平差习题集

1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。

2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系？协因数阵与权阵之间的关系？在

什么情况下它们为对角矩阵？若协因数阵为单位阵表示什么意思？ 3. 已知随机变量y、z都是观测值L=[L1、L2、L3]T的函数，函数关系如下：

?2?10?y?L1?4L2?3L3??，已知QLL??13?2，证明y、z间互不相关。

??z?7L1?10L2?16L3??0?24??4. 已知间接平差的模型为V=BX-L，已知观测值的中误差为QLL，试推导QVV。 5. 已知独立观测值L1,L2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）X?L1?2L2 （2）Y?12L1?L1L2 2

6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2

个限制条件。若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？

7. 在相同条件下，观测两个角度?A=30?00?00?，?B=75?00?00?，设对?A观测6个测回的

权为1，问观测?B 9个测回的权为多少？

8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A—B—C—D之间的高差，设路线长度分别

为S1=2km，S2=4km，S3=6km，令12km的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为?，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

9. 取一长度为d的直线之丈量结果的权为1，则长度为D的直线之丈量结果的权为多少？

若长度为D的直线丈量了n次，则其算术平均值的权为多少？。

10. 已知一水准网如下图，其中A、B为已知点，观测了8段高差，若设E点高程的平差值

?、X?，按附有限制条件的条件平差法（概括与B、E之间高差的平差值为未知参数X12平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为

Ch1h7Ah5Fh4h6h3Eh2Dh8B

11. 在已知水准点A、B（其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。线路长为S1=2km，

S2=6km，S3=4km，设每千米观测高差中误差σ=1.0mm，试求： （1） 将闭合差按距离分配后P1、P2两点间高差的中误差； （2） 分配闭合差后P1点高程的中误差。

1 A

P1

2 P2

3 B

12. 在两已知高程点间布设一条附合水准线路，如图所示，已知每千米观测中误差等于

5.0mm，欲使平差后线路中点C点高程中误差不大于10mm，试问该线路长度最多可达几千米？

h1 A

C

h2 B

13. 设对∠A进行4次同精度独立观测，一次测角中误差为2.4″，已知4次算术平均值的权

为2。试问：（1）单位权观测值是什么？（2）单位权中误差等于多少？（3）欲使∠A的权等于6，应观测几次？ 14. 设观测值向量L的协因数阵为Q，权阵为P，试问：（1）协因数阵的对角元素Q是观

测值L扥权倒数吗？（2）权阵对角元素P使观测值L的权吗？为什么？ 15. 设对某量分别进行等精度了n、m次独立观测，分别得到观测值Li,(i?1,2,?n)，

Li,(i?1,2,?m)，权为pi?p，试求：

1）n次观测的加权平均值xn?[pL]的权pn [p]2）m次观测的加权平均值xm?[pL]的权pm [p]3）加权平均值x?pnxn?pmxm的权px

pn?pm

16. 在三角形中，已知角a无误差为40°，观测角b、c的观测值为L1,L2，其协方差阵QLL2,2??L?为单位阵，现将闭合差平均分配到两角，得Liiw，式中w?L1?L2?140?。（1）2???L?试求w的权；（2）w与L1?试证明之。

??是否相关，L2?A

17. 有如图所示水准网，网中A、B为已知点，C、D

为待定点，h1~h5为高差观测值，设各线路等长。已知平差后算得VV?75(mm)，试求平

T2h1 h2 C h5 D h3 B ?的权及中误差。 差后C、D两点间高差h5

18. 如下图所示，已知A、B点，等精度观测8个角值为：

h4 CL3L4DL7L2L1AL8L5L6B

?,用附有参数的条件平差法列出其平差值条件方程式。 若选择∠ABC平差值为未知参数X

19. 某平差问题有以下函数模型(Q?I)

?v1?v?2??v3??v4?1?x?1?x??1?x?2x?2?x?1?3?x?2 ?1?2?1?x?2?x?3?3?0 x试问：

(1). 以上函数模型为何种平差方法的模型？

(2). 本题中，n? ，t? ，r? ，c? ，u? ，s? 。

20. 如下图所示，A，B点为已知高程点，试按间接平差法求证在单一附合水准路线中，平

差后高程最弱点在水准路线中央。 Ah1Sh2B

21. 如图所示测角网中，A、B、C为已知点，P为待定点，L1,L2,?,L7为同精度观测角值。

4 3 2 5 (1).有多少个条件方程？各类条件方程各有多少

个？

(2).试列出全部条件方程（非线性条件方程需

1 6 线性化）。 7 P A 22. 如图所示水准网，A、B、C三点为已知高程点，P1，P2为未知点，各观测高差及路线

长度如下表所列。用间接平差法计算未知点P1，P2的高程平差值及其中误差；

高差观测值/m h1=-1.044 h2=1.311 h3=0.541 h4=-1.243 对应线路长度/km 1 1 1 1 HA=32.000 HB=31.735 HC=31.256 已知点高程/m B C 若按条件平差法对该网进行平差：

Bh2h3h1A

A T 15Ch4P2

P1E 162 1 F 23. 如图的测角网，B、C知点，D—F已知边3 14 B 8 长，A—E为已知方位。共观测了24个角4 13 9 S 度。

12 （1）试计算该网必要观测、多余观测有多少？ 5 11 10 （2）若按条件平差可列出多少独立条件？各类D 6 条件数分别为多少？

7 （3）写出所有非线性条件的真值形式。

（4）若设?BGC为未知参数X，则平差模型为

什么模型，条件数有多少？ 23 X 22 （5）若该网采用间接平差法平差，简述平差步

20 骤。

17 1824 H 21 19 C

G

24. 如下图的水准网，各路线的观测高差和路线长度如下： h1=+1.106m，s1=2km h1 h2=+2.398m，s2=2km A h3=+3.404m，s3=4km h4=+1.003m，s4=2km

已知HA=23.953m ，HB=27.450m，（1）按条件平差求P1、P2点的高程平差值。（2）求每公里的高差中误差及各点高程中误差。

P1 h3 P2

h2 h4

25. 如图的水准网，各路线的观测高差和路线长度如下： h1=+2.145m，s1=1.5km h2=+0.368m，s2=1.5km

h1 h3=+2.519m，s3=3km

A h4=-1.978m，s4=3km

h5=-1.614m，s5=1.5km h3 已知HA=18.336m，HB=18.860m ：

P3

P1 h5 h2 h4 P2

B

（1）按间接平差求P1、P2点的高程平差值。 （2）求每公里的高差中误差及各点的高程精度。

26. 简述全站仪自由设站法的基本原理，并列出两类误差方程的具体表达式及其法方程。

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