配套k12学习新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充

配套K12学习（小初高）

3.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是( )

A.A∪B=C C.A∩(?UB)=? 答案D

B.?UA=B D.B∪(?UB)=C

2若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有( ) A.m=±1 C.m=1

B.m=-1 D.m≠1

解析∵z是纯虚数,

∴解得

∴m=-1.故选B.

答案B

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

3以2i-A.2+i C.解析2i-答案B

i

的虚部为实部,以

B.2-2i D.-i

i-2的实部为虚部的复数是( )

的虚部为2,i-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.

4若a-2i=1+bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2= ( ) A.0 C.25

B.2 D.5

解析由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,

所以a2+b2=1+(-2)2=5. 答案D

5若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a= .

解析由答案-4

得a=-4.

6已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R).若z是纯虚数,则m= . 解析∵z为纯虚数,

∴答案-1

∴m=-1.

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

7已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),则当m= 时,z为实数;当m= 时,z为纯虚数.

解析当z为实数时,由m2-2m-3=0,

得m=3或m=-1.

当z为纯虚数时,由答案3或-1 6

得m=6.

8若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.

分析由于题目中两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.

解由题意,得

故实数m的值为3.

9定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.

解由定义运算=ad-bc,

可得=(3x+2y)+yi.

所以(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi.

由复数相等的充要条件得

解得

能力提升

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

1已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为( ) A.-1 C.6

B.-1或4 D.6或-1

解析∵M∩P={3},

∴(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.

∴∴m=-1.故选A.

答案A

2复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( ) A.|a|=|b| C.a>0,且a≠b

B.a<0,且a=-b D.a≤0

解析复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0. 答案D

3在下列命题中,真命题的个数是( )

①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i2>b+i2; ③若x2+y2=0,则x=y=0.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.

①由于x,y∈C,则x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题; ②由于i2=-1,且a>b,所以a+i2>b+i2成立,故②是真命题;

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

③当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故③是假命题.

答案B

4已知复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+isin θ.若z1=z2,则θ等于( )

A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)

C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)

解析由复数相等的充要条件可知

∴cos θ=,sin θ=.

∴θ=+2kπ(k∈Z),故选D.

答案D

5若1+A.b=2,c=3 C.b=-2,c=-1

i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则( )

B.b=-2,c=3 D.b=2,c=-1

解析由题意知b2-4c<0,则该方程的复数根为

解得b=-2,c=3. 答案B

,故=1+i,

★

6已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围

是 .

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

解析∵z1=z2,∴

∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1, ∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].

答案[3,5]

7是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6)+说明理由.

i为纯虚数?若存在,求出m的值;否则,请

分析先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解. 解不存在.理由如下:

假设存在实数m使z是纯虚数,

则

由①,得m=-2或m=3.

当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.

★

8已知关于x的方程x2-(1-i)x+m+2i=0有实根,求实数m的值,并解方程.

分析本题考查复数相等和复系数一元二次方程的解.复系数一元二次方程有无实根不能用判别式Δ=b2-4ac进行判定,应由方程左右两边的实部与虚部分别相等转化为实数问题后再来判断. 解设x0为方程的实根,

则有-(1-i)x0+m+2i=0成立,

即-x0+m+(x0+2)i=0.

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

所以解得

把m=-6代入原方程, 得x2-(1-i)x-6+2i=0, 即x2-x-6+(x+2)i=0, 所以(x+2)(x-3)+(x+2)i=0, 即(x+2)(x-3+i)=0. 所以x=-2或x=3-i.

故m=-6,且方程的解为x=-2或x=3-i.

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8y7p.html