3.1.1方程的根与函数的零点

§3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学目标

1． 知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2． 过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 3． 情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定．

三、学法与教学用具

1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本

节课的教学目标。 2． 教学用具：投影仪。 四、教学设想

(一)创设情景，揭示课题

2

1、提出问题：一元二次方程 ax+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）

2①方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3 2②方程x?2x?1?0与函数y?x?2x?1

22

2 ③方程x?2x?3?0与函数y?x2?2x?3

2

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ （二） 互动交流 研讨新知 函数零点的概念：

对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点．

函数零点的意义：

函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：

方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 函数零点的求法：

求函数y?f(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)?0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法； ②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 二次函数的零点：

二次函数 y?ax2?bx?c(a?0)．

（１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 3．零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数f(x)?x?2x?3的图象： ① 在区间[?2,1]上有零点______；

2222f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞＝）． ② 在区间[2,4]上有零点______； f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数y?f(x)的图象

① 在区间[a,b]上______(有/无)零点；

f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）． ② 在区间[b,c]上______(有/无)零点； f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）． ③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间

的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． （三）、巩固深化，发展思维

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1． 求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。 问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数y?x3?2x2?x?2，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题 （四）、归纳整理，整体认识

1． 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些； 2． 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

（五）、布置作业

P102页练习第二题的（3）、（4）小题。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8y1h.html