高考高三数学一轮热点把握递推关系解决数学归纳法问题

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第57讲 把握递推关系解决数学归纳法问题

考纲要求:

1．了解数学归纳法的原理；

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

基础知识回顾: 1、数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

*

*

2．数学归纳法的框图表示：

应用举例:

类型一、用数学归纳法证明等式

例1、用数学归纳法证明下面的等式：

n?n＋1?

. 2

1－2＋3－4＋?＋(－1)

2222n－1

·n＝(－1)

2n－1

点评：(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 类型二、用数学归纳法证明不等式

例2、设数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－an. 1

求证：对一切n≥2，都有an≤.

n＋2

点评：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． 类型三、归纳——猜想——证明

例3、将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，?，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋?＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．

2

S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34，

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