHB=∠BCG=90°即BH⊥DE． 解答： （1）解：猜想：BG=DE；（1分） ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形， ∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE， ∴△BCG≌△DCE（SAS），（3分） ∴BG=DE； ∴∠CBG=∠CDE， ∵∠CBG+∠BGC=90°，∠CDE+∠CED=90°， ∴∠BGC=∠CED， ∴∠BHE=∠BCD=90°， ∴BG⊥DE； （2）证明：在△BCG与△DHG中， 由（1）得∠CBG=∠CDE，（4分） ∠CGB=∠DGH，（5分） ∴∠DHB=∠BCG=90°， ∴BH⊥DE．（6分） 点评： 此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的理解及掌握情况． 355．（2009?天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论； （2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 分析： 根据正方形的性质可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质，BE=AF，AE=DF，得出BE﹣DF=EF； 同理可得出图（2）DF﹣BE=EF；图（3）中的DF+BE=EF． 解答： 解：（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE﹣DF=EF； 在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF﹣BE=EF； 在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF． （2）对图①中结论证明如下： ∵BE⊥PA，DF⊥PA， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=90°， 又∵∠AFD=90°， ∴∠ADF+∠DAF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∵在△BAE和△ADF中， ， ∴△BAE≌△ADF（AAS）， ∴BE=AF，AE=DF， ∵AF﹣AE=EF， ∴BE﹣DF=EF． 点评： 主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题． 356．（2009?宁德）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由

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www.jyeoo.com B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；

若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 压轴题；动点型． 分析： （1）根据三角形判定方法进行证明即可． （2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了． （3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD， ∴∠BAE=∠DAG， ∴△BAE≌△DAG． （2）解：∠FCN=45°， 理由是：作FH⊥MN于H， ∵∠AEF=∠ABE=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠FEH=∠BAE， 又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°， ∴△EFH≌△ABE， ∴FH=BE，EH=AB=BC， ∴CH=BE=FH， ∵∠FHC=90°， ∴∠FCN=45°． （3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变， 理由是：作FH⊥MN于H， 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°， 结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG， 又∵G在射线CD上， ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°， ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE， ∴EH=AD=BC=b， ∴CH=BE， ∴==； ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 在Rt△FEH中，tan∠FCN===， ∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=． 点评： 本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例． 357．（2009?南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F． 求证：AF=BF+EF．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： 因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF． 解答： 证明：∵ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°（1分） ∵DE⊥AG， ∴∠DEG=∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠ADE=∠BAF．（2分） ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEG=∠AED．（3分） 在△ABF与△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE（AAS）．（4分） ∴BF=AE．（5分） ∵AF=AE+EF， ∴AF=BF+EF．（6分） 点评： 此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．

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www.jyeoo.com 358．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． （2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． 解答： 解：（1）正确．（1分） 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．（2分） ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA），（5分） ∴AE=EF．（6分） （2）正确．（7分） 证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN=CE，连接NE．（8分） ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）（10分） ∴AE=EF．（11分） 点评： 此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况． 359．（2009?佛山）如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 本题是基础题，先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解． 解答： 解：∵CE⊥DF， ∴∠CDF+∠DCE=90°， 又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°， ∴∠CDF=∠BCE， 又∵BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°， ∴△BCE≌△CDF（ASA）， ∴CE=DF， ∵CE=10cm， ∴DF=10cm． 注：证明△BCE≌△CDF，给（5分）； 根据三角形全等得DF=10，给（1分）． 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解． 360．（2008?黄冈）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．

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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 全等三角形是证明两条线段相等的重要方法之一．只要证明△ADE≌△CDF，即可得到DE=DF． 解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°． 又∵DF⊥DE， ∴∠1+∠3=∠2+∠3． ∴∠1=∠2． 在Rt△DAE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△DAE≌Rt△DCF（ASA）． ∴DE=DF． 点评： 证明某两条线段相等，可证明他们所在的三角形全等，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． ?2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：lbz；ln_86；lanchong；星期八；py168；王岑；jinlaoshi；csiya；lf2-9；蓝月梦；xiawei；HLing；mmll852；zhqd；Linaliu；117173；zhehe；MMCH；bjy；438011；cook2360；CJX；wangming；lanyan；wenming；张超。（排名不分先后） 菁优网

2014年4月7日

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