浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟（二）试题

2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2） 姓名

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21．若集合A?x|x?x?12?0，B?{x|??x?1?0}，C?{x|x?A且x?B}，则集合x?1C?（ ）

A．??3,?1???1,4? B．??3,?1???1,4? C．??3,?1???1,4? D．??3,?1???1,4?

?x2?2x?4,x?32．若函数f?x???（a?0，且a?1）的值域为[3，??)，则实数a的

2?logx,x?3a?取值范围为（ ）

A． ?1,3? B． ?1,3? C．?3, ??? D．[3，??)

3．如图，在四面体P?ABC中，已知PA、PB、PC两两互相垂直，且

PA?PB?PC?3．则在该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为（ ）

A．3? B．

33? 2C．

53? D．33? 24．ABC中，“A?B?C”是“cos2A?cos2B?cos2C”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数f?x??2016x?log2016?x2?1?x?2016?x?2，则关于x的不等式

?f(3x?1)? f(x)?4的解集为（ ） 11,??) B．(?,??) 2016311C．(?,??) D．(?,??)

24A．(?

6．记M?x,y,z?为x,y,z三个数中的最小数，若二次函数f?x??ax2?bx?c(a,b,c?0)b?cc?aa?b,,)的最大值为（ ） abc53A．2 B． C． D．1

42有零点，则 M(二、填空题（每小题8分，共64分）

7．数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是 ．

8．省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有 种． 9．已知函数f?x??x2?ax?a?1,a?R，若对于任意的a? ?0,4?，存在x0??0,2?，使得t?|f(xo)|成立，则t的取值范围为 ．

10．已知a?0，b?0，a?b?1，则a?b的取值范围为 ．

11．已知f?x?是偶函数，x?0时，f?x??x??x? (符号?x?表示不超过x的最大整数)，若关于x的方程f?x??kx?k ?k ?0 ?恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围为 ．

33x2y2312．已知点F为椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点，椭圆的离心率为，过点F的直

ab2线l交椭圆于A,B两点(点A在x轴的上方)，且AF?F3B，则直线l的斜率为 ．

13．方程2?x?1??y?1??1?xyz ?x?y ?的正整数解?x,y,z?为 （写出所有可能的情况)．

14．一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为 ．

三、解答题 （共56分）

15．已知函数g?x???a?1?x?2?1?a?0?的图象恒过定点A，且点A又在函数

f?x?=log3?x?a?的图象上．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）当方程g?x?2??2?2b有两个不等实根时，求b的取值范围； （Ⅲ）设an?g?n?2?，bn?an?1b1?b2?b3?n?N?，，求证，

an?an?11?bn?， (n?N?)．

31x2y216．如图，椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率e?，短轴的两个端点分别为B1,B2，

2ab焦点为F1,F2，四边形F1B1F2B2的内切圆半径为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

3． 2x??4于点P，设PM??MF1，（Ⅱ）过左焦点F1的直线交椭圆于M,N两点，交直线

PN??NF1，试证???为定值，并求出此定值．

1ax217．已知函数f?x??x，直线y?x为曲线y?f?x?的切线．

ee（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数g?x??min{f(x),x?}(x?0)，若函数

1xh?x??g?x??cx2为增函数，求实数c的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1．D

解：依题意，A?{x|x2?x?12?0}???3,4?，B?{x|由x?A，知?3?x?4； x?B，知x??1或x?1． 所以，?3?x??1或1?x?4，即 C???3,? 1? ??1, 4?． 2．A

2解：当x?3时，函数f?x??x?2x?4??x?1??3的值域为[3，??)，

2x?1?0}?(?1,1)． x?1当x?3时，2?logax?3，即x?3时，logax?1?logaa

a?1，且x?3时x?a恒成立．

∴1?a?3，a的取值范围为?1,3?．

3．B

解：如图，设AE?AF?AG?23 (E在AB上，F在PB上，G在PC上)． 由PA?PB,PA?PC,PB?PC，PA?PB?PC?3， 知PF?PG?3，?PAF??6，?EAF??4??6??12．

∴在面PAB内与点A距离为23的点形成的曲线段(图中弧EF) 长为

?12?23?3?． 63?． 6同理，在面PAC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为同理，在面ABC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为?3?23?23?． 33?． 2同理，在面PBC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为?2?3?所以，该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为33?． 2

4．C

解：A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC

?1?2sin2A?1?2sin2B?1?2sin2C?cos2A?cos2B?cos2C．

5．D

解法1令g(x)? f(x)?2，则函数g?x?为奇函数且在实数上为增函教， 不等式转化为g?3x?1??g?x??0?g?3x?1??g??x??3x?1??x?x??解法二： y?f?x?关于?0,2?中心对称且在实数上为增函数3x?1?x 0?x??6．B

1 41． 4bc1?1,0?? aa4b?cc?a(b?a)(a?b?c)b?ca?b(c?a)(a?b?c)???0，???0， 所以ababacac解：可以不妨设a?b?c?0，因为b?4ac，所以a?b?4ac，故

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