平面向量与三角形答案

A类平面向量

命题人 胡老师

→→→→→

1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333[答案] A

→→→

2．已知O、A、M、B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 3.(理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )

5?－∞，－5? －，＋∞? A.? B.2??2??

5

－，0?∪(0，＋∞) C．{0} D.??2?

4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ( ) ππππA. B. C. D. 6432

5.(理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为( ) A．4 B．42 C．6 D．8

6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径

→→→

OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是 ( )

A．2 B．0 C．－2 D．－1

→→→

7.(理)在△ABC中，若对任意k∈R，有|BA－kBC|≥|AC|，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

x22→→

8.设F1是椭圆4＋y＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则PFPO的取值1·范围是________．

B类【解斜三角形练习】

一、选择题

1.给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题

2.在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan__________.

3.在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－cos2(B+C)=__________.

三、解答题

4.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.

5.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2(1)求角A的度数；

(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.

6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C=

?2B?C2?cos2A2?tanC2?3tanA2tanC2的值为

43，sinB=

45，则

A?72.

，试求∠A、∠B、∠C的值.

答案

A向量部分

1. A

→→→→2→

[解析] AD＝AB＋BD＝AB＋BC

3

221

＝c＋(b－c)＝b＋c，故选A.

333 2.B

→→→→→→→

[解析] OM＝λOB＋OA－λOA＝λ(OB－OA)＋OA， →→→→→→则OM－OA＝λ(OB－OA)，即AM＝λAB.

∵λ∈(1,2)，∴点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上． 3.D

[解析] 由条件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，从而 a·c＝1＋λ＋3(3＋λ)>0??

?1＋λ3＋λ

??1≠3

5

－，0?∪(0，＋∞)． ?λ∈??2?

4.B

[解析] 由(a－b)⊥a得，(a－b)·a＝0， 2

∴a－a·b＝0.

∵|a|＝2，|b|＝2，∴2－|a||b|cos〈a，b〉＝0.

2π

∴cos〈a，b〉＝.∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝. 24

5. B

1

[解析] 由基本不等式知，x2＋y2≥(x＋y)2，

2

∴|a＋b|＝(m＋p)2＋(n＋q)2

22

≥(m＋p＋n＋q)＝×8＝42， 22

当m＋p＝n＋q＝4时等号成立． 6.C

→→??|PO→→→→→→→|＋|PC|?2＝－2， [解析] 如图(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|≥－2·?

2??→→

等号在|PO|＝|PC|，即P为OC的中点时成立． 7. B

→→→→→

[解析] 原不等式两边平方可化为BA2－2k·BA·BC＋k2·BC2≥AC2，∵k∈R，∴Δ＝→→2→→→→→→→→→4(BC·BA)－4(BA2－AC2)BC2≤0，∴BA2cos2B－BA2＋AC2≤0，∴|BA|sinB≥|AC|，而|BA|sinB

→→

表示BC边上的高长，所以有|BA|sinB≤|AC|，从而AC即为高，即∠C＝90°.故选B.

8. [0,4＋23]

→→

[解析] 设P(x，y)，则PF1·PO＝(－3－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋3x＋y2＝x2＋3x＋1

1－x2 4

33

＝x2＋3＋1＝(x＋1)2 42323?2＝?x＋，x∈[－2，2]． 4?3?

∴所求范围为[0,4＋23]．

B斜三角形部分

一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B

二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

?A?C?故tanA22?3,tan(C2?A?C23tan)?A23,tantanC2?A2?tan3.C2?3(1?tanA2tanC2)

?tan答案：3

3.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=－

45，∴sin(2A+C)=

35.

45∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB=即sin(A+C)=

45.故cosB=

35.

，cos(A+C)=－

35.

2425∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=答案：

527625527625，

.

三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：

S=S△ABD+S△CDB=

12·AB·ADsinA+

12·BC·CD·sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S=

12(AB·AD+BC·CD)sinA=

12(2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－

B?C212，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=83.

725.解:(1)由4sin2?cos2A?2及A?B?C?180?,得:22[1?cos(B?C)]?2cosA?1?272,4(1?cosA)?4cosA?5122即4cosA?4cosA?1?0,?cosA??0??A?180?,?A?60?(2)由余弦定理得:cosA??cosA?将a?12?b?c?a2bc222,

b?c?a2bc?12?(b?c)?a?3bc.?b?2.??c?12222?b?c?3?b?13,b?c?3代入上式得:bc?2 由?得:?或?bc?2?c?26.解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(－

12)［cos(A+C)－cos(A－C)］

32∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－即1－cos2(A+C)=－

32［cos(A+C)－cos

?2］ .

?3cos(A+C)，解得cos(A+C)=－

2312∵0＜A+C＜π，∴A+C=

π.又A－C=

?2∴A=

712π，B=，C=

?12.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8z2o.html