第3讲 二次函数的图象与性质- 提高班

第3讲 二次函数的图象与性质

知识网络图

?二次函数的定义?二次函数?二次函数的图象与性质

?二次函数的解析式?

3.1 二次函数的定义

知识概述

要点一、二次函数的定义

一般地，如果要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

是常数，

，那么

叫做的二次函数.

小试牛刀

1．（2017秋?大安市期末）函数y=（a﹣1）x值是（ ） A．1

B．﹣1 C．±1 D．0

+x﹣3是二次函数时，则a的

【解答】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0， 解得a=﹣1． 故选：B．

2．（2017秋?杜尔伯特县期末）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A．a≠0

B．a≠2

C．a＜2

D．a＞2

1

2018暑期领跑班·初三数学

【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数， ∴2﹣a≠0，即a≠2， 故选：B．

再接再厉

3．（2017秋?渝中区校级期中）若y=（3﹣m）（ ） A．±3 B．3

C．﹣3 D．9

是二次函数，则m的值是

【解答】解：由题意，得 m2﹣7=2，且3﹣m≠0， 解得m=﹣3， 故选：C．

4．（2017秋?海淀区校级期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ） A．﹣1 B．8

C．﹣2 D．1

【解答】解：∵关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数， ∴m=2， 则3m+2=8，

故此解析式的一次项系数是：8． 故选：B．

3.2 二次函数的图象与性质

知识概述

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①

；②

；③

；④

，

2018暑期领跑班·初三数学 2

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 ((轴) 轴) 顶点坐标 (0，0) (0，) (，0) (，) 当时 开口向上 当时 开口向下 2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于

轴(或重合)的直线记作

.特别地，

() 时，开口向上；当时，开口向下；

轴记作直线

小试牛刀

.

1．（2018?潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）；

当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意； 当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1， 解得：h3=4（舍去），h4=6． 综上所述：h的值为1或6． 故选：B．

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3

2．（2018?泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ） A．1或﹣2 B．

或

C．

D．1

【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=﹣

=﹣1，

∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0，

∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a﹣6=0，

∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）． 故选：D．

3．（2018?青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，

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∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣故选：A．

＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．

再接再厉

4．（2018?顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，

当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限； 此时，没有选项符合，

当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D．

5．（2018?丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．

（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；

（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）

【解答】解：（1）当h=﹣1时，y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2， 则顶点D的坐标为（﹣1，﹣2）；

（2）∵y=x2﹣2hx+h=（x﹣h）2+h﹣h2， 2018暑期领跑班·初三数学

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