浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(二)试题

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2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷(2) 姓名

_______

21.若集合A?x|x?x?12?0,B?{x|??x?1?0},C?{x|x?A且x?B},则集合x?1C?( )

A.??3,?1???1,4? B.??3,?1???1,4? C.??3,?1???1,4? D.??3,?1???1,4?

?x2?2x?4,x?32.若函数f?x???(a?0,且a?1)的值域为[3,??),则实数a的

2?logx,x?3a?取值范围为( )

A. ?1,3? B. ?1,3? C.?3, ??? D.[3,??)

3.如图,在四面体P?ABC中,已知PA、PB、PC两两互相垂直,且

PA?PB?PC?3.则在该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为( )

A.3? B.

33? 2C.

53? D.33? 24.ABC中,“A?B?C”是“cos2A?cos2B?cos2C”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f?x??2016x?log2016?x2?1?x?2016?x?2,则关于x的不等式

?f(3x?1)? f(x)?4的解集为( ) 11,??) B.(?,??) 2016311C.(?,??) D.(?,??)

24A.(?

6.记M?x,y,z?为x,y,z三个数中的最小数,若二次函数f?x??ax2?bx?c(a,b,c?0)b?cc?aa?b,,)的最大值为( ) abc53A.2 B. C. D.1

42有零点,则 M(二、填空题(每小题8分,共64分)

7.数学竞赛后,小明、小乐和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌,老师猜测:“小明得金牌,小乐不得金牌,小强得的不是铜牌.”结果老师只猜对了一个,由此推断:得金牌、银牌、铜牌的依次是 .

8.省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班,要求每人值班1天,每天安排2人.若6位医生中的甲不能值2号,乙不能值3号,则不同的安排值班的方法共有 种. 9.已知函数f?x??x2?ax?a?1,a?R,若对于任意的a? ?0,4?,存在x0??0,2?,使得t?|f(xo)|成立,则t的取值范围为 .

10.已知a?0,b?0,a?b?1,则a?b的取值范围为 .

11.已知f?x?是偶函数,x?0时,f?x??x??x? (符号?x?表示不超过x的最大整数),若关于x的方程f?x??kx?k ?k ?0 ?恰有三个不相等的实根,则实数k的取值范围为 .

33x2y2312.已知点F为椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点,椭圆的离心率为,过点F的直

ab2线l交椭圆于A,B两点(点A在x轴的上方),且AF?F3B,则直线l的斜率为 .

13.方程2?x?1??y?1??1?xyz ?x?y ?的正整数解?x,y,z?为 (写出所有可能的情况).

14.一个有限项的数列满足:任何3 个连续项之和都是负数,且任何4个连续项之和都是正数,则此数列项数的最大值为 .

三、解答题 (共56分)

15.已知函数g?x???a?1?x?2?1?a?0?的图象恒过定点A,且点A又在函数

f?x?=log3?x?a?的图象上.

(Ⅰ)求实数a的值;

(Ⅱ)当方程g?x?2??2?2b有两个不等实根时,求b的取值范围; (Ⅲ)设an?g?n?2?,bn?an?1b1?b2?b3?n?N?,,求证,

an?an?11?bn?, (n?N?).

31x2y216.如图,椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率e?,短轴的两个端点分别为B1,B2,

2ab焦点为F1,F2,四边形F1B1F2B2的内切圆半径为(Ⅰ)求椭圆C的方程;

3. 2x??4于点P,设PM??MF1,(Ⅱ)过左焦点F1的直线交椭圆于M,N两点,交直线

PN??NF1,试证???为定值,并求出此定值.

1ax217.已知函数f?x??x,直线y?x为曲线y?f?x?的切线.

ee(Ⅰ)求实数a的值;

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数g?x??min{f(x),x?}(x?0),若函数

1xh?x??g?x??cx2为增函数,求实数c的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1.D

解:依题意,A?{x|x2?x?12?0}???3,4?,B?{x|由x?A,知?3?x?4; x?B,知x??1或x?1. 所以,?3?x??1或1?x?4,即 C???3,? 1? ??1, 4?. 2.A

2解:当x?3时,函数f?x??x?2x?4??x?1??3的值域为[3,??),

2x?1?0}?(?1,1). x?1当x?3时,2?logax?3,即x?3时,logax?1?logaa

a?1,且x?3时x?a恒成立.

∴1?a?3,a的取值范围为?1,3?.

3.B

解:如图,设AE?AF?AG?23 (E在AB上,F在PB上,G在PC上). 由PA?PB,PA?PC,PB?PC,PA?PB?PC?3, 知PF?PG?3,?PAF??6,?EAF??4??6??12.

∴在面PAB内与点A距离为23的点形成的曲线段(图中弧EF) 长为

?12?23?3?. 63?. 6同理,在面PAC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为同理,在面ABC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为?3?23?23?. 33?. 2同理,在面PBC内与点A距离为23的点形成的曲线段长为?2?3?所以,该四面体表面上与点A距离为23的点形成的曲线段的总长度为33?. 2

4.C

解:A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC

?1?2sin2A?1?2sin2B?1?2sin2C?cos2A?cos2B?cos2C.

5.D

解法1令g(x)? f(x)?2,则函数g?x?为奇函数且在实数上为增函教, 不等式转化为g?3x?1??g?x??0?g?3x?1??g??x??3x?1??x?x??解法二: y?f?x?关于?0,2?中心对称且在实数上为增函数3x?1?x 0?x??6.B

1 41. 4bc1?1,0?? aa4b?cc?a(b?a)(a?b?c)b?ca?b(c?a)(a?b?c)???0,???0, 所以ababacac解:可以不妨设a?b?c?0,因为b?4ac,所以a?b?4ac,故

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