《电力系统暂态分析》课程教学大纲（第二章）

第二章 同步发电机突然三相短路分析

第一节 同步发电机基本方程

一、理想电机

以理想凸极同步发电机为研究对象，它符合下述“四性”假设条件： 1）对称性。定子三相绕组对称，空间上互差120°电角度；转子对本身的直轴和交轴对称。

2）正弦性。定子电流在气隙中产生正弦分布的磁势；转子绕组和定子绕组的互感磁通在气隙中按正弦分布。

3）光滑性。定、转子的槽和沟不影响定、转子电感，即认为电机定、转子表面光滑。

4）不饱和性。铁芯的导磁系数为常数，即忽略磁路饱和的影响，分析中可用叠加原理。

二、物理结构

定子：a、b、c三相绕组； 转子：励磁绕组（ff）、直轴阻尼绕组（DD）、交轴阻尼绕组（QQ）。

三、正方向的规定

磁链：绕组轴线正方向作为磁链正方向，即????轴线。

电流：定子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相反（去磁作用），即

?i???；转子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相同（助磁作用），即?i???。

电压：定子绕组向负荷侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即?u??i； 励磁绕组向绕组侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即?u??i）；阻尼绕组为短接绕组，电压为零。

a?dbDQzfxD?fQyacbqc

图2-1 同步发电机各绕组轴线正方向示意图

1

rfa?uf?iaLaaraifLffrDxzyrbLbbbibuD?0iDLDDLccrcicuaubucrQiQLQQcuQ?0

图2-2 同步发电机各回路电路

四、电压方程和磁链方程

1. 电压方程 矩阵形式为

?ua??r?u??0?b???uc??0 ?????uf??0?0??0?????0?0???0r000000r00rf000000rD00???ia??pψa???i??pψ?0???b??b?0???ic??pψc? ?????? （2-1）

0??if??pψf?0??iD??pψD??????rQ?ipψ?Q????Q????0000式中，p?d——微分算子。

dt分块矩阵形式为

?uabc??rS ????u?fDQ??02. 磁链方程 矩阵形式为

?ψa??Laa?ψ??M?b??ba?ψc??Mca ?????ψf??Mfa?ψD??MDa?????ψQ????MQaMabLbbMcbMfbMDbMQb0???iabc??pψabc? ?i???pψ? （2-2）?rR??fDQ??fDQ?MacMbcLccMfcMDcMQcMafMbfMcfLffMDfMQfMaDMbDMcDMfDLDDMQDMaQ???ia???i?MbQ???b?McQ???ic? ??? （2-3）

MfQ??if?MDQ??iD????LQQ?i???Q??分块矩阵形式为

2

?ψabc??LSS?? ??ψfDQ??LRS?LSR???iabc? ?i? （2-4）

LRR???fDQ?将磁链方程代入电压方程，则可得到一组以各绕组电流为变量的微分方程组。

若该方程组为常系数微分方程组，则求解容易；若该方程组为变系数微分方程组，则求解是个难题。实际上，该方程组是常系数微分方程组还是变系数方程组，决定于电感系数矩阵是否常系数矩阵。

五、电感系数

1. 电感系数的变化规律

1）与定子绕组相关的电感系数LSS、LSR和LRS均随转子的位置角（转子d轴与定子a轴之间的夹角）???t??0作周期性变化。这是因为转子凸极且旋转（定、转子之间存在相对运动），使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙随转子位置按周期性变化。

2）仅与转子绕组相关的电感系数LRR均为常数。这是因为这些绕组设置在转子上，随转子一起旋转，与转子之间没有相对运动。使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙不因转子位置变化而变化。且由于d轴和q轴相互垂直，d轴上的绕组和q轴上的绕组之间不存在互感，即它们之间的互感系数为0。

2. 结论及启发

1）与定子绕组相关的电感系数是变化的，所以上述微分方程组是一组变系数微分方程组，不能用一般解常系数微分方程的方法求解，求解相当困难。

2）仅与转子绕组相关的电感系数均为常数的事实，给我们一个启示：如果将定子绕组上的各电气量转换到转子上来表示，则可能使变系数微分方程式变为常系数微分方程式。

如何转换？——借助于坐标变换来完成。

六、派克变换

1. 派克变换的实质

就是将定子各电气量（如：电压、电流、电势、磁链等）从原来的abc坐标系统（设置在定子上，固定不动）转换到新的dq0坐标系统（设置在转子上，随转子一起旋转，d轴和q轴互相垂直，d轴线与转子d轴线重合，正方向一致，q轴正方向沿转子旋转方向超前d轴900）。

2. 对派克变换的定性理解

由电机学知识可知，当同步电机定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流时，将在空气隙中产生一旋转磁场，该旋转磁场的角速度与定子交流电流角速度相同，旋转方向与交流电流的相序有关。转子励磁绕组施加一直流电流时，将建立一恒定磁场随转子一起旋转，也会在空气隙中产生一旋转磁场。同步电机工作机理实际上就是该两个旋转磁场相互作用（称为电枢反应）的结果。若转子旋转磁场牵着定子旋转磁场跑，则为发电机运行模式；若定子旋转磁场牵着转子旋转磁场跑，则为电动机运行模式。

从产生旋转磁场的角度来看：定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流与旋转

3

的转子绕组流过直流电流效果是一样的。由此，从定性的角度不难理解派克变换的实质。

3. 变换关系式的推导 同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，相对转子静止。它可以

?来表示。如果定子电流用一个同步旋转的通用相量用一个以同步转速旋转的矢量Fa?表示，?与矢量F?在以?顺?在数值上成比例，?I那么相量?I这样当通用相量?Immmas转子方向旋转时，它在静止的a、b、c坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流的瞬时值ia、ib、ic，如图2-3所示。则

?ia??Imcos??0（2-5） ?ib??Imcos(??120)

?i??Icos(??1200)m?c式中，???st??0。其中?s为电流相量的角速度；?0为初相角。

a相时间轴??Imda相时间轴??Im?sid?sia??r??icibiqb相时间轴c相时间轴b相时间轴c相时间轴q

图2-3 通用电流相量在abc坐标轴上的 图2-4 通用电流相量在dq0坐标轴上的

投影关系 投影关系

也可以把电流相量分解为d轴分量id和q轴分量iq，如图2-4所示。则

?id??Imcos(?-?) ? 0i??Icos(?-??90)?Isin(?-?)mm?q（2-6）

式中，???rt??0，称为转子位置角。其中?r为转子角速度；?0为转子初始位置角。

利用三角变换式

2?0000cos(???)?[cos?cos??cos(??120)cos(??120)?cos(??120)cos(??120)]?3 ?20000?sin(???)?[sin?cos??sin(??120)cos(??120)?sin(??120)cos(??120)]3?可得

4

2?00i?[icos??icos(??120)?icos(??120)]dabc?3 （2-7） ?2?iq?[iasin??ibsin(??1200)?icsin(??1200)]3?由式（2-7）可见：通过这种变换，将三相电流ia、ib、ic变换成等效两相电流id和iq。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组dd（称为定子直轴等效绕组或定子等效直轴绕组）和qq（称为定子交轴等效绕组或定子等效交轴绕组）中的电流。这组等效绕组不像实际的a、b、c三相绕组那样在空间上静止不动，而是随转子一起旋转的。等效绕组与转子绕组之间没有相对运动，相应的电感系数也就变为常数了。因此，在dq0坐标系统下同步发电机有5个绕组，即

直轴（d轴）方向：定子直轴等效绕组（dd）、励磁绕组（ff）、直轴阻尼绕组（DD）； 交轴（q轴）方向：定子直轴等效绕组（qq）、交轴阻尼绕组（QQ）。

需要说明的是：

1）以上推导是基于定子电流为三相对称电流引出的。这时，id和iq为常数，即为直流。

2）如果定子三相电流不对称但是平衡，即满足 ia?ib?ic?0，那么仍然可以用一个通用相量来代表三相电流，不过这时通用相量的大小和转速是变化的，因而id和iq的大小也是变化的。

3）如果定子三相电流不平衡，即ia?ib?ic?0，此时三相电流是三个独立的变量，仅用两个新变量（d轴分量和q轴分量）不足以代表原来的三个变量。这时可以令

??i0；ib?ib??i0；ic?ic??i0 ia?ia??ib??ic??0 ia?来表示。另外须补充一个分量，即 ?、ib?、ic?是平衡的，仍然可用通用相量?I这样iam i0?1(ia?ib?ic) （2-8）

3称为零轴电流。

联立式（2-7）、式（2-8），则得到定子三相电流为任意情况下的变换关系，写成矩阵形式

??id??cos???2?-sin? ?iq??3???1?i0???2?cos(??120)cos(??120)??ia?? （2-9） -sin(??1200)-sin(??1200)??ib???11???ic??22?00缩记为 idqo?Piabc （2-10）

式中

5

qjXdjXI??Idd?E?Eq?EQ?j(Xd?Xq)Id?Eq?UqjXqI??Uq?UjXq?Iq?Iq???I?Ud?Id?Udd图2-6 凸极机的相量图和等值电路图

3.Eq的计算方法

?之间的夹角?。 ?与U??U??jXI??E??确定q轴方向，即求得E1）由EQqQQ2）Ud?Usin?；Uq?Ucos?；Id?Isin(???)；Iq?Icos(???)。 3）Eq?Uq?XdId。

二、用暂态电势和和暂态电抗表示的稳态方程和相量图

前述的同步电势和同步电抗的概念及稳态运行的等值电路，很好地解决了同步发电机稳态运行的计算问题。但在短路故障时，同步发电机的定子电流发生变化，从而转子电流和同步电势（是励磁电流的函数）亦发生变化，因此无法利用同步电势来计算短路电流。为计算短路电流，须寻找一个新的电势——暂态电势。

如何寻找暂态电势呢？方法是：利用感性电路磁链不突变的原理来构造一个在突然短路瞬间不突变的电势，其可从短路前（t?0?）的稳态运行方式求得，再利用其短路瞬间不突变的特性，就可用于短路后（t?0?）的短路电流计算。

1. 电压方程式

讨论对象为无阻尼绕组的同步发电机。对于无阻尼绕组的同步发电机稳态运行，有

ud ?Xqiq （2-33） uq?Eq?Xdid （2-34） ψf??Xadid?Xfif （2-35） 式（2-35）两边同乘

Xad得 Xf 11

2XadXadψf??id?Xadif （2-36） XfXf令

Xad（2-37） ? ψf?EqXf22XadXad?或Xd??Xd??Xd?Xd （2-38）

XfXf则式（2-42）可改写为

???(Xd?Xd?)id?Eq或Eq?Eq??(Xd?Xd?)id （2-39） Eq

式（2-39）、式（2-40）可改写为

??Xd?id （2-40） ud ?Xqiq；uq?Eq

或

??????jXI??? Udqq；Uq?Eq?jXdId （2-41）

这是同步发电机稳态运行电压方程式的另一形式。

?和暂态电抗Xd? 2. 暂态电势Eq? （1）交轴暂态电势Eq??EqXad ψf （2-42）

Xf?也不能突变，故短路后瞬间Eq?可由短路瞬间励磁绕组磁链ψf不能突变，因而Eq短路前状态求得。

? （2）直轴暂态电抗Xd2Xad??Xd?Xd

Xf22XadXad(Xad?Xfσ)?Xad?Xσ? ?(Xad?Xσ)? XfXf?Xσ?XadXfσXadXfσ?Xσ??Xσ?Xad//Xfσ （2-43） XfXad?Xfσ?的等值电路 可得Xd 12

?Xd?ddff?Xσ?XdXfσdffXfσdXσ?Xad?XadXad

?的等值电路和等值磁路 图2-7 Xd

?的等值磁路可得 根据Xd

??Xσ?Xad??Xσ? Xd111?XadXfσ?Xσ?XadXfσ?Xσ?Xad//Xfσ

Xad?Xfσ?的磁阻由两部分串联而成，即组解释：电抗与磁路的磁导率成正比，与磁阻成反比。Xad成

11?的总磁阻，其倒数为磁导，也即电抗Xad?。 和，其和为XadXadXfσ3. 等值电路和相量图

q?jXd?IdjX??IjXdd?EQ????EEq?UqjXdqI???Eq?Uq?I??UjXq?Iq?Iq????I??Ud???U?Eddd图2-8 用暂态参数表示的相量图和等值电路图

13

?的计算方法 4. Eq?之间的夹角?。 ?与U??U??jXI??E??确定q轴方向，即求得E1）由EQqQQ2）Ud?Usin?；Uq?Ucos?；Id?Isin(???)；Iq?Icos(???)。

??Uq?Xd?Id。 3）Eq

三、用次暂态电势和和次暂态电抗表示的稳态方程和相量图

简单地说，有阻尼绕组的同步发电机相应的“暂态电势”和“暂态电抗”称为

??、Ed??。与无阻尼绕组的同步发电机??和Xd??、Xq次暂态电势和次暂态电抗，并记为Eq???在短路瞬间不突变，因而可以从短???、E?类似，有阻尼绕组的同步发电机的E的Eqdq路前的正常运行方式求得其数值，再根据其不突变的特性用于短路后短路电流的计算。

??、Ed?? 1. 次暂态电势Eq（1）交轴次暂态电势

???EqXad [(XD?Xad)ψf?(Xf?Xad)ψD] （2-44）2XfXD?Xad??也不能突变。 短路瞬间ψf和ψD不能突变，因而Eq（2）直轴次暂态电势

????Ed（2-45）

XaqXQψQ

??也不能突变。 短路瞬间ψQ不能突变，因而Ed?? ??、Xq2. 次暂态电抗Xd（1）直轴次暂态电抗

2Xad(Xf?XD?2Xad)1???Xd?Xd?X??Xσ?Xad//Xfσ//XDσ σ2111XfXD?Xad??XadXfσXDσ （2-46）

??的等值电路和等值磁路 Xd 14

ffX?d??ddDDXDσDDdffd?XfσXσXσXDσDDX?ad?XXadfσXX?d??ad

图2-9 X?d?的等值电路和等值磁路

（2）交轴次暂态电抗

X???XX2aqqq?X?Xσ?1?Xσ?Xaq//XQσ Q1X?1aqXQσX?q?的等值电路和等值磁路 qX?q??qqQQQ?XσXQσXQσQX?q??XX?aqqaqXaqXσ

图2-10 X?q?的等值电路和等值磁路

3. 电压方程式、等值电路图及相量图

ud ?E?d??Xq??iq ； uq?E?q??Xd??id U?d?E??d??jX?q?I?q ； U?q?E??q??jX?d?I?d 这是同步发电机稳态运行电压方程式的又一形式。

2-47）

2-48）2-49）

15

（

（

（

q??jXd?Id???Eq?EQ???Eq?U?UqjXqI????IjXqqd?I????IjXdd???ED?U???jEQX??jXq???Q??Iq???D?Iq?I????IjXqq???Ed?Ud???U??EIdddd图2-11 用次暂态参数表示的相量图和等值电路图

??、Ed??的计算方法 4. Eq?之间的夹角?。 ?与U??U??jXI??E??确定q轴方向，即求得E1）由EQqQQ2）Ud?Usin?；Uq?Ucos?；Id?Isin(???)；Iq?Icos(???)。

???Uq?Xd??Id；Ed???Ud?Xq??Iq。 3）Eq

四、本节小结

1. 同步发电机的电抗

??Xq???(?)Xd???Xσ Xd?Xq?Xd（2-50）

2. 同步发电机的电势

（1）总相量图。如图2-12所示。 （2）大小关系

??Eq???UqEq?EQ?Eq（2-51）

（3）计算方法

?之间的夹角?。 ?与U??U??jXI??E??确定q轴方向，即求得E1）由EQqQQ

2）Ud?Usin?；Uq?Ucos?；Id?Isin(???)；Iq?Icos(???)。

??Uq?Xd?Id；Eq???Uq?Xd??Id；Ed???Ud?Xq??Iq。 3）Eq?Uq?XdId；Eq小贴士：关于公式的记忆方法

?、Eq??三个表达式可以归纳表示为下图，根据该图可以很容易得从记忆公式来看，Eq、Eq 16

出

?EqEq??EqId??Xd?XdXdUq??Uq?Xd?Id；Eq???Uq?Xd??Id Eq?Uq?XdId；Eq??为基础，将Eq??式中的下标d改成下标q、下标q改成下标d、+号改成—??表达式则可以Eq而Ed号即得

???Uq?Xd??IdEq???Ud?Xq??IqEd那么问题归结为如何记住上图？关键是要掌握上图有以下特点：1）与电压、电势有关的量下标均为q，除此之外的均为下标d；2）电抗与电势上标的对应关系为“″”对应“″”、“′”对应“′”、无上标对应无上标。

qjXdI?q?j(Xd?Xq)Id?jXdId??IjXdd?E?EqjXI????IjXdd?jXEQd?I????EqE????jXd?I?E?Q??Eq???ED??UUq???IjXq???Q?????I?Iq???D???IjXqqd???U??EIddd

图2-12 总相量图

17

??0.23，Xd???0.12，【例2-1】已知一台同步发电机参数如下：Xd?1.1，Xd???0.15。运行在额定容量、额定电压、cos??0.85（滞后）的情况下，Xq?1.08，Xq?、Eq??、Ed??，并作相量图，计算发电机机端突然三相短路Id??、求短路前EQ、Eq、Eq?、Id。 Id解：取基准功率等于额定容量，基准电压等于额定电压。

cos??0.85，则??31.790

??1?00，则I??1??31.790 令U（1

00??U??jXI?E1.08?1??31.790?1.5689?j0.9180?1.8177?30.33 Qq?1?0?j）

??30.330

（2）Uq?Ucos??1?cos30.330?0.8631

0 Ud?Usin??1?sin30.33?0.5050

Iq?Icos(???)?1?cos(30.330?31.790)?1?cos61.120?0.4676

Id?Isin(???)?1?sin61.120?0.8839

（3）Eq?Uq?XdId?0.8631?1.1?0.8839?1.8354

??Uq?Xd?Id?0.8631?0.23?0.8839?1.0664 Eq???Uq?Xd??Id?0.8631?0.12?0.8838?0.9692 Eq???Ud?Xq??Iq?0.5050?0.15?0.4676?0.4349 Ed???（4） Id??0.9692Eq??8.0767 ??Xd0.12??0.4348Ed??2.8987 ??Xq0.15??? Iq??Id?1.0664Eq??4.6365 ?Xd0.23EqXd?1.8355?1.6685 1.1 Id?（5）相量图：如图2-12所示。

【例2-2】某台发电机额定功率为SN?60MVA，额定电压为UN?10.5kV，

????0.3，Xd???0.2，XqXd?1.4，Xq?1.2，Xd?0.23。发电机正常运行时输送功

?、Eq??、Ed??的有名值。 率为(50?j10)MVA，机端电压为10.2kV。求发电机的Eq、Eq解：取SB?SN?60MVA，UB?UN?10.5kV。则

18

U?10.2?0.9714；S?10.5??0.9714?00，则 令U*50?j10?0.8333?j0.1667 60??S?0.8333?j0.1667?0.8578?j0.1716?0.8748??11.310 I*0.9714U??U??jXI??0.9714?00?j1.2?0.8748??11.310?1.1773?j1.0294EQq?1.5639?41.170

所以

00 ?0?41.17；?0?11.31

00 Id?Isin(?0??0)?0.8748sin(41.17?11.31)?0.6983

Iq?Icos(?0??0)?0.8748cos(41.170?11.310)?0.5328

0 Ud?Usin?0?0.9714sin41.17?0.6395

Uq?Ucos?0?0.9714cos41.170?0.7312

Eq?Uq?XdId?0.7312?1.4?0.6983?1.7025

??Uq?Xd?Id?0.7312?0.30?0.6983?0.9393 Eq???Uq?Xd??Id?0.7312?0.20?0.6983?0.8700 Eq???Ud?Xq??Iq?0.6395?0.23?0.5328?0.5200 Ed10.5?10.3212kV 3?有名值（相）?0.9393?10.5?5.6944kV Eq3??有名值（相）?0.8700?10.5?5.2742kV Eq310.5??有名值（相）?0.5200??3.1524kV Ed3Eq有名值（相）?1.7025?小贴士：关于基准值的合理选择

本例与上例共同点是只有发电机一个元件，不同点在于本例为非额定运行状态，而上例为额定运行状态。对于发电机电势的计算，若为额定运行状态，大家一般都会选择元件的额定参数作为基准值，这样，元件参数标幺值不必换算可以直接使用；但对于非额定运行状态，大家一般会在元件额定参数、或实际运行参数之间选择基准值。若选择元件额定参数作为基准值，则元件的参数标幺值同样不必换算可以直接使用；但若选择实际运行参数为基准值，则元件的参数标幺值就必须进行换算不可直接使用了（切记！！！），这样计算过程势必复杂了。

第三节 应用同步发电机基本方程的拉式运算形式

分析突然三相短路电流

机端三相短路，即ua?ub?uc?0；经派克变换后，可得ud?uq?u0?0。

一、无阻尼绕组同步发电机

19

1. 基本方程和已知条件 电压方程

ud??rid?p?d??q （2-52）

uq??riq?p?q??d（2-53）

uf?rfif?p?f（2-54）

磁链方程

?d??Xdid?Xadif （2-55）

?q??Xqiq （2-56）

?f??Xadid?Xfif （2-57）

已知条件

即不调节励磁 （2-58） uf?const.，

2. 应用叠加原理求故障分量方程 令

ud?ud|0|??ud，uq?uq|0|??uq，uf?uf|0|??uf； id?id|0|??id，iq?iq|0|??iq，if?if|0|??if；

?d??d|0|???d，?q??q|0|???q，?f??f|0|???f。 式中，下标|0|表示短路的正常值。

小贴士：

这样做的目的，是因为各变量的故障分量的初值均为0，这样根据拉氏变换的（时域）导数性质，拉式运算形式的方程不存在常数项而变得简单。

代入基本方程，可得故障分量方程

?ud??r?id?p??d???q （2-59） ?uq??r?iq?p??q???d （2-60）

?uf?rf?if?p??f （2-61） ??d??Xd?id?Xad?if （2-62）

??q??Xq?iq （2-63）

??f??Xad?id?Xf?if （2-64）

20

阻下降，励磁机励磁电流增加，从而使发动机励磁电压uf增加，使发电机机端电压恢复。

因为励磁机励磁绕组的电感，uf增加有一个过程，如图2-21所示。uf增加的规律为

ufTff?ufmuf0ufm0t

图2-21 uf的变化曲线

uf?uf0??uf?uf0?(ufm?uf0)(1?e?tTff)?uf0??ufm(1?e?tTff（2-170） )

式中，ufm是强行励磁后的最高励磁电压；?ufm是励磁电压增量，产生一个强制分量，使发电机励磁电流增加?ifm??ufm；Tff是励磁机励磁绕组回路的时间常数。 rf故障时，?uf(p)和?ud(p)、?uq(p)同时作用，下面应用叠加原理进行分析。 第一步：?uf(p)?0，?ud(p)、?uq(p)作用的情况。这就是前二节分析的情况，不再赘述。

第二步：?uf(p)?0，?ud(p)??uq(p)?0的情况。以无阻尼绕组为例分析如下：

0??r?Id(p)?p?Ψd(p)??Ψq(p) （2-171） 0??r?Id(p)?p?Ψq(p)??Ψd(p) （2-172）

?Ψd(p) ＝G(p)?Uf(p)?Xd(p)?Id(p)

（2-173）

?Ψq(p)??Xq?Iq(p) （2-174）

式（2-173）、式（2-174）代入式（2-171）、式（2-172），并整理得

[r?pXd(p)]?Id(p)?Xq?Iq(p)?pG(p)?uf(p) （2-175）

46

Xd(p)?Id(p)?(r?pXq)?Iq(p)?G(p)?uf(p) （2-176）

式（2-175）、式（2-176）是一个二元一次方程，可求得 ?Id(p)?pG(p)?uf(p)(r?pXq)?XqG(p)?uf(p)[r?pXd(p)](r?pXq)?Xd(p)Xq(p2?1)Xq?pr[r?pXd(p)](r?pXq)?Xd(p)Xq

? G(p)?uf(p) （2-177）

?Iq(p)? ?[r?pXd(p)]G(p)?uf(p)?pXd(p)G(p)?uf(p)

[r?pXd(p)](r?pXq)?Xd(p)XqrG(p)?uf(p)

[r?pXd(p)](r?pXq)?Xd(p)Xq（2-178）

不计定子电阻，即令r?0，则

?Id(p)?(p2?1)Xqp2Xd(p)Xq)?Xd(p)XqG(p)?uf(p)?G(p)?uf(p) （2-177） Xd(p) ?iq(p)?0 （2-179）

无阻尼绕组时，有

G(p)?Xad （2-180）

rf?pXf2pXad Xd(p)?Xd? （2-181）

rf?pXf式（2-180）、式（2-181）代入式（2-177），可得

Xadrf?pXf?Id(p)??uf(p) 2pXadXd?rf?pXf ?Xad?uf(p) 2rfXd?p(XfXd?Xad) ?Xad?XX1Xdrf?1?pf(Xd?rfXdXf??2ad?)????uf(p)

47

?Xad ?uf(p) （2-182）

Xdrf(1?pTd?)

对?uf??ufm(1?e?tTff)进行拉氏变换，可得

????11?ufm?? ?uf(p)??ufm?? （2-183） ?p1?p(pTff?1)p??Tff???式（2-183）代入式（2-182），可得

?Id(p)?Xad?ufm

?Xdrf(1?pTd)p(pTff?1)X?ufm?adXdrf?1?Td?2Tff2???? ????p(Td?Tff)(1?pTd)(Td?Tff)(1?pTff)??1?XadTd?2Tff2??ifm??? ? （2-184）???Xdp(T?T)(1?pT)(T?T)(1?pT)dffddffff??对式（2-184）进行拉式反变换，得

tt????T?eTd??TeTffXadff?id(t)??ifm?1?dXdTd??Tff?????EqmF(t) （2-185）?? X?d?式中

?Eqm?Xad?ifm （2-186）

F(t)?1?则定子a相电流增量为

?ia?Td?e??TffeTd??TfftTd??tTff （2-187）

?EqmXd（2-188） F(t)cos(t??0)

F(t)是Td?和Tff的函数。由于Tff为常数，则Td?越小，F(t)上升越快。Td?与发电机机

端到短路点的距离X有关，即

Td??Tf??XXd （2-189）

Xd?X 48

显然，X越小，则Td?越小，F(t)上升越快。从物理意义上来看，这是因为短路点离发电机越近，对发电机的影响越大。

强行励磁对定子短路电流的影响如图2-22所示。

II?I??ImF(t)

图2-22 强行励磁对定子短路电流的影响

0t

思考题

1．理想同步发电机的假设条件是什么？

2．如何选定同步发电机的坐标轴、磁链、电流和电压的正方向？如何理解一定的方程式总是和其中各物理量规定正方向相对应？

3．对于凸极式同步发电机，与定子绕组有关的电感系数为什么是变化的？如何变化？

4．研究电力系统暂态过程中，为什么要引用戈列夫—派克方程？派克变换的实质是什么？

5．经过派克变换后，同步发电机磁链方程式的电感系数有什么特点？为什么？ 6．同步发电机派克方程中，哪些分量为变压器电势？哪些变量为发电机电势？为什么？

?有何意义？ 7．同步发电机正常运行时的相量图是怎样作出的？虚构电势EQ?和次暂态电动势Eq??、Ed??变量？ 8．为什么同步发电机要引入暂态电动势Eq??的意义。 ?、Xd??、Xq9．试用电路和磁路解释Xd、Xq、Xd10．试比较凸极式同步发电机以下两组参数的大小，并简要说明理由。

??；?、Eq??。 ?、Xd??、Xq（1）Xσ、Xd、Xq、Xd（2）EQ、Eq、Eq?、Xd??、Xd?；Eq??三组参数表示Id的三个表达式，并说11．写出以Eq、Xd；Eq明上述三个公式适用的运行状态。

12．无阻尼绕组同步发电机的时间常数Td?、Ta如何确定？有阻尼绕组同步发电

49

机的时间常数Td??、Tq??、Td?、Ta如何确定？

13．发电机机端三相短路时，定子三相电流中有哪些分量？为什么会出现这些分量？各分量以什么时间常数衰减？隐极式同步发电机定子三相短路电流是否会出现倍频分量？为什么？

14．同步发电机供电的电路中发生三相短路与无限大电源供电的电路中发生三相短路时，在短路电流的波形上有何不同？为什么？

习题及解答

1．已知下列三种发电机定子三相电流。求id、iq、i0。

00（1）ia??Imcos?t；ib??Imcos(?t?120)；ic??Imcos(?t?120)。 00（2）ia??Imcos?t；ib??Imcos(?t?120)；ic??Imcos(?t?120)。

（3）ia??Imcos?t；ib??Imcos?t；ic??Imcos?t。

解： idq0?Piabc 其中

??00?cos(?t??0)cos(?t??0?120)cos(?t??0?120)?200 P???sin(?t??0)?sin(?t??0?120)?sin(?t??0?120)?

?3?111????222??设???t，???t??0。

（1） ia??Imcos?，ib??Imcos(??120)，ic??Imcos(??120)。即ia、ib、

ic为正序电流。则

2id??Imcos?cos??cos(??1200)cos(??200)?cos(??1200)cos(??1200)

32??Imcos?cos??(cos?cos1200?sin?sin1200)(cos?cos1200?sin?sin1200)

300??? ?(cos?cos1200?sin?sin1200)(cos?cos1200?sin?sin1200)?

??2Imcos?cos??2cos?cos1200cos?cos1200?2sin?sin1200sin?sin1200 3??2?13???Im?cos?cos??cos?cos??sin?sin??

3?22?2?33???Im?cos?cos??sin?sin??

3?22???Imcos(???)

50

1?)(1?q) (2-148) ＝(Tf??TD2??TD???TD??d?（注：??1）由于Tf???TD，则q?1且Td???Td??。Td?、Td??的简化计算。?d那么

??Tf??Tf??Td?0Td??TD?XdX??Tfd XdXd

(2-149)

Td???????XdTf?TD???Td???TD0??Tf??TDXd

(2-150)

由Xd(p)?0得

Xq?2pXaqrQ?pXQ?0

2p(XqXQ?Xaq)?XqrQ?0

p??rQXqXqXQ?X2aq （2-157）

22?????XaqXqXq1XqXQ?XaqXQ1????Xq??TQ?TQ Tq????? （2-158）

??prQXqrQXq?Xq?XqXq式中

Tq??0?TQ?defXQrQ，交轴阻尼绕组本身的时间常数。相当于qq开路时，QQ绕组回

路的时间常数。

Tq???TQ??XqXq，交轴次暂态分量衰减的时间常数。相当于qq短接时，QQ绕组回

路的时间常数。

rQXQσXσTq???QQqq?

Tq???Xaq 图2-18

Tq??的等值电路图

Tq??时间常数由交轴阻尼绕组回路时间常数决定，所以相应的电流自由分量是为

36

了保持交轴阻尼绕组磁链不变而出现。

B．求定子绕组对应的时间常数。令rf?rD?rQ?0，则

22Xad(Xf?XD?2Xad)Xad(XDσ?Xfσ)??（直轴次暂态电抗） Xd(p)?Xd? ?X??Xdd22XfXD?XadXfXD?Xad Xq(p)?Xq?特征方程为

2XaqXQ??（交轴次暂态电抗） ?Xq??)(r?pXq??)?Xd??Xq???0 （2-159）D(p)?(r?pXd

??Xq??p2?r(Xd???Xq??)p?Xd??Xq???r2?0 Xdp1,2????Xq??)?r2(Xd???Xq??)2?4Xd??Xq??(r2?Xd??Xq??)?r(Xd??Xq??2Xd?11?????X??X???q??d22?r?11r??j1? ???????Xq???2?Xd4? ＝??j? （2-160）

???Xq??)r(Xdr?11???? ?????????2?Xd???Xq??Xq??2Xdr?11????1（近似为基频） ???1????Xq???4?Xd?22Ta??1????Xq??2Xd???Xq??)r(Xd （2-161）

3）求id、iq

?id中有：

① 自由分量由初值

uq|0|??Xd衰减到稳态分量

uq|0|Xd，其衰减的时间常数有Td?、Td??。它

是为保持转子ff、DD绕组磁链不变而出现的。由于Td?>>Td??，所以自由分量衰减分两步进行：

第一阶段。由Td??决定，称为次暂态过程。由次暂态分量初值

uq|0|??Xd衰减到暂态分

37

量初值

uq|0|?Xd。

t??0?0Eq??Td???Eq???－?e?Xd???Xd???uq|0|uq|0| ??X??－X?d?d??Tt???ed ??次暂态电流 暂态电流

第二阶段。由Td?决定，称为暂态过程。由暂态分量初值

?uq|0|uq|0| ??X?－Xd?dt?0Eq0??Td??Eq???－?e?Xd?Xd??uq|0|?Xd衰减到稳态分量

uq|0|Xd。

??Tt??ed ??暂态电流 稳态电流

② 交流分量由初值?u|0|cos(t??0)衰减到0，其衰减的时间常数为Ta。它是为??Xd?u|0|?cos(t??0)eTa

??Xdt了保持定子绕组磁链不变而出现的。

③ 稳态分量为

uq|0|Xd

所以

?id?uq|0|Xd??0?0Eq?Eq??－?Xd???Xd??0Eq0??Tt???Eqd?e??－??XdXd???t???Tt?u|0|T?ed? cos(t??0)ea （2-162）???Xd?id?id|0|??id

t??0Eq?0??Tt???Eq?0Eq0??Tt?u|0|??Eq|0|uq|0|?uq|0|?EqTa??ed???ed?? ＝????－－cos(t??)e0?X?X?X????X?????XXXXd?dd?d?d?d?d?d??0Eq?0?Eq＝??－????Xd?XdXdEq|0|t?0Eq0??Tt?u|0|???Ttd???EqT?e???ed? －cos(t??0)ea （2-163）??X????Xd?Xd??d 同理，?iq中有：

① 直流分量由?ud|0|ud|0|衰减到稳态分量?，其衰减的时间常数为Tq??。它是为??XqXq 38

了保持QQ绕组的磁链不变而出现的。

??0?Tt??Ed?ud|0|ud|0|??Tq???e??－ed ???X??X???Xqq??qu|0|sin(t??0)衰减到0，其衰减的时间常数为Ta。它是为了保持② 交流分量由??Xq定子绕组的磁链不变而出现的。

?u|0|sin(t??0)eTa ??Xqtt

③ 稳态分量为

?所以

ud|0|Xq

?iq＝－??0Ed??Xq?etTq???u|0|??Xqsin(t??0)e?tTa－ud|0|Xq （2-164）

iq?iq|0|??iq

＝ud|0|Xq－??0Ed??Xq??et??Tq?uu?|0|sin(t??0)eTa－d|0|

??XqXqtt＝－??0Ed??Xqet??Tq?u|0|（2-165） ?sin(t??0)eTa

??Xq4）由id、iq求定子a相电流

ia?idcos(t??0)?iqsin(t??0)tt????|0|Eq?|0|??EE?Eq??q|0|q|0|???cos(t??0)eTd???cos(t??0)eTd?　 ?cos(t??0)?????X???X???XdXdXd?dd????

ttt?????|0|Edu|0|?1u|0|?11?1?Tq??Ta?????sin(t??0)e??cos(?0??0)e??cos(2t??0??0)eTa????Xq?????Xq???Xq2?2??Xd??Xd? Eq|0| （2-166） 由此可见，定子电流有四个分量： ① 交流稳态分量：

Eq|0|Xdcos(t??0)，强制分量，是短路后的稳态电流。

39

tt????|0|Eq?|0|??EE?Eq??q|0|q|0|??TdTd????② 交流基频衰减分量：? ?cos(t??)e??cos(t??)e00?X??X???X??Xd?d??d?d???|0|EdT???sin(t??0)eq，自由分量，是为了保持励磁绕组磁链不变而出现的。

??Xqtt??u|0|?11T?cos(?0??0)ea， ③ 非周期分量（或称直流衰减分量）：??自由分量，?????Xq???2?Xd是为了保持定子绕组磁链不变而出现的。

t??u|0|?11??cos(2t??0??0)eTa，自由分量，是为了保持是为④ 倍频分量：????Xq???2??Xd?了保持定子绕组磁链不变而出现的。

5）求励磁绕组电流

?if中有：

Xaduq|0|XDσXaduq|0|① 直流分量由次暂态分量初值衰减到暂态分量初值，其2?XX??XfXD-XadXdfd衰减的时间常数为Td??；再由暂态分量初值衰减到0(?uf?0)，其衰减的时间常数为

Td?。

?XDσXaduq|0|Xaduq|0|??Td??Xaduq|0|?Td? ??e?XX?X2X???XX???e?XXdfd?fdad?fDtt

② 交流分量由初值?u|0|XDσXadcos(t??0)衰减到0，其衰减的时间常数为2??XdXfXD?XadTa。

?XDσXadu|0|?cos(t??0)eTa 2??XfXD?XadXdtif的正常分量为

if|0|?所以

Eq|0|Xad

if?if|0|??if

40

?Eq|0|Xad?XDσXaduq|0|Xaduq|0|??Td??Xaduq|0|?Td?????XX?X2X???XX??e?XX?edfd?fdad?fD （2-167）

ttt?XDσXadu|0|Ta?cos(t??)e02??XdXfXD?Xad6）求直轴阻尼绕组电流

?iD中有：

① 直流分量由次暂态分量初值间常数为Td??。

XDσXaduq|0|?Td?? e2??XdXfXD?XadtXfσXaduq|0|衰减到稳态分量0，其衰减的时2??XdXfXD-Xad

② 交流分量由初值?u|0|XfσXadcos(t??0)衰减到0，其衰减的时间常数为2??XfXD?XadXdTa。

?u|0|XfσXad?cos(t??0)eTa 2??XfXD?XadXdtiD的正常分量为0。

所以

?u|0|XDσXaduq|0|?Td??XfσXadiD?e?cos(t??0)eTa 22????XfXD?XadXdXfXD?XadXdttXDσXad ?2XfXD?Xadt??uq|0|?Tt??u|0|ed?cos(t??0)eTa?????Xd??Xd? ? （2-168）

??7）求交轴阻尼绕组电流

?iQ中有：

Xaqud|0|① 直流分量由初值?衰减到0，其衰减的时间常数为Tq??。

??XQXqXaqud|0|?Tq?e ???XQXqXaqu|0|sin(t??0)衰减到0，其衰减的时间常数为Ta。 ② 交流分量由初值

??XQXq

41

t?Xaqu|0|sin(t??0)eTa ??XQXqtiQ的正常分量为0。

所以

iQ?iQ|0|?Xaqud|0|?Tq?Xaqu|0|??iQ??e?sin(t??0)eTa

????XQXqXQXqtttt?Xaq?ud|0|?Tq?u|0|??e?sin(t??0)eTa????XQ?XqXq??? (2-169) ??

第四节 同步发电机三相短路的物理过程分析

无限大功率电源供电的三相短路时，不考虑电源内部的暂态过程。而实际系统中发生短路故障时，同步发电机的电势在短路后的暂态过程中随时间而变化，并不能保持其端电压不变，且其内阻抗也不为零，因此分析和计算电力系统短路时，一般必须考虑作为电源的同步发电机内部的暂态过程。

由于同步发电机转子的惯性较大，可以认为在短路后的暂态过程中，转子的转速没有什么变化，仍然保持同步转速不变，即认为在短路后的暂态过程中频率保持恒定。这样，在分析突然短路的暂态过程时，只需考虑同步发电机内部的电磁暂态过程。

一、突然短路暂态过程的特点

同步发电机由多个相互耦合的绕组构成，定、转子绕组之间还有相对运动，其突然短路暂态过程要比无限大功率电源电路复杂得多，特点如下：1）同步发电机对称稳定运行时，电枢磁势的大小不随时间而变化，在空间以同步速度旋转，它与转子没有相对运动，不会在转子绕组中感应电流；2）突然短路时，定子电流在数值上发生急剧变化，电枢反应磁通也随着变化，并在转子绕组中感应电流，这种电流又反过来影响定子电流的变化。这种定子和转子绕组电流的相互影响使暂态过程变得非常复杂。

二、无阻尼绕组同步发电机三相短路的物理过程分析

为分析简单起见，下面以无阻尼绕组同步发电机为例进行分析。

同步发电机正常稳态运行时，励磁绕组中流过大小不变的直流电流if0，它产生的归算到定子侧的总磁链为?f0，其中一部分磁链?fσ0只与励磁绕组本身交链，称为励磁绕组漏磁链；另一部分磁链?fd0经空气隙进入定子，并与定子绕组交链，称

42

为同步发电机的工作磁链或空载磁链。?fd0随转子以同步速旋转，因而为定子绕组所切割，在定子绕组中感应产生空载电势Eq0。定子绕组与外部电路接通时，绕组中将有同步频率的交流电流iω0流通。定子三相绕组中的电流所产生的磁场在气隙中形成一个大小不变、以同步速随转子旋转的旋转磁场。其中只与定子绕组交链的那部分磁链称为定子绕组的漏磁链?σ0；经空气隙进入转子并与转子绕组交链的那部分磁链称为电枢反应磁链。电枢反应磁链一般可分为直轴电枢反应磁链?ad0和交轴电枢反应磁链?aq0两个分量。

当同步发电机突然三相短路时，由于外接阻抗减小，定子绕组电流将增大，相应的电枢反应磁链将增大，原来稳定状态下电机内部的电磁平衡关系遭到破坏。但在短路瞬间，为遵守磁链守恒定律，各绕组为了保持自身磁链不变，都将出现若干新的磁链和电流分量。这些磁链和电流分量的产生和变化形成从一种稳定运行状态过渡到另一种稳定状态的过渡过程，即暂态过程。

以下分别从定子绕组和转子绕组磁链守恒的角度来分析突然短路的暂态过程中将出现哪些电流分量（或磁链分量）。

（1）就转子励磁绕组而言，短路瞬间，由于定子外接阻抗减小，定子绕组将产生一个基频交流电流增量?iω，相应的电枢反应磁链也将增大，电枢反应磁链的增大将减小励磁绕组原有的磁链。励磁绕组为了保持它的磁链守恒，必然会增大励磁电流和相应的磁链以抵消电枢反应磁链的作用，于是励磁绕组中除了原有的励磁电流

if0外，还将增加一个直流分量?ifα。随着励磁电流的增加，工作磁链和相应的空载

?。?iω?随?ifα电势也将增大，与此相对应，定子绕组中将增加一新的基频交流分量?iω的产生而产生，它们都是没有外部电源供给的自由电流分量。如果各绕组没有电阻，短路过程中，它们的大小都将保持短路瞬间的初值不变。但实际上，由于电机各绕

?将随?ifα以定子绕组短接时励磁绕组的时间常组都有电阻，因此，短路过程中，?iω数Td?按指数规律衰减到零。

?二者所引起的磁链（2）就定子绕组而言，电枢反应磁链的增大（包括?iω和?iω增量），将改变它原有磁链的大小，定子绕组为了保持它的合成磁链不变，短路瞬间必须产生一大小与电枢反应磁链增量相等、方向与之相反的磁链。与这磁链相对应的磁场在空间静止不动。为了形成这样一个磁场，定子绕组中应有一直流电流分量。在凸极式发电机中，由于定子绕组磁通路径上的磁阻随转子以两倍同步频率周期变化，因而这些直流电流的大小将以两倍同步频率脉动。为便于分析，一般将每相绕

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组中的脉动直流分解为恒定直流?iα和两倍同步频率的交流电流?i2ω两个分量。

（3）再就定子绕组和转子绕组的关系而言，励磁绕组随转子旋转将切割定子绕组在空间形成的静止不动的磁场，并感应产生一同步频率的交流电流?ifω。这一电流在转子中产生同步频率的脉振磁场，这个脉振磁场可以分解为两个以同步速、反方向旋转的旋转磁场，其中与转子旋转方向相反的反转磁场与定子绕组相对静止，它与?iα产生的磁场相对应；与转子旋转方向相同的正转磁场相对于定子绕组以两倍同步速旋转，它与?i2ω产生的磁场相对应。定子绕组中出现的脉动直流（?iα和?i2ω）和转子绕组中出现的基频交流?ifω，它们也都是没有外部电源供给的自由电流分量。如果各绕组没有电阻，它们的大小都将保持短路瞬间的初值不变。但实际上，由于各绕组都有电阻，因此短路过程中，?ifω将随（?iα+?i2ω）以励磁绕组短接时定子绕组的时间常数Ta按指数规律衰减到零。

定子和转子绕组中各种电流分量及它们之间的相互依存关系如图2-19所示。

强制分量定子电流自由分量iω0外接阻抗减小?iω??iωEq定子绕组磁链守恒?iα??i2ω正行常状运态转子电流励磁磁链绕守组恒?ifαTd?增大??Ta??if0?ifω

图2-19 定子和转子电流的相互关系示意图

总结上述分析，无阻尼绕组同步发电机定子突然三相短路前后，定、转子各绕组电流发生了如下变化：

???iα??i2ω?i??Δiω???iα??i2ω （iω0?Δiω）?Δiω定子绕组：i?0?励磁绕组：if0?if0??ifα??ifω

?对应，在暂态过程中均以Td?按指数其中，i?为短路后的稳态短路电流；?ifα与?iω规律衰减到0；与?ifω对应，在暂态过程中均以Ta按指数规律衰减到0。 （?iα??i2ω）

三、有阻尼绕组同步发电机三相短路的物理过程分析

与无阻尼绕组同步发电机比较，有阻尼绕组同步发电机转子上除了励磁绕组外，多了直轴阻尼绕组和交轴阻尼绕组，其电磁暂态过程更为复杂。直轴阻尼绕组和交

44

轴阻尼绕组为了保持自身磁链不变，也会出现相应的新磁链和电流分量，但其机理与无阻尼绕组同步发电机是相同的。在此不再赘述。

有阻尼绕组同步发电机定子突然三相短路前后，定、转子各绕组电流发生了如下变化：

???Δiω???iα??i2ω?i???iω???Δiω???iα??i2ω （iω0?Δiω）??iω定子绕组：i?0?励磁绕组：if0?if0??ifα??ifω 直轴阻尼绕组：0??i Dα??iDω 交轴阻尼绕组：0??i Qα??iQω

??对应，在暂态过程中均以Td??按其中，i?为短路后的稳态短路电流；?i Dα与?iωd?对应，在暂态过程中均以Td?按指数规律衰减到0；?i Qα指数规律衰减到0；?ifα与?iω??对应，在暂态过程中均以Tq??按指数规律衰减到0；与?iωq与?ifω、?iDω、（?iα??i2ω）?iQω对应，在暂态过程中均以Ta按指数规律衰减到0。

小贴士：说明

在以上分析中，定、转子绕组在短路的暂态过程中都出现了新的电流增量，但实际上短路前后瞬间定、转子绕组的电流并没有发生变化（磁链守恒），也就是说，各绕组新增的电流分量之和在短路瞬间等于零。并且，在以上叙述中，将短路电流分解为各种分量，也只是为了分析和计算上的方便，实际上每个绕组中都只有一个总电流。

第五节 强行励磁对短路暂态过程的影响

f—励磁绕组pf_Gff_uffGG~TVRcff—励磁机励磁绕组pf—附加励磁机励磁绕组Rc—磁场变阻器。改变电阻，改变励磁电流KMU??KM—接触器U?—低电压继电器

图2-20 强行励磁系统示意图

小贴士：关于低电压继电器U<

当电压低时，U<接点闭合；当电压高时，U<接点断开（正常电压，接点断开）。

一般当发电机机端电压低于80～90%额定电压时，低电压继电器U<动作，其接点接通，接触器KM得电，其接点闭合，将磁场变阻器Rc短接，励磁机励磁回路电

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8y82.html