2011年高考数学试题分类汇编--数列、极限和数学归纳法

2011年高考数学试题分类汇编 - - 1 - -

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数列、极限和数学归纳法

安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)

1232

k k T k +=++++=

，若T ＝105，则K ＝

14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15.

（18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .

（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基

本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则

,2121++????=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ????=++ ②

①×②并利用得),21(102

2131+≤≤==+-+n i t t t t n i n

.1,2lg ,10

)()()()()

2(2122112212

≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n

（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k

k k k k k ?++-+=

-+=

得.11

tan tan )1tan(tan )1tan(--+=

?+k

k k k 所以∑∑+==?+==

23

1

tan )1tan(n k n

k k

n k k b

S

2

3

tan(1)tan tan(3)tan 3

(

1)tan 1

tan 1

n k k k

n n +=+-+-=

-=

-∑

安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 （7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；

法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3?5=15L .故选A. 北京理

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11.在等比数列{}n a 中，若112

a =

，44a =-，则公比q =________；

12||||||n a a a +++= ________.

【解析】112

a =

，442a q =-?=-，{||}n a 是以

12

为首项，以2为公比的等比数列，

1

121||||||2

2

n n a a a -+++=-

。

20.若数列n A ：1a ，2a ，…，(2)n a n ≥满足1||1k k a a +-=（k =1，2，…，1n -），则称n A 为E 数列。记12()n n S A a a a =+++ .

（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；

（2）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =； （3）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5）

（Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a 2000—a 1000≤1，

a 2000—a 1000≤1 ……

a 2—a 1≤1

所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.

又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999. 故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.综上，结论得证。 （Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 因为2111112c c a a c a a ++=++= ……

,1211+++++=n n c c c a a

所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S

)].1()2)(1()1)(1[(2

)

1(121--++--+----=

n c n c n c n n

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因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以

所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2

)

1(,0)(-=n n A S n 必须使

为偶数,

即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当

,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a ),,2,1(m k =时，有;

0)(,01==n A S a

;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时

当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a 当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，

使得.0)(,01==n A S a 北京文

（14）设()0,0A ,()4,0B ,()4,3C t +，(),3D t 。记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则()0N = ；()N t 的所有可能取值为 。6；6，7，8 （20）（本小题共13分）

若数列12:,,(2)n n A a a a n ≥ 满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==- ，则称n A 为E 数列，记()12++n n S A a a a =+ 。

（I ）写出一个E 数列5A 满足13==0a a ；

（II ）若1=12,=2000a n ，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是=2011n a （III ）在1=4a 的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立的n 的最小值 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。

（答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5）

（Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .

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所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a 2000—a 1000≤1，

a 2000—a 1000≤1 ……

a 2—a 1≤1 所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.

又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.

故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.综上，结论得证。

（Ⅲ）111111k k k k k k a a a a a a +++-=?-≥-?≥-

所以有：2113a a ≥-=，3212a a ≥-≥，4311a a ≥-≥，…，8713a a ≥-≥-；9814a a ≥-≥- 相加得：1290a a a +++≥ ，所以在1=4a 的E 数列n A 中，使得()n S A =0成立的n 的最小值为9。 福建理

16．(本小题满分13分) 已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133

S =．

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ??π=+><<在6

x π

=

处取得最大值，且最大值为

3a ，求函数()f x 的解析式．

解：(Ⅰ)由3133,3

q S ==

得11

3

a =

，所以2

3

n n a -=；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得33a =，因为函数()f x 最大值为3，所以3A =，

又当6

x π

=

时函数()f x 取得最大值，所以sin(

)13

π

?+=，因为0?π<<，故6

π

?=

，

所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6

f x x π

=+。

福建文17．（本小题满分12分）

已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3。（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值。 解：（Ⅰ）由a 1＝1，a 3＝－3得2d =-，所以a n ＝3－2n ； （Ⅱ）(1)35k S k k k =--=-，解得k ＝7。

广东理11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .

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.

10,02,0,0,:10.

k :0)6

1(31)1(6

11,

6

1d 3d),2(24d)9(1),(29,2

4

)(29

)(,:710479876549415419149=∴==+=∴=++++∴===-?++--

-

=∴+=++=∴+=

+=k a a a a a a a a a S S k a a a a a a a S S 从而解法二得由即即解法一20.（本小题满分12分）

设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22

n n n nba a b a n a n --=≥+-,

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n,11

12n n n b a ++≤

+ 11111

11211,22111112,

,{

},

,, 2.

22

2

2

1211

2(),2211122{},

,

22(2)12n n n n

n n n n n

n

n n n n

nba n n a a n a b a b n n n

n n b a a a a a a n n b a b b a b

n a b a b b b b

n a b

------==?++--==+=∴

==-≠+=+--++

=---∴+

-解:(1)由可得

当时则数列是以

为首项为公差的等差数列从而 当时,

则数列是以为首项为公比的等比数列1

2

212

(2)()

(),,

(2)

222,

(2).

(2)(0,2)2n n n

n n

n

n

n n n

nb b a b b b

b

b

b

b a nb b b b b

--=

?=

?∴=---=??=?->≠?-? 综上111

1

111

1

1

1

2

3

2

2

1

1123122,

2,2

2

(2)(2),,

2

2222

,2

2222

2

22n n n n n n n n

n n n n

n

n n

n

n n

n n n n n n n

n n n n

n n b b a a b nb b b n b b a b

b

b

n

b b b b

b b

b

b b +++++++++-----+-----==∴=

--≠≤≤≤

--≤+++++≤

++++

(2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;

1当b 2时,要证+1,只需证+1即证+

1即证

+即证

n 212

2

31

121

2

11

2

32

21,2

2

2

2

2

221)()(

)()222

2,,.

n n

n

n n n

n n n

n n n

b b b

b b

b b

b

b b b

b

b

b

n

-+---+-++

+

++++

++

+++++

≥+=∴≠ 而上式左边=(

当b 2时原不等式也成立从而原不等式成立

广东文11．已知{}n a 是递增等比数列，4,2342=-=a a a ，则此数列的公比

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=q ．2

20．（本小题满分14分） 设b>0,数列}{n a 满足b a =1,11(2)1

n n n nba a n a n --=≥+-．

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ,121

+≤+n n b a ．

解：（1）1110,1

n n n nba a b a a n --=>=

+-由可知11

1111,,n n

n n

n n n A A a b

b a a b

--∴

=

+

=

=

令则，

-11n 1

1

n 1

111111112=

+

+

n n n n

n A A A b

b

b

b

b

b

b

b

---≥=

+

++

=

++

当时，

1

1(1)11(1)1n

n

n n b b

b

A b b b

--≠==--

①当b 1时，；n A n =②当b =1时，(1)

,111,1n n n nb b b a b b ?-≠?

∴=-??=?

； （2）1

2(1)121,1

n

n n n

nb b b a b

b +-≠=

≤+-当时，欲证

1

12(1)

1

n

n n b nb b

b +-≤+-只需证，

1

221

1

1

2

1(1)

1

1n

n n

n n n n b b

b

b b

b

b

b +-+---+=+++++++- 1

1

11

1()n n n n

n b b b

b b

b

b

--=+

++

+++

(222)2n n

b nb >+++= ，1

2(1)211

n

n n n

nb b a b

b +-∴=

<+-；

1

1221n n b a b +===+当时，，1

2+1n n a b

+≤综上所述。

湖北理12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差

数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】

66

67

解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意

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??

?=++=+++439874321a a a a a a a ，即???=+=+421336411d a d a ，解得???

????

==+667

3

471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=66

6766

213

4=

-

=

，所以应该填

66

67.

19.（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *

，

,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若存在k ∈ N *

，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *

，且2m ≥，

1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.

解：（Ⅰ）由已知：n n rS a =+1得21n n a rS ++=，两式相减得21(1)n n a r a ++=+，又2a ra = 所以当0r =时数列{}n a 为：a ，0，0，0，…，

当0,1r r ≠≠-时，由已知0a ≠，所以0n a ≠，n N *

∈，于是

211,()n n a r n N a *

++=+∈

所以数列23,,,n a a a 成等比数列，即当2n ≥时2

(1)

n n a r r a -=+

综上数列{}n a 的通项公式为2

1(1),2n n a

n a r r a n -=?=?+≥?

（Ⅱ）对于任意的m N *

∈，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 成等差数列，证明如下： 当0r =时由（Ⅰ）知10

2

n a n a n =?=?

≥?，此时1+m a ，m a ，2+m a 成等差数列；

当0,1r r ≠≠-时，若存在k ∈ N *

，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，则2k S =1+k S +2+k S ∴1220k k a a +++=，由（Ⅰ）知数列23,,,n a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的m ∈N *

，且2m ≥，

21224m m m m a a a a +++=-?=；所以2m a =1+m a +2+m a 即1+m a ，m a ，2+m a 成等差数列；

综上：对于任意的m N *

∈，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 成等差数列。 湖北文17.（本小题满分12分）

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成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。

(I) 求数列{}n b 的通项公式； (II) 数列{}n b 的前n 项和为S

，求证：数列54n S ?

?

+

????

是等比数列。 解：(I)设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+；则155a d a a d a -+++=?=； 数列{}n b 中的b 、b 、b 依次为7,10,18d d -+，则(7)(18)100d d -+=； 得2d =或13d =-（舍），于是3

345,1052

n n b b b -==?=?

(II) 数列{}n b 的前n 项和2

552

4

n n S -=?-

，即1

12

2

5

552

452

254

524

n n n n n n S S S -+--+?+

=??

==?+

因此数列54n S ?

?

+

???

?

是公比为2的等比数列。

湖南文20．（本题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%．

（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （II ）设12,n

n a a a A n

+++=

若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M

更新，证明：须在第9年初对M 更新．

解析：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)13010;n a n n =--=- 当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34

为等比数列，又670a =，所以

6

3

70()

;4n n a -=?

因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为6

12010(1)13010,6

370(),74

n n n n n n a a n ---=-≤??

=?=?≥?

?

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(II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时，

66

6786

3

33()570704[1()]780210()444

3

780210()

4.

n n n n n n S S a a a A n

---=++++=+???-=-?-?=

因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又

8696

8933780210()780210()

4779448280,7680,864996

A A ---?-?==>==<

所以须在第9年初对M 更新．

湖南理12、设n S 是等差数列*

{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 答案：25

解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5

252

S +?=

=。

江苏13.设1271a a a =≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.

解析：由题意：2

3

1222112a a q a q a q =≤≤≤+≤≤+≤，

2

22221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+

3

223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2

a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3

；min q ∴=

.

本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.

20.（本小题满分16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立. （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式. 答案:（1）1112111,1,2(),2()n n n n n n k n S S S S S S S S +-++=∴?>+=+∴+=+ 即：

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212n n n a a a +++=

所以，n>1时，{}n a 成等差，而22a =，23211353,2()7,4,8;S S S S S a a ==+-=∴=∴= （2）由题意：3334443,2(),(1);4,2(),(2)n n n n n n n S S S S n S S S S +-+-?>+=+?>+=+，

2,2(),(3);3,2(),(4);n n n n n n n S S S S n S S S S +-++-+?>+=+?>+=+

当5n ≥时，由（1）（2）得：4342,(5)n n a a a +--= 由（3）（4）得： 5242,(6)n n a a a +--= 由（1）（3）得：4212,(7);n n n a a a +-++= 由（2）（4）得：5312,(8);n n n a a a +-++=

由（7）（8）知：412,,,n n n a a a ++-成等差，513,,,n n n a a a ++-成等差；设公差分别为：12,,d d 由

（

5

）

（

6

）

得

：

532442421541222,(9);222,(10);n n n n n n a a d a a d a a d a a d +-++-+=+=-+=+=-+

由（9）（10）得：54214122321,2,;n n n n a a d d a d d a a d d ++---=-=+-=-{}a (2)n n ∴≥成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：121222+6a 152(255),452;a d a a d a d +=++-=-即

1212228282(279),351a a d a a d a d ++=++-=-即 23,2,2 1.n a d a n ∴==∴=-

解析：本题主要考查数列的概念,通项与前n 项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题.

江西理5. 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A

【解析】2112=+=S S S ，可得12=a ，3213=+=S S S ，可得1233=-=S S a ，同理可得11054====a a a ，故选A 18. （本小题满分12分）

2011年高考数学试题分类汇编 - - 11 - -

- 11 -

已知两个等比数列}{n a ，}{n b ，满足)0(1>=a a a ，111=-a b ，222=-a b ，333=-a b . （1）若1=a ，求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n a 唯一，求a 的值.

【解析】（1）设}{n a 的公比为q ，则211=+=a b ，q aq b +=+=222，

22

333q aq

b +=+=，由1b ，2b ，3b 成等比数列得)3(2)2(2

2q q +=+，

即0242=+-q q ，解得221+=q ，222-

=q

所以}{n a 的通项公式1

)

22(-+

=n n a 或1

)

22(--

=n n a .

（2） 设}{n a 的公比为q ，则由)3)(1()2(2

2

aq q aq ++=+，得(*)01342

=-+-a aq aq

由0>a 得0442

>+=?a a ，故方程（*）有两个不同的实根. 由}{n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得3

1=

a .

江西文5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24

答案：B 解析：

20

,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S

21.(本小题满分14分）

（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；

（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差?

不为0

的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若?

不存在，说明理由．

解：（1）{}n a 要唯一，∴当公比01≠q 时，由332213,2,21a b a b a b +=+==+=且?=312

2b b b ()()(

)0134312121

2

1

2

1=-+-?++=+a aq aq

aq a aq ，

0>a ，013412

1=-+-∴a aq aq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）

()()()014013442

≥+?≥--∴a a a a a ，此时满足条件的a 有无数多个，不符合。

∴当公比01=q 时，等比数列{}n a 首项为a ，其余各项均为常数0，唯一，此时由

2011年高考数学试题分类汇编 - - 12 - -

- 12 -

()()(

)0134312121

2

1

2

1=-+-?++=+a aq aq

aq a aq ，可推得3

1,013=

=-a a 符合

综上：3

1=

a 。

（2）假设存在这样的等比数列{}{}21q q ,,，公比分别为n n b a ，则由等差数列的性质可得：

()()()()44113322a b a b a b a b -+-=-+-，整理得：()()()()11131231--=--q a a q b b

要使该式成立，则12-q =101211==?=-q q q 或03131====a a b b 此时数列22a b -，

33a b -公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列{}{}n n b a ,。

辽宁理17．（本小题满分12分）

已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列?

??

??

?-12n n a 的前n 项和． （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

0,

21210,a d a d +=??+=-?

解得11,1.

a d =??

=-?故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分

（II ）设数列1

{

}2

n n n a n S -的前项和为，即2111

,12

2

n n n a a S a S -=+++

= 故，

12.2

2

4

2

n n n

S a a a =

+

++

所以，当1n >时，

21

1

11

2

2

2

2

n n n n n n

S a a a a a a ----=+

++

-

1

11121(

)2

42

2

n n

n --=-+

++

-

1

121(1)2

2

n n

n --=--

-

所以1

.2

n n n

S -=

综上，数列1

1

{

}.2

2

n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分

辽宁文5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 B

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．—1 全国Ⅰ理

（17）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9.a a a a a +==

（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

2011年高考数学试题分类汇编 - - 13 - -

- 13 -

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

?

???

的前n 项和.

（17）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由2

3269a a a =得3

2

349a a =所以2

19

q =

。

由条件可知a>0,故13

q =

。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113

a =。

故数列{a n }的通项式为a n =

13

n

。

（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++=(1)(12)2

n n n +-+++=-

故

12112(

)(1)

1

n

b n n n n =-

=--

++

1

2

111111112...2((1)(

)...(

))2

2

3

1

1

n

n b b b n

n n +

++=--

+-

++-

=-

++

所以数列1{

}n

b 的前n 项和为21

n n -

+

全国Ⅰ文（17）（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

解：（Ⅰ）由1(1)n a a n d =+-及35a =，109a =-得19,2a d ==-； 所以数列{}n a 的通项公式为112n a n =-

（Ⅱ）2

2

10(5)25n S n n n =-=--+，所以5n =时n S 取得最大值。

全国Ⅱ理（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

【答案】：D 【命题意图】：本小题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式等有关知识。 【解析】：2211122()2(12)224k k k k k S S a a a d a kd d k ++++-=+=+=++=++=，解得

2011年高考数学试题分类汇编 - - 14 - -

- 14 -

5k =。

另外：本题也可用等差数列的前n 项和公式进行计算。 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设数列{}n a 满足10a =且

1

11111n n

a a +-

=--.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n b =，记1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <.

【命题立意】：本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，

同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗透了化归与转化思想方法.难度较小， 学生易得分。 【解析】：（Ⅰ）由1

11

111n n a a +-=--知数列11n a ??

???-???

是首项为1111a =-，公差为1的等差数列。

111(1)1,11n n

n n a a n

∴

=+-=∴=-

-

（Ⅱ）由（Ⅰ）知n b =

=

=

=

-

1

1

(

11n

n

n k k k S b ==∴=

=

=-

<∑

∑

全国Ⅱ文(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题

12

116,630,

a q a a q =??+=?解得113,2,2, 3.a a q q ==????==??或 所以

如果13,a =则1

1

1=32

.n n n a a q

--=?1(1)=

3231n

n

n a q S q

-=?--

2011年高考数学试题分类汇编 - - 15 - -

- 15 -

如果12,a =则1

1

1=23

.n n n a a q --=?1(1)=

311n

n

n a q S q

-=--

山东理

15. 设函数()(0)2

x f x x x =

>+,观察:

1()(),2

x f x f x x ==

+ 21()(()),34x

f x f f x x ==+ 32()(()),78

x f x f f x x ==+ 43()(()),1516

x

f x f f x x ==

+

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n N +

∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .

【答案】

2

2

(1)x n x n

-+

【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即

(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的

分母为22

(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==

2

2

(1)x n x n

-+.

20.（本小题满分12分）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .

【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列

2011年高考数学试题分类汇编 - - 16 - -

- 16 -

{}n a 的通项公式1

23

n n

a -=?.

（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=1

23

n -?+1

(1)ln 23

n --?, 所以12n n S b b b =+++=

1212()(ln ln ln )

n n a a a a a a +++-++ =

2(13)13

n

---

12ln n

a a a =31n

--

1

2

1

ln(21333

)n

n -????? =

31n --(1)

2

ln(23

)n n n

-?,所以2n S =23

1n

--2(21)

22

ln(2

3

)n n n

-?=91n --2

2ln 2(2)ln 3n n n --.

（20）（本小题满分12分）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n

n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .

山东文没有新题

陕西理13．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n 个等式为 . 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．

【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

…… …… …… 所以2

(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=- ， 即2

(1)(32)(21)n n n n ++++-=-

2011年高考数学试题分类汇编 - - 17 - - - 17 - 【答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-

14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．

【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．

【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），

1 2 … i … 19 20

那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是

(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-?+-?++-?++-?++-?

(1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=??-

-?-+ 210(21210)i i =-+，所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)

10(1219)210238002+?+++?=??= ；树苗放在第

10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2?++++?+++? 9(19)

10(110)

1021029001100200022?+?+=??+??=+=，所以路程总和最小为2000

米.

【答案】2000

19．（本小题满分12分）

如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线x

y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴

交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；

22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1,2,,k n = ）

． （1）试求k x 与1k x -的关系（2k n 剟）； （2）求112233||||||||n n P Q P Q P Q P Q ++++ ．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再

求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项||

n n P Q 的表达式，然后再求和．

2011年高考数学试题分类汇编 - - 18 - - - 18 - 【解】（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=，

∴111(,)k x k k Q x e ---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，

令0y =，则11k k x x -=-（2k n 剟）

． （2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，

∴(1)||k x k k k P Q e e --==，于是有

112233||||||||n n P Q P Q P Q P Q ++++ 12(1)1111n k e

e

e e e -------=++++=-

11n e e

e --=-，

即112233||||||||n n P Q P Q P Q P Q ++++ 11n e e e --=-．

陕西文10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．

坑位的编号为（ ）

（A ）①和 （B ）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和

【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．

【解】选D （方法一） ①和：：10(129)10(1210)2?++++?+++? =2000 ⑩和 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11

2011年高考数学试题分类汇编 - - 19 - -

- 19 -

个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)2?+++? 19(119)

10238002

+=??=；树苗

放在第

10

个（或第

11

个）树坑旁边时，路程总和是

10(129)10(1210)2?++++?+++? 9(19)

10(110)

1021022

2

?+?+=?

?+?

?

90011002000=+=，所以路程总和最小为2000米.

上海理

14.已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到

12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞

=

.

18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）D （A ）{}n a 是等比数列.

（B ）1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列.

（D ）1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同.

22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列

123,,,,,n c c c c

（1）写出1234,,,c c c c ；

（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ； （3）求数列{}n c 的通项公式. 22、? 12349,11,12,1

3c c c c ===

=； ? ① 任意*

n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即

2132

n n a b

--

=

② 假设26627n k a n b k =+==+?*

132

k n N =-

∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ?

2011年高考数学试题分类汇编 - - 20 - -

- 20 -

∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。 ? 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，

3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+

∵ 6365666k k k k +<+<+<+

∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……

∴ *

63(43)

65(42),66(41)67(4)

n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??

+=-?=∈?+=-??+=?

上海文 2、 计算3lim (1)3

n n n →∞

-

+= 2-

23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列

123,,,,,n c c c c

（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由； （3）求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈. 23、解：? 三项分别为9,15,21。 ? 12340,,,,c c c c 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67

? 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+ ∵ 6365666k k k k +<+<+<+

2011年高考数学试题分类汇编 - - 21 - -

- 21 -

∴ *

63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??

+=-?=∈?+=-??+=?。43424142421k k k k c c c c k ---+++=+

2

412344342414(1)()()242112332

n n n n n n n S c c c c c c c c n n n

---+=++++++++=?

+=+ 。

四川理

8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n +=-∈N ，若则32b =-，1012b =，则

8a =

（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B

解析：{}n b 为等差数列，由32b =-，1012b =及1037b b d =+解得2d =，故22(3)n b n =-+-，

即28n b n =-，故2116a a b -==-，3224a a b -==-，4332a a b -==-，…，8776a a b -==，相加得8164202460a a -=-+-+-++++=，故813a a ==，选B ．

11．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[0,2)

x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为(*)n a n ∈N ，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞

=

（A ）3 （B ）

52

（C ）2

（D ）

32

答案：D

解析：∵()3(2)f x f x =+，∴当2x ≥时，1()(2)3

f x f x =

-，当[

0,2)x ∈时，2()2f x x x =-+，

11a =；当[2,4)

x ∈时，2[0,2)x -∈，2

11()(2)(2)3

3

f x f x x x =

-=

-+，213

a =

；当[22,2)x n n

∈-时

，

2x n -∈

，

2

2

3

11111()(2)(22)(23)(2)(2)

3

3

3

3

3

n

n

f x f x f x f x f x n x x =

-=

-?=-?==

-=

-+ ，则13

n n

a =

，

13lim 12

13

n n S →∞

=

=

-

，选D ．

20．（本小题共12分） 设d 为非零实数，1

2

2

1

1

1[2(1)]n n n

n

n n n n n a C d C d n C d

nC d n

--=

+++-+ （*

n ∈N

）．

（Ⅰ）写出a 1，a 2,，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； （Ⅱ）设b n =nda n （*n ∈N ），求数列{b n }的前n 项和S n ．

本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力，分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．

解：（Ⅰ）由已知可得1a d =，2(1)a d d =+，22(1)a d d =+．

当2n ≥，1k ≥时，∵1

1

!(1)!!()!

(1)!()!

r r n n n n rC r n nC r n r r n r ---=?=?

=?--?-，因此

∴1

2

2

1

1

1[2(1)]n n n

n

n n n n n a C d C d n C d

nC d n

--=

+++-+

1

2

2

1

1

11111()n n n n

n n n n nC d nC d nC d

nC d n

-------=++++ 0122

11

1111()n n n n n n n n d C C d C d

C d

--------=++++

1

(1)

n d d -=+．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8y9q.html