大一高数微积分下册答案

第六章 定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区

nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.

2、根据定积分的几何意义，

??20xdx?2，

?1?11?x2dx?，

??sinxdx??0.

3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.

二、单项选择题

1、定积分

?baf(x)dx (C) .

(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)

?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx

111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx

00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)dx?0，则 (C) .

(A) 在[a,b]的某小区间上f(x)?0 (B) [a,b]上的一切x均使f(x)?0 (C) [a,b]内至少有一点x使f(x)?0 (D) [a,b]内不一定有x使f(x)?0 4、积分中值公式

?baf(x)dx?f(?)(b?a)中的?是 (B) .

(A) [a,b]上的任一点 (B) [a,b]上必存在的某一点

59

(C) [a,b]上唯一的某一点 (D) [a,b]的中点

db5、arctanxdx? (D) .

dx?a析：

?baarctanxdx是常数

(A) arctanx (B)

?1

(C) arctanb?arctana (D) 0 2

1?x

??34??sinxdx206、设I1??40xxd,I2??4xxdI,0，则I1,I2,3I的关系为 (B) . (A) I1?I2?I3 (B) I2?I1?I3 (C) I3?I1?I2 (D) I1?I3?I2 7、设I??10x4dx，则I的值 (A) . 1?x(A) 0?I?1111 (B) ?I?1 (C) ?I? (D) I?1

565212x4析：f(x)?在?0,1?上的最大值是，最小值是0，所以0?I?.

21?x2三、估计定积分I??ex?xdx的值.

022解 记f(x)?ex2?x,x?[0,2]，则f?(x)?(2x?1)ex?x，令f?(x)?0，得x?21. 2?1??22因为f???e4,f(0)?1,f(2)?e，所以f(x)在[0,2]上的最大值为e，最小值为

?2?e，从而 2e?141?14?I??ex?xdx?2e2.

022四、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0.

证明 由积分中值定理，存在一点??[a,b]，使得

1bf(x)dx?f(b).求证：至少

b?a?a?baf(x)dx?f(?)(b?a)，即

60

b1f(x)dx?f(?).又由题设可知，f(x)在[?,b]上连续，在(?,b)内可导，且有

b?a?af(?)?f(b)，根据罗尔定理，存在一点??(?,b)?(a,b)，使得f?(?)?0.

§6.3微积分的基本公式

一、填空题

1、若f(x)??x20t?1?t2dt，则f?(x)?32x3?1?x4. 3.

dx3dx2、?dx?x21?t43x21?x?12?2x1?x8?3、极限limx?0x0sin3tdt1?cosx3.

4、定积分

?41x?2dx?52.

5、设f(x)??y01?x,x?0，则?f(x)dx??1?sinx,x?02cos1?12.

6、由方程

?etdt??costdt?0所确定的隐函数y?y(x)的导数

0xdy?dx?cosxey2.

7、设f(x)是连续函数，且

?x3?10f(t)dt?x，则f(7)??3112.

8、设f(x)?101113?xf(x)dx，则?0?0f(x)dx?1?x210.

1析：设

?f(x)dx?A，则等式两端同时积分得?111f(x)dx??dx??x3?Adx 201?x0 A?arctanx|0?A?,?143??A?,A?. 4439、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0，则方程

?xaf(t)dt??xb1dt?0在开f(t)区间(a,b)内有1个实根.

61

析：设F(x)??xaf(t)dt??F(a)??abxb1dt，则有 f(t)b1dt?0,F(b)??f(t)dt?0,

af(t)由根的存在定理知至少有存在一个???a,b?使得F(?)?0；

若方程有两个根，不妨设?1,?2即F(?1)?0,F(?2)?0,则由罗尔定理知,????a,b?使得F?(?)?0, 即使得f(x)?所以方程又且只有一个根.

1?0成立，这与f(x)?0矛盾， f(x)二、单项选择题

1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .

3dx1dx1dxdx(A) ? (B) ?1 (C) ? (D) ?

?1x2?12?1xlnxx?1e4?x1x2x2、设F(x)?f(t)dt，其中f(x)是连续函数，则limF(x)? (B) . ?ax?ax?a2(A) a (B) af(a) (C) 0 (D) 不存在

23、设f(x)??1?cosx0x5x6sintdt,g(x)??，则当x?0时，f(x)是g(x)的 (B) .

562(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: limx?0?0f(x)?limg(x)x?0x5x6?56?x01?cosxsint2dtx4()4?x?lim425?0. x?0x?x三、求limx?0t(et?1)dtx2sinx.

解 根据洛必得法则，得

62

?limx?0x0t(et?1)dtx2sinx??limx?0x0t(et?1)dtx3x(ex?1)x21?lim?lim2?. 2x?0x?03x3x3

?t四、求函数I(x)??tedt的极值.

0x2解 I?(x)?xe?x，I??(x)?e2?x2?xe?x(?2x)??1?2x2?e?x.令I?(x)?0，得驻点x?0,

22又I??(0)?1?0，所以x?0是I(x)得极小值点，极小值为I(0)?0.

?五、求?21?sin2xdx.

0???解

?201?sin2xdx??201?2sinxcosxdx??2(sinx?cosx)2dx

0?? ??20sinx?cosxdx???4040?cosx?sinx?dx???2?sinx?cosx?dx

4? ??sinx?cosx????cosx?sinx??0?2?4?22?2.

六、已知?(x?t)f(t)dt?1?cosx，证明：?2f(x)dx?1.

0x证明 原式可化为 x两边对x求导，得

?xx0f(t)dt??tf(t)dt?1?cosx，

0x?0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?sinx，即?f(t)dt?sinx，

0x令x?

?2

?，得?2f(t)dt?sin0?2??1，即 ?2f(x)dx?1.

0§6.4 定积分的换元积分法

一、填空题

1、设f(x)在区间[?a,a]上连续，则

?a?ax2[f(x)?f(?x)]dx?01200.

2、

?

911dx?x?x2ln2. 3、

?01?2(2x?1)99dx?.

63

4、

?e31dx?x1?lnx2. 5、

??1?1?x?1?x2?dx?22.

6、

x?x??22?x2dx?2ln3. 7、

102x?x2dx??4.

11?x2xe,??x??2?228、设f(x)??，则?1f(x?1)dx?12??1,x???2?12.

二、单项选择题

1、设f(x)是连续函数，

?baf(x)dx??f(a?b?x)dx? (A) .

ab(A) 0 (B) 1 (C) a?b (D) 析：令a?b?x?y，则

?baf(x)dx

baab?baf(x)dx??f(a?b?x)dx??f(x)dx??g(x)dy?0

ab2、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 (A) . (A) 若f(x)是奇函数，F(x)必为偶函数 (B) 若f(x)是偶函数，F(x)必为奇函数 (C) 若f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数 (D) 若f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数 析：(B)反例：f(x)?cosx,F(x)?sinx?1

(C)反例：f(x)?1,F(x)?x

2x(D)反例：f(x)?x,F(x)?1 2三、计算下列定积分

1、

??40t2?13?2333令2x?1?t?x?211?t2222. dx?tdt?t?3dt??3t??????1t2?12?332x?1?1ex?1dx令e?1?tx1?2t1??t?dt?21?dt?2t?arctant?2?. ??2??01?t2?0?2?1?t?0112、

ln2064

3、

?20x3?x2dx令x?3sint?arcsin0232arcsin3sint3?3costdt?3?sintdt

03costarcsin ??3cost023?3?1.

四、设f(x)是连续函数，证明：?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx.

?证明

??0xf(sinx)dx令x???t??(??t)f(sint)(?dt)=?(??t)f(sint)dt

?00 ?从而 2??0?f(sint)dt??tf(sint)dt???f(sinx)dx??xf(sinx)dx.

000?????0xf(sinx)dx???f(sinx)dx，即 ?xf(sinx)dx?0???20??0f(sinx)dx.

五、设f(x),g(x)在[?a,a](a?0)上连续，且f(x)满足条件f(x)?f(?x)?A（A为

常数）,g(x)为偶函数. （1）证明:

??a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；

0a（2）利用（1）的结论计算定积分

??sinxarctanedx.

2?2x(1)证明

?a?af(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx,

?a00a而

?0?af(x)g(x)dxa?a令x??t?a0af(?t)g(?t)(?dt)??f(?t)g(t)dt??f(?x)g(x)dx,

00aa所以

?f(x)g(x)dx??f(?x)g(x)dx??f(x)g(x)dx

00a ??a0?f(?x)?f(x)?g(x)dx?A?g(x)dx.

0a(2)解 取f(x)?arctane,g(x)?sinx,a?令 F(x)?f(?x)?f(x)?arctane?xx?xx?2，

?arctanex，

?e?xex?exex?????0， 则 F?(x)??arctane?arctane??1?e?2x1?e2x1?e2x1?e2x

65

所以 F(x)?A（常数），又F(0)?arctan1?arctan1?2arctan1?即 f(?x)?f(x)?A???2，

?2.

x于是有

??2?sinxarctanedx???2022?sinxdx???202?sinxdx??2.

§6.5 定积分的分部积分法

一、填空题

1、

???0xcosxdx??2.

22、已知f(x)的一个原函数是lnx，则3、

1?1?e1xf?(x)dx?1.

(x?x)edx?x?x2?4e?1.

?sint4、设f(x)??2. dt，则?f(x)dx?0??t0??sinx?sinx??(?cosx)|析：?f(x)dx?xf(x)|??xdx?(??x)dx0?2. 0?0??x?00??x二、计算下列定积分

1、

?320arccosxdx?xarccosx320??3203123d(1?x2) dx????2201221?x1?xx3 ???1?x2122、

320?31??. 1221?e1elnxdx??1e(?lnx)dx?lnxdx11e???xlnx??1e11x?dx?1xee1xlnx??x?dx

1x1e ??112?1??e?e?1?2?. eeeln203、

?ln20ln2xe?xdx??2xd(?e?x)??xe?x0???ln201e?xdx??ln2?e?x2ln201?(1?ln2). 2??1?cos2x11dx??2xdx??2xcos2xdx 4、?2xsinxdx??2x?0022020?66

?x22?????212?1???xd(sin2x)??xsin2x??2sin2xdx?

?24040164??0?0???2???16?1?4??0?1?2cos2x2??21?0???. ?16415、

?2xarcsinx12xarcsinx?1x（被积函数为偶函数）21?x2dx?2?01?x2d 1方法一 ： ??2?20arcsinxd?1?x2?

??2?11?22??1?xarcsinx?22?0?01?xdarcsinx??

? ??2??31??12???201?x2?11?x2dx??? ? ??2??31???2dx??1?3?. ?12?0???61?方法二 ：

?2xarcsinx?1?arcsinx21?x2dxt?6tsint??costdt 6cost? ?2?60td(-cost)?1?36?. 1ln(1?x)1?1?ln(1?16、

?110(2?x)2dx??0ln(1?x)d??2?x???x)2?x?0?02?xdln(1?x) ?ln2??1111?110(2?x)(1?x)dx?ln2?3?0??2?x??1?x??dx

?ln2?113??ln(2?x)?ln(1?x)??ln2?2ln2?1ln2.

033三、设f(x)是连续函数，证明：?x?0???u0f(t)dt?x??du??0(x?u)f(u)du.

67

证明

?x0?uf(t)dt?du?uuf(t)dt?xud?0?0????0?0xx00x??u0f(t)dt?x?f(t)dt??uf(u)du

00?xx?x?f(u)du??uf(u)du??xf(u)du??uf(u)du

00xx??(x?u)f(u)du.

0x§6.6 广义积分与?函数

一、单项选择题

1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)

???0edx (B) ?x??e3?????11dx (C) ?dx (D) ?x2dx

11xlnxx2、以下结论中错误的是 (D) .

??x1(A) ?收敛 (B) dx?01?x2dx发散 01?x2????xx(C) ?发散 (D) dx???1?x2dx收敛 ??1?x2113、?dx? (D) .

?1x2??(A) 0 (B) 2 (C) ?2 (D) 发散

110111011析：?dx??2dx??2dx,?2dx发散，?2dx也发散。

?1x20x?1x0x?1x14、下列广义积分发散的是 (A) .

????1111?x2dx(A) ? (B) ?dx dx (C) ?edx (D) ??1sinx22xln2x?101?x1析：(B)

?1?111?x2dxx?sintcost??2costdt=?

?2?(C)

????0??2e?x2dxx?t?0e?t2??12tdx?1?1?1????? 2?2?2(D)

??111 ?d(lnx)=dx?2ln2xln2xln2x68

二、填空题

1、

???1??0ex?e?xdx?4. 2、

???dx1ex?e2?x?4e.

3、

?11x01?xdx?2. 4、

?101?x2dx?1.

5、广义积分

???12x(lnx)kdx，

k?1时收敛，

k?1时发散.

提示：

???1x(lnx)kdx????122(lnx)kd(lnx)=?lnx??k?1|??2 当k?1,?lnx??k?1|??2?0??ln2??k?1积分收敛；

当k?1,?lnx??k?1|??2??，积分发散.

ax6、设lim?x???1?x??x????a??tetdt，则常数a?2.

析：ea?tet|at????a??edt?a?ea?lim???tet?et|at??

?a?ea?lim(?x?xx??)e?ea??a?1?ea?limxx??ex??a?1?ea ?a?2.

7、

???4?x0xedx?24. 8、

???111x(1?x2)dx?2ln2.

9、据???1????，可推算出广义积分???1?x22?2???2?edx?1.

三、判断下列广义积分的敛散性，若收敛，求其值.

??1、

???arctanx??1x2dx?????1?arctanx11arctanxd???x????x?1?1xdarctanx ??1????1x4????1x(1?x2)dx?4??1??x??1?x2??dx 69

?x ??ln41?x2所以广义积分收敛于

???1?1?ln2. 42?1?ln2. 422、

???0????xexx1xdx?d1?e??xd?0(1?ex)2???01?ex (1?ex)2x ??1?ex ????0????0?x??e1dx?0??dx

01?e?x1?ex???0??1?x?xd1?e??ln1?e?ln2. ?????x01?e所以广义积分收敛于ln2.

33dxdx2dx3、??lim?lim??0(x?1)x??0??(x?1)xa?0??1?x3??2?2lim?arctanx??0??3?

?2lim????0???2?arctana???. ?3?3所以广义积分收敛于?. 4、

23?202dxd(x?1)2 ??dx?arcsin(x?1)|020x(2?x)?(x?1)?1 =2arcsin1??

所以广义积分收敛于?.

§6.7 定积分的几何应用 §6.8 定积分的经济应用

一、填空题

1、曲线y?f(x),y?g(x)及直线x?a,x?b(a?b)所围成的平面图形的面积为

S??baf(x)?g(x)dx.曲线x??(y),x??(y)及直线y?c,y?d(c?d)所围

成的平面图形的面积为S?70

?dc?(y)??(y)dy.

2、平面图形0?g(x)?y?f(x),a?x?b绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

Vx=

22???f(x)?g(x)???dxab. 平面图形0??(y)?x??(y),c?y?d绕y轴

22?????(y)??(y)??dycd旋转一周所得旋转体的体积为Vy=

.

3、直线y?2,y?x及曲线xy?1所围成的平面图形的面积为

3?ln22.

提示：S??21?1?y???dy

y??24、曲线y?x与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为

92.

5、曲线y?x与直线x?2,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 为

3128?7；绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为

208064?5.

提示：Vx???xdx，Vy???2?8???62?y?dy

32二、单项选择题

11、曲线y?,y?x,x?2所围成的平面图形的面积为 (B) . x(A)

??212?1??1?x? (B) ?xdx??dx ???1x???x?(C)

212?221?1?? (D) 2?dy?2?dx?2?xdx?2?y?dy ????????11?1xy????2、曲线y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(b?a?0)所围成的平面图形的面积为 (C) . (A)

?2balnxdx (B) ?2lnblnalnxdx (C) ?lnblnaexdx (D) ?eydy

ab3、由x?(y?5)?16绕x轴旋转所得旋转体的体积为 (C) . 71

(A) 2??40?05?16?x22?22?dx (B) 2???16?(y?5)?dx 1?5(C) 40??416?xdx (D) 2??216?x04?2?dx

2提示：V???4?4?5?6?x2?dx????5?24?46?x2?dx.

2三、求由曲线y?sinx,y?cosx和直线x?0,x??所围成平面图形的面积.

解 如图6-1所示，取x为积分变量，则所求面积为

y

y?sin(x)

0

? 4? 2y?cos(x)

图 6-1

? x

S??sinx?cosxdx??4?cosx?sinx?dx????sinx?cosx?dx

004???? ??sinx?cosx?40????cosx?sinx??4?22.

四、求由抛物线y?2?x2与直线y?x(x?0),x?0围成的平面图形分别绕x轴和

y轴旋转一周所生成旋转体的体积.

解 如图6-2所示，交点A(1,1)，从而绕x轴旋转所生成旋转体的体积为 Vx??2224??(2?x)?xdx??4?5x?x??dx ?0??0?1151?38? ???4x?x3?x5???.

3515??0绕y轴旋转所生成旋转体的体积为

172

Vy???y2dy???0121?2?y?211?5?dy???y3???2y?y2???.

302?16?12

y

A(1,1)

y?x

0

x

y?2?x2

图62

五、求曲线y?x2?2x,y?0,x?1,x?3所围成平面图形的面积S，并求该平面图形

绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V. 解 如图6-3所示，所求面积为 S?S1?S2??21?2x?x2?dx??32?x2?2x?dx?24??2. 33平面图形S1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1????0?11?1?ydy????211?. 6平面图形S2绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2?27?????301?1?ydy??243?. 6所以，所求旋转体的体积为V?V1?V2?9?.

y

y?x2?2x S2

o

0

S1

x

x?1

图 6-3

x?3

六、设生产某产品的固定成本为10，边际成本函数C?(x)??40?20x?3x2，边际收益

73

函数R?(x)?32?10x.求（1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？ 解 (1)总成本函数为

C(x)??x0C?(t)dt?C0????40?20t?3t2?dt?10?10?40x?10x2?x3，

0x总收益函数为 R(x)?所以，总利润函数为

?x0R?(t)dt???32?10t?dt?32x?5x2，

02x L(x)?R(x)?C(x)?32x?5x?10?40x?10x?x?23???x3?15x2?72x?10.

(2)L?(x)?R?(x)?C?(x)?32?10x??40?20x?3x2?72?30x?3x2， L??(x)?30?6x，

令L?(x)?0，得驻点x1?12,x2??2(舍去)，又L??(12)??42?0， 所以当x?12时，L(x)取得最大值，即产量为12时，总利润最大.

??

第八章 多元函数微分学

§8.1 多元函数的基本概念

一、填空题

1、函数z?4?x?y的定义域为

2222?(x,y)x2?y2?4?.

.

2、已知f(xy,x?y)?x?y，则f(x,y)?y2?2xxyx2?y23、设函数f(x,y)?xy,则22x?y12?11?f?,???xy?.

4、极限limsin(x?y)?x?1x2?y2y?1. 5、极限limx?0y?03xy?xy?1?16.

析:令xy??,则lim??03???1?13??lim?6. ??0???1?174

二、单项选择题

1、设f(x,y)?ln(x?x2?y2)(x?y?0)，则f(x?y,x?y)? (A) . (A) 2ln(x?y) (B) ln(x?y) (C) 2、设f?x?y,1ln(x?y) (D) 2ln(x?y) 2??y?22??x?y，则f(x,y)? (C) . x?21?x21?y21?x221?y(A) y (B) x (C) x (D) y (1?y)2(1?y)2(1?y)2(1?y)22?xy2,x2?y2?0?243、设函数f(x,y)??x?y，则 (C) .

?0,x2?y2?0?(A) 极限limf(x,y)存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?0y?0(B) 极限limf(x,y)存在，且f(x,y)在(0,0)处连续 (C) 极限limf(x,y)不存在，故f(x,y)在(0,0)处不连续 (D) 极限limf(x,y)不存在，但f(x,y)在(0,0)处连续

析:当(x,y)沿直线y?x趋向于(0,0)时,有: limf(x,y)?limx?0y?xx?0x?x1? 22x?x2x?x2?0， 当(x,y)沿直线y?x趋向于(0,0)时,有: limf(x,y)?lim2x?0x?0x?x4y?x显然,沿不同路径f(x,y)趋向于不同的极限值,所以极限limf(x,y)不存在,故

x?0y?0f(x,y)在(0,0)处不连续.

§8.2 偏导数及其在经济分析中的应用

一、填空题

1、设z?ln(xy?lny)，则

?z??xyxy?lny,

?z??yxy?1(xy?lny)y.

75

2、设z?e，则

yx?z?x?x?1y?1?e.

3、设z?tan??y??x?zx?，则??yy??x?1y?10.

4、设z?ln?x????zy?，则?2x??x?x?1y?01，

?z?y

?

x?1y?0

122x.

.

5、设f(x,y)?x2?(y2?1)tanx，则fx(x,1)?y6、设z?xyf?7、设z?e2?x?y??，f(u)可导，则xzx?yzy??x??y?2xyf???x?.

?f(x?2y)，且当y?0时，z?x2，则

?z?e?x(e2y?1)?2(x?2y). ?x析: x?e?x?f(x),f(x)?e?x?x2,z?e?x?e2y?x?(x?2y)2.

2x?z8、设z?esin，则

y?x?y?xx?21y????????e?2.

?9、设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，其中函数g(y)可微，且

?2fg(y)?0，则??u?v?g?(v)?g(v)?2.

?u?xg(y)?2fg?(v)u?f1??2. ?g(v), ∴?析:?, ∴f(u,v)?,?u?vg(v)g(v)?ug(v)v?y?二、单项选择题

221、已知f(xy,x?y)?x?y，则fx(x,y)?fy(x,y)? (A) .

(A) 2?2y (B) 2?2y (C) 2x?2y (D) 2x?2y

?2z? (B) . 2、设z?sin(ax?by)，则?x?y276

(A) 2acos2(ax?by) (B) 2abcos2(ax?by) (C) 2bcos2(ax?by) (D) 2absin2(ax?by)

3、函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在是f(x,y)在该点连续的 (D) . 22(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件

?sin(x2y)4、设f(x,y)???xy,xy?0 ,则fx(0,1)? (B) . ??x,xy?0(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在

?xy5、二元函数f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在点(0,0)处 (C) .

??0,(x,y)?(0,0)(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在

(C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

析：参考教材P316例2知，limf(x,y)不存在，∴f(x,y)在(0,0)处不连续，而

xy??00ff(0??x,0)?f(0,0)x(0,0)??limx?0?x?0.

三、已知f(x,y)?x2arctany?2?2fx?y2arctanxy，求f?x2和?x?y.

2解 ?fyx???2xarctan?1???y?2???y?y21xx2??2 ?x?x??x?y?1???y???2xarctanyx?x2yy3yx2?y2?x2?y2?2xarctanx?y. 所以 ?2fy2x?yy2xy?x2?2arctanx?2???2??2arctan?2, 1???y?x?xx?y2?x??? 77

?2f ??x?y12x2x2?y2. ?1?2?1?2222xx?yx?y?y?1????x?2x22?arctanyx四、设z?(x?y)e?2z，求.

?x?yyy?arctan?arctan?z22xx解 ?2xe?(x?y)e?x?y? ?2?2??y??x?1????x??arctanyx1?2xe?arctanyx?ye?arctanyx?(2x?y)e,

yy?arctan?arctan?2zxx所以 ?e?(2x?y)e?x?y1 2?y?x1????x?1 ?e?arctanyxyy2x2?xy?arctanxy2?xy?x2?arctanx?2e?e. 222x?yx?y

五、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争对手，这两家公司的主要产品的供给函数

分别为

PX?1000?5QX；PY?1600?4QY

X公司和Y公司现在的销售量分别是100个单位和250个单位.

(1)X公司和Y公司当前的价格弹性是多少?

(2)假定Y降价后,使QY增加到300个单位，同时导致X的销售量QX下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？ 解：（1）X公司PX?500，QX?100， ?X?故X公司当前的价格弹性为?dQXPX1P???X, dPXQX5QX1500?1.

5100Y公司PY?600，QY?250， ?Y?dQYP1P?Y??Y dPQY4QYY78

故Y公司当前的价格弹性为

1600??0.6. 4250（2）QY?300时，PY?400； QX?75时，PX?625，

75?100X公司产品的交叉价格弹性是75?100?0.7.

400?600400?600QX2?QX1Q?QX1?X2. PY2?PY1PY2?PY1注：用弧交叉弹性公式EXY

§8.3 全微分及其应用

一、填空题

1、设二元函数z?ln(x?y)，则dzx?1?y?02dx.

.

.

2、设二元函数z?esinxy，则全微分dz?esinxycosxy(ydx?xdy)y?03、设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dzx?1?2edx?(2?e)dy4、z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的必要条件为f(x,y)在(x0,y0)处连续或偏导数存在， 充分条件为fx(x,y)和fy(x,y)在(x0,y0)处连续.

二、单项选择题

1、若函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，则f(x,y)在 点(x0,y0)处 (D) . (A) 连续且可微 （B）连续但不一定可微 (C) 可微但不一定连续 (D) 不一定可微也不一定连续 2、设z?x?y，则全微分dz? (D) . x?y 79

(A)

22(xdx?ydy)(xdy?ydx) （B）

(x?y)2(x?y)2(C) ?22(xdx?ydy)(xdy?ydx) (D) 22(x?y)(x?y)3、考虑二元函数的下面四条性质：

① f(x,y)在点(x0,y0)处连续 ② f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数连续 ③ f(x,y)在点(x0,y0)处可微 ④ f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在 若用“P?Q”表示可以由性质P推出性质Q，则有 (A) .

(A) ②?③?① （B）③?②?① (C) ③?④?① (D) ③?①?④

三、求函数z?exy在点(2,1)处的全微分.

解 因为

?z?z?z?yexy,?xexy，所以

?x?x?y?e2,x?2y?1?z?y?2e2.

x?2y?1于是 dzx?2?e2dx?2e2dy.

y?1四、设二元函数z?arctanx?y，求全微分dz. x?y?x?y? d??2?x?y??x?y?1????x?y?1解法1： dz?darctanx?y?x?y?(x?y)d(x?y)?(x?y)d(x?y) 22(x?y)?x?y?1????x?y?1?1?ydx?xdy(?2ydx?2xdy)?.

2x2?2y2x2?y2(x?y)?(x?y)(x?y)?(x?y)?z?y?zx(x?y)2(x?y)2??2??解法2：， , 222x?yx?y?xx?y?yx?y1?()21?()2x?yx?y80

故 dz??yxdx?dy.

x2?y2x2?y21?2222(x?y)sin,x?y?0?22五、讨论函数f(x,y)?? 在(0,0)处是否连续、偏x?y?0,x2?y2?0?导数是否存在、是否可微.

解 (1) 因为 limf(x,y)?lim(x2?y2)sinx?0y?0x?0y?01x?y22 令x2?y2?t1limt2sin?0?f(0,0)， t?0t所以f(x,y)在(0,0)处连续. (2) 根据偏导数的定义，有

fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)?lim?x?0?x(?x)2sin1(?x)?x2?0 ?lim?x?sin?x?01?0， ?x同理可得fy(0,0)?0，所以f(x,y)在(0,0)处两个偏导数均存在.

(3) 令z?f(x,y)，因为 lim??0?z???fx(0,0)?x?fy(0,0)?y???2sin?lim??01????0，

所以在(0,0)处，?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?o(?)，由微分的定义知f(x,y)在(0,0)处可微,且df(x,y)(0,0)?0.

§8.4 多元复合函数的求导法则

一、填空题

dzx2sin2x2xsinxe1、设z?e,y?sinx，则??sinx?xcosx?. dxx2y2 81

2、设z?f(x,u),u??(x,y)，则

?f?u?z?z?f?f?u?，. ???u?y?y?x?x?u?x3、设z?f?xy,??g??，其中f,g均可微，则

??x?y??y??x??z1y?yf1??f2??2g?. ?xyx4、设z?uv,u?lnx2?y2,v?arctany，则 xuvdz?22x?y??xv?yv????ylnu?dx?xlnu????dy?. ??u?u?????xy22xy??5、设z?f??e,ln(x?y)??，f可微，则?x?yef1?x2?y2f2，

?z2x?z2y?xexyf1??2f?. 22?yx?y二、单项选择题

1、设z?f(x?y)?g(x?y)，其中f,g具有二阶连续偏导数，则有 (B) .

?2z?2z?2z?2z?2z?2z?2z?0 (D) 2??0 (A) 2?2?0 (B) 2?2?0 (C)

?x?y?x?y?x?y?x?x?y?2z?z析：?f?(x?y)?g?(x?y)，2?f??(x?y)?g??(x?y)

?x?x?2z?z?f?(x?y)?g?(x?y)，2?f??(x?y)?g??(x?y)

?y?y?2z?2z故 2?2?0.

?x?y?2z2、设z?f(xy,x?y)，其中f具有二阶连续偏导数，则2? (C) .

?y22???4xyf12???4yf22???2f2? (B) x2f11???4y2f22???2f2? (A) xf11???4xyf12???4yf22???2f2? (D) ?2f2? (C) xf11222282

析：

?z?xf1??2yf2?， ?y?2z222??????????????xf?2xyf?2f?2y(xf?2yf)?xf?4xyf?4yf22???2f2? 11122212211122?y（∵f具有二阶连续偏导数，∴f12???f21??）

三、计算题

dzy1、 设z?,x?et,y?1?e2t，求全导数.

xdt解

dz?zdx?zdy?y?t1?????2?e???2e2t???(et?e?t). dt?xdt?ydt?x?x?2z?2z2、设z?f(x?y,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求2和.

?x?y?x解

?z?f1??yf2?，所以 ?x?f1??f2??2z??????yf12???y?f21???yf22??? 2?f1?yf2??y?f11?x?x?x?x?????2yf12???y2f22??， ?f11?f1??f2??2z???????xf12???f2??y?f21???xf22??? ?f1?yf2??f2?y?f11?x?y?y?y?y?????(x?y)f12???f2??xyf22??. ?f11?2f?2f3、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且2?2?1，又g(x,y)??u?v?1?f?xy,?x2?y2??，?2??2g?2g?求. 22?x?y解

?g?yf1??xf2?,?x?g?xf1??yf2?，所以 ?y 83

?f1??f2??2g???????xf12????f2??x?yf21???xf22??? 2??y?yf11yf1?xf2?y?f2?x?x?x?x?x?????2xyf12???f2??xf22??， ?yf1122?f1??f2??2g???????yf12????f2??y?xf21???yf22??? ?xf1?yf2?x?f2?y?x?xf112?y?y?y?y?????2xyf12???f2??yf22??. ?xf1122?2f?2f???f22???1，所以 ??1，即f11又

?u2?v2?2g?2g????x2?y2?f22???x2?y2?2??x2?y2?f112?x?y???f???f????x11222?y2.

§8.5 隐函数的求导公式

一、填空题

dy1、设方程xy?lny?lnx?0确定了函数y?y(x)，则?dxdy2、设方程x?y确定了函数y?y(x)，则?dxyxyxy?xy2x?x2y.

.

xylny?y2xylnx?x2Fxdyyxy?1?yxlnyxylny?y2析：设F(x)?x?y, 则. ????y?dxFyxlnx?xyx?1xylnx?x2?zxz3、设z?z(x,y)由方程?ln所确定，则??xzy4、设z?z(x,y)由方程e?xyz所确定，则dz?zzx?z?z?，?yz2(x?z)y.

z(ydx?xdy). ze?xy?yz5、设f(x,y,z)e则fx(0,1,?1)?x2，其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数，

.

184

?F?z1?yz析：设F(x,y,z)?x?y?z?xyz，， ???x???F?x1?xy?zfx?ex?y?z2?ex?y?2z?故 fx(0,1,?1)?1.

?z?(1?yz)?ex?y?z2?2ex?y?z?， ?x1?xy二、单项选择题

1、设f(x?az,y?bz)?0，则a?z?z?b? (D) . ?x?y(A) a (B) b (C) ?1 (D) 1 2、设z?z(x,y)由方程ze?xe?ye所确定，则

zyx?z? (D) . ?yey?yexex?xeyey?yexex?xey(A) (B) (C) (D) zzzz(z?1)e(z?1)e(z?1)e(z?1)e?2z?z?z三、设z?z(x,y)由方程e?z?xy?0所确定，求,和.

?x?y?x?yz332z解 令F(x,y,z)?e?z?xy，则Fx?y,Fy?3xy,Fz?e?1，

z3Fy3xy2Fx?zy3?z???,???所以 ， zz?xFz1?e?yFz1?e?2z??y3??

?x?y?y?1?ez????3y2(1?ez)?y3ez?z?y3y2(1?ez)2?3xy5ez?1?e?z2??1?e?z3.

四、设u?f(x,y,z)有连续偏导数，y?y(x)和z?z(x)分别由方程exy?y?0和

ez?xz?0所确定，求

xydu. dxz解 令F(x,y)?e?y,G(x,z)?e?xz,则

85

Fxdyyexyyexyy2Gxdz?zzz??????????xy??，,

Gzez?xez?xxz?xdxFyxe?11?xexy1?xydxdu?f?fdy?fdz?fy2?fz?f??????所以 . dx?x?ydx?zdx?x1?xy?yxz?x?z??z?zzz??z?xy. 五、设z?z(x,y)由方程F?x?,y???0确定，证明：x?y?x?yyx??证明 令G(x,y,z)?F?x???zz?,y??，则 yx?Gx?F1?zz11F,G??F?F,G?F?F2， 2y12z1x2y2yxz?z?F1?F2??F?F2212GyG?z?zy??x?x,???所以 ，

1111?xGzGzF1??F2??yF1??F2?yxyxz?zz?xy?z?xy?F2?xF1??F1??yF2?F1?F2?z?zxyyx?y???z?xy. 因此 x1?1?1?1??x?yF1?F2F1?F2yxyx六、设函数z?f(u)，方程u??(u)??p(t)dt确定u是x,y的函数，其中f(u),?(u)可

yx微，p(t),??(u)连续，且??(u)?1.求p(y)解 令F(x,y,u)?u??(u)??z?z?p(x). ?x?y?xyp(t)dt，则Fx??p(x),Fy?p(y),Fu?1???(u)，

所以

FF?up(x)?u?p(y)， ??x?,??y????xFu1??(u)?yFu1??(u)?z?u?f?(u)， ?y?y又

?z?u?f?(u),?x?x因此 p(y)?z?zp(x)p(y)?p(x)?p(y)f?(u)?p(x)f?(u)?0. ?x?y1???(u)1???(u)86

§8.6 多元函数的极值及其应用

一、单项选择题

1、设函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，则f(x,y)在 点(x0,y0)处 (D) .

(A) 连续 (B) 可微 (C) 有极值 (D) 可能有极值

2、设二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值，则函数?(x)?f(x,y0)在x0处 和?(y)?f(x0,y)在y0处 (A) .

(A) 一定都取得极大值 (B) 恰有一个取得极大值 (C) 至多有一个取得极大值 (D) 都不能取得极大值

22x1? (B) . 3、设函数z?(x?2y?y)e，则点?,?1???2?(A) 是函数的驻点，但不是极值点 (B) 是函数的驻点，且是极小值点 (C) 不是函数的驻点 (D) 是函数的极大值点

2x22x22x2x析：zx?e?2(x?2y?y)e?(2x?4y?2y?1)e，zy?(2?2y)e

zx12y??1x??0，zy12y??1x?1?0，∴(,?1)是驻点.

212y??1x?zxx?2e2x?2e2x(2x?4y?2y2?1)，zxx?2e,

zxy?2e2x(4?4y)，zxyzyy?2e2x，zyy12y??1x??0 ,

12y??1x??2e,

∴zxx?zyy?(zxy)?4e?0 ，∴(,?1)为函数极小值点.

212二、求函数f(x,y)?x2?xy?y2?3x?6y的极值.

解 fx(x,y)?2x?y?3, fxx(x,y)?2,fy(x,y)?x?2y?6，

fyy(x,y)?2.

fxy(x,y)?1, 87

解方程组??2x?y?3?0，得驻点(0,3).又在点(0,3)处B2?AC?1?4?0,而A?0，

x?2y?6?0?所以f(x,y)在点(0,3)处有极小值f(0,3)??9.

三、某公司通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入

R(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间的关系有如下经验公

式：R?15?14x?32y?8xy?2x?10y. (1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.

解 (1)利润函数L?R?C?15?14x?32y?8xy?2x?10y?(x?y)

2222?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2，

??L??4x?8y?13?0???x由 ?，得驻点为(0.75,1.25).

?L???8x?20y?31?0???y因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，所以投入电台广告费用为0.75万元、投入报纸广告费用为1.25万元时可获得最大利润,此即为广告费用不限情况下的最优广告策略.

(2) 若广告费用为1.5万元，则需要求利润函数L?15?13x?31y?8xy?2x?10y 在x?y?1.5时的条件极值，拉格朗日函数为

L(x,y,?)?15?13x?31y?8xy?2x?10y??(x?y?1.5).

2222??L??x??4x?8y?13???0???L由 ???8x?20y?31???0,得驻点为(0,1.5). ??y??L??x?y?1.5?0???因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，所以应将广告费1.5万

88

元全部用于报纸广告，可使利润最大，此即为提供的广告费用为1.5万元情况下的最优广告策略.

四、假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

p1?18?2Q1和p2?12?Q2，其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：

万元╱吨），Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C?2Q?5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q?Q1?Q2.

(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企

业获得最大利润；

(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小. 解 (1)总利润函数

L?R?C?p1Q1?p2Q2?(2Q?5)??2Q12?Q22?16Q1?10Q2?5,

??L??Q??4Q1?16?0?1由 ?，得驻点为(4,5).因驻点唯一，且实际问题必有最大值，

??L??2Q?10?02??Q?222故最大值必在驻点处达到，此时p1?10,p2?7，L??2?4?5?16?4?10?5?5?52.

所以如果该企业实行价格差别策略，两个市场上该产品的销售量分别为4吨和5吨，价格分别为10万元∕吨和7万元∕吨时，该企业可获得最大利润，且最大利润为52万元. (2) 如果该企业实行价格无差别策略,即p1?p2，于是有约束条件2Q1?Q2?6.构造

22拉格朗日函数 L(Q1,Q2,?)??2Q1?Q2?16Q1?10Q2?5??(2Q1?Q2?6)，

??L??Q??4Q1?16?2??0?1??L由 ???2Q2?10???0，得驻点为(5,4).因驻点唯一，且实际问题必有最大

??Q2??L?2Q1?Q2?6?0???? 89

值，故最大值必在驻点处达到，此时p1?p2?8，L??2?52?42?16?5?10?4?5?49. 所以如果该企业实行价格无差别策略，两个市场上该产品的销售量分别为5吨和4吨，统一价格为8万元∕吨时，该企业可获得最大利润，且最大利润为49万元.

由上述结果可知，企业实行价格差别策略所获得的最大利润要大于实行价格无差别策略时所获得的最大利润.

第九章 二重积分

§9.2 二重积分的计算（一）

一、填空题

1、设D?(x,y)x?y?4,x?0,y?0，则根据二重积分的几何意义，

?22???D4?x2?y2d??4?3.

析：此二重积分表示半径为2的球的上半部分的体积， ∴??4?x2?y2d??D1?34?. ??2?2332、设区域D为?1?x?1,?1?y?1，则

??x(y?x)dxdy?D?43.

析：

11142. x(y?x)dxdy?dxx(y?x)dy?(?2x)dx????????1?1?13D3、设D是由x轴、y轴与x?y?1所围成的三角形区域，则

??xydxdy?D4222124.

4、改变积分次序：

?20dx?2xxf(x,y)dy??20dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx.

2y提示：根据积分区间画出区域D. 5、改变积分次序：

?140dy?yyf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx?121412y?120dx?2f(x,y)dy.

xx二、单项选择题

1、二重积分定义

?f(?,?)????f(x,y)dx?lim?D?0iii?1ni中的?是 (D) .

90

(A) 最大小区间长度 (B) 小区域最大面积 (C) 小区域直径 (D) 小区域最大直径 2、设D为(x?2)2?(y?1)2?1,I1?23(x?y)d?,I?(x?y)d?，则 (C) . 2????DD(A) I1?I2 (B) I1?I2 (C) I1?I2 (D) I1?I2 3、设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，D是由y?0,y?x,x?1所围

2D成区域，则f(x,y)? (C) .

(A) xy (B) 2xy (C) xy?析：如图9-1，由D特征得：f(x,y)?xy?两边积分有

1 (D)xy?1 8x20?10dx? a，f(x,y)dy，设f(x,y)?xy?y

x20??x20f(x,y)dy??x20xydy?a?1x20x5dy??ax2，

2y?x2

10dx?x51af(x,y)dy??(?ax2)dx??，

02123D

O

图9-1

1

∴a?

1a11?，a?，∴f(x,y)?xy?. 123883x

4、设f(u)为连续函数，D是由y?x,y?1,x??1所围成的区域，则下列结论正确 的是 (C) . (A) (C)

??xyf(xDD2?y2)dxdy?0 (B) ??xyf(x2?y2)dxdy?0

DD2222 (D) xyf(x?y)dxdy?0xyf(x?y)dxdy?1 ????y 1

析：如图9-2，D可划分为D1,D2,D3,D4， 其中D1,D2关于y轴对称，D3,D4关于x轴对称，

y?x3

D2 D1 D3

?1 D4 O

xxyf(x?y)是关于x,y的奇函数 ，

由区间的对称性知

22xyf(x?y)dxdy?0. ??D22三、计算下列二重积分

图9-2

91

1、

222y?x,y?x所围成的平面区域. ，其中是由曲线D(x?y)dxdy??D解 如图9-3所示，

2??(x?y)dxdy??dx?D01xx2?y?(x2?y)dy???x2y??02??12xdx

x2

72?5?2x333x34. ???x2??x?dx?x2??x5?07410014022??11y2

x

2、

y

xy?1

y?x y?xO 1 O2

x

图9-4

??Dx2dxdy，其中D是由直线x?2,y?x和曲线xy?1所围成的平面区域. 2yx解 如图9-4所示，

??D22xx2?x2x2?dxdy??dx?12dy?????dx

11y2xy?y?1x92

??3、

??12x2x43x?xdx???24?2?19. 4??xdxdy，其中D是以点O(0,0),A(1,2)和B(2,1)为顶点的三角形区域.

D解 如图9-5所示，易求得边OA,OB,AB所在直线的方程分别为y?2x,y?,y?3?x， 所以

x2??xdxdy??dx?xxdy??dx?xxdy

D021212x23?x??2?323?13xdx???3x?x2?dx??1?. 0212?22?1

y

A(1,2) y?2x D

y?3?x B(2,1)

x

y

y?x

b

a

D b

x

O a

b

O a

图9-6 图9-6

四、设f(x)为区间[a,b]上的连续函数，证明：对任意的x?(a,b)，总有

?badx?f(y)dy??f(x)(b?x)dx.

aaxb证明 如图9-6所示，积分区域D??a?x?b?y?x?b可改写为?，

a?y?xa?y?b??bb所以改变二次积分的积分次序，得

?badx?f(y)dy??dy?f(y)dx??f(y)(b?y)dy??f(x)(b?x)dx.

aayxbbaa§9.2 二重积分的计算（二）

一、填空题

1、设区域D由直线y?x和曲线y?x2围成，将

y

y?x2y?x

93

I???f(x,y)dxdy写成极坐标系下的二次积分形式，则

D

?I??40d??sec??tan?0f(rcos?,rsin?)rdr.

222析：如图9-7，y?x rsin??rcos? r?tan?sec?

202y?y20D

x

2、将二次积分I???dy?f(x,y)dx化为极坐标形式，则

图9-7

I??20d??2sin?0f(rcos?,rsin?)rdr.

3、设区域D为x?y?1，则析：原式?22???Dx2?y2?xydxdy??2?3.

??Dx2?y2dxdy???xydxdy，??x2?y2dxdy表示半径为1的球的上半

DD部分的体积，等于?，而由于D关于x轴对称，xy为关于x的奇函数， ∴

232，∴原式=xydxdy?0?. ??3D二、单项选择题

1、设区域D?(x,y)x?y?a,a?0,y?0，则

?0a?222???(xDa02?y2)dxdy? (A) .

?3?a(A)

?d??rdr (B) ?d??rdr (C) ?2?d??rdr (D) ?2?d??r2dr

32000?220?a??2、累次积分

?020d??cos?0f(rcos?,rsin?)rdr可以写成 (D) .

11?y20(A) (C)

?10dy?y?y2f(x,y)dx (B) ?dy?0f(x,y)dx

?dx?0110f(x,y)dy (D) ?dx?01x?x20f(x,y)dy

3、设积分区域D为x?y?4，则(A)

22x??eD2?y2dxdy? (C) .

?2(e4?1) (B) 2?(e4?1) (C) ?(e4?1) (D) ?e4

三、计算下列二重积分

94

1、

??x2?y2dxdy，其中积分区域D??(x,y)x2?y2?2y?.

D解 如图9-8所示，??x2?y2dxdy?D??d??2sin?200rdr?8?3?0sin3?d? y

y

r?? D

xx

? O

1

图9-8

图9-9

??83??0?1?cos2??dcos???8?1?3?323??cos??3cos???? 092、

??e??x2?y2sin(x2?y2)dxdy，其中积分区域D??(x,y)x2?y2???.

D解 如图9-9所示， 2

??e??x?y2sin(x2?y2)dxdy?e?D?2?0d???20re?rsinr2dr

??e???r20e?sinr2dr2令r2?t?e???t0e?sintdt，

记A???t0e?sintdt，则

A????sintde?t??e?tsint?0???e?tdsint???000e?tcostdt

?????t?t0costde??ecost????0e?tsintdt?e??0?1?A，

解得 A???0e?tsintdt?12?e???1?. 95

所以

??xe??D2?y2sin(x2?y2)dxdy??e??1???e?1???e??1?. ?223、

???D2222x2?y2?yd?，其中D由圆x?y?4和(x?1)?y?1所围成.

?解 如图9-10所示，

??yd??0，所以

DDDD

???Dx2?y2?yd????x2?y2d????yd????x2?y2d? x?yd??22??x2?y2?4??(x?1)2?y2?1??x?yd???222?0d??rdr???d??02223?2?2cos?0r2dr

?16832163216?(3??2). ?????cos3?d????9332394、

??ydxdy，其中D是由直线x??2,y?0,y?2以及曲线x??D2y?y2所围成.

解 如图9-11所示，

??ydxdy???DD?D1ydxdy???ydxdy??dx?ydy???d??D1?20202?2sin?0rsin??rdr

?4?

8?42??1?cos4?sin?d??4?1?2cos2?????3?23?2?2??. d??4??2?y

r?2

r?2sin?

y

2

D D1 ?2

r??2cos?

?2 ?1

O D

2

x

?1 O

1

x

图9-10

图9-11

第十章 微分方程与差分方程简介

96

§10.1 微分方程的基本概念

单项选择题

1、微分方程xdy?y?x3的通解为y? (B) . dxx3Cx3x3x3? (B) ?Cx (C) ?C (D) ?Cx (A)

4x2342、函数y?C?x(C为任意常数)是微分方程xy???y??1的 (C) . (A) 通解 (B) 特解 (C) 是解，但既不是通解也不是特解 (D) 不是解 3、微分方程y???y?0的通解是y? (D) .

(A) Asinx (B) Bcosx (C) sinx?Bcosx (D) Asinx?Bcosx

§10.2 一阶微分方程（一）

一、填空题

1、微分方程xy??y?0满足初始条件yx?1?2的特解为

y?2x.

2、微分方程y?sinx?ylny满足初始条件yx???e的特解为

2lny?tanx2.

3、微分方程y??e4、微分方程y??x?y的通解是y?x?C.

y的通解是y?x22xy?y2?C.

y25、微分方程(x?y)dx?xydy?0满足初始条件yx?1?0的特解为

2x2?ex2.

二、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解

1、xydx?1?xdy?0,2yx?1?e.

?x1?x2dx?1dy， y解 这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得 97

两边积分，得

??x1?x2dx??1111dy，即 ?d?1?x2???dy， y21?x2y1?x2 1?x2?lny?lnC,从而原方程通解为y?Ce. 1?1?x2将初始条件yx?1?e代入，得C?e，因此所求原方程特解为y?e2、xy??y?x2?y2?0.

. dyy?y?解 若x?0，方程可化为 ??1???，这是一个齐次方程. dxx?x?令

2ydydudu?u，则y?xu,?u?x，代入得x?1?u2, 即 du?1dx. xdxdxdx1?u2x于是

?1??dx,lnu?1?u2?lnx?lnC,u?1?u2?Cx，

x1?u2du??将u?y222代入，得原方程通解为y?x?y?Cx. x22x2若x?0，可得方程通解为y?x?y?C1，即y?x?y???Cx2.

C122综上所述，原方程通解为y?3、

x2?y2?Cx2.

dy1?. dx(x?y)2解 令x?y?u，则y?x?u,dydudu1?1??，即 ，于是方程化为 1?dxdxdxu21??1??du??dx 2???u?1?u2u2du??dx,du?dx，?22u?1u?1即 u?1u?1ln?x?C1，将u?x?y代入得原方程通解为 2u?1 x?y?1x?y?1x?y?1ln?x?C1，即 ln?C?2y. 2x?y?1x?y?198

4、xydy?x2?y2,dxyx?e?2e.

2?y?1???dyx2?y2x????，这是一个齐次方程. 解 方程可化为

ydxxyxdu1?u2ydydudu1?令?u，则y?xu,,即x?u?x，代入得u?x?， dxuxdxdxdxuudu?dx,x?udu??dx,x12y

u?lnx?C.将u?代入，得原方程通解为 2x

y2?2x2(lnx?C).由条件yx?e?2e，求得C?1.

因此所求原方程特解为y?2x(lnx?1).

22§10.2 一阶微分方程（二）

一、填空题

1、方程y??p(x)y?q(x)叫做 一阶线性微分方程 ，当为齐次的，它的通解为的，它的通解为

?p(x)dxy?Ce??p(x)dxq(x)?0时，称方程

；当

q(x)?0.

时，称方程为非齐次

y?e?p(x)dx???q(x)edx?C?????2、微分方程(x?y)dx?xdy?0的通解为3、微分方程xdy?ydx?yedy的通解为

2y2xy?x2?Cx?y(C?ey). .

4、微分方程xy??y?3满足初始条件yx?1?0的特解为5、微分方程

y?3?3x.

dy?y?e?x满足初始条件yx?0?1的特解为dxy?e?x(x?1).

.

6、若连续函数f(x)满足f(x)?2?x0f(t)dt?x2，则f(x)?11y?e?2x?x?22 （提示：两边求导，再解方程.）

99

二、单项选择题

1、方程(x?y)dy?ydx?0的通解为 (A) .

(A) y?Ce (B) y?Ce (C) ye?Cx (D) ye2、若

xyyxyx2?yx?Cx2

?x0x2f(t)dt?11f(x)?，则f(x)? (C) . 221x11e (C) e2x (D) e2x? 222(A) e (B)

三、求方程(x2?1)y??2xy?cosx?0满足初始条件yx?0?1的特解.

解 方程可变形为 y???2x2xcosx，故为一阶线性非齐次微分方程.所以 y?22x?1x?12x2??2dx?cosx?x2?1dx y?ex?1??2edx?C??e?ln(x???x?1??1)?cosxln(x2?1)?

edx?C?2???x?1??1x2?1??cosxdx?C??sinx?C,又yx?0?1，得C??1.

x2?1sinx?1. 2x?1dy四、求微分方程(4y3?x)?y的通解.

dx因此所求方程特解为y?解 方程可化为

1dxx??4y2,若视x为函数，则该方程为一阶线性非齐次微分方程， dyy所以 x?e??ydy???4ye??2?ydy1?dy?C??e?lny????4ye2lnydy?C

? ?1y?34y?dy?C??14C3. y?C?y???yy即原方程的通解为xy?y?C.

4五、设F(x)?f(x)g(x)，其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：

x f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)?0,f(x)?g(x)?2e.

100

求：（1）F(x)所满足的一阶微分方程； （2）F(x)的表达式. 解 (1)由 F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?g2(x)?f2(x)

??f(x)?g(x)??2f(x)g(x)?2e2??x2?2F(x)?4e2x?2F(x)，

可知F(x)所满足的一阶微分方程为 F?(x)?2F(x)?4e. (2) F(x)?e?2dx2x???2x?2dx?2x4eedx?C????e??4x??4e4xdx?C

? ?e?2x?e?C??e2x?Ce?2x，

2x又F(0)?f(0)g(0)?0?2?0，故C??1.所以 F(x)?e?e?2x.

六、设函数f(x)在[1,??)上连续,若曲线y?f(x)，直线x?1,x?t(t?1)与x轴所

围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 V(t)?试求y?f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y解 由旋转体的体积计算公式得 V(t)??x?2?32?的解. 9[t2f(t)?f(1)].

?t1f2(x)dx，于是依题意，得

t1??f2(x)dx?1t?32[t2f(t)?f(1)]，即 3?f2(x)dx?t2f(t)?f(1).

222两边对t求导，得 3f(t)?2tf(t)?tf?(t)，即 3f(x)?2xf(x)?xf?(x)，

2dyy?y?所以y?f(x)所满足的微分方程为?3???2?，这是一个齐次方程. dxx?x?令

ydydudu?u，则y?xu,?u?x，代入得 x?3u(u?1),据已知u?0,u?1， xdxdxdxu?1du3du3?dx.两边积分得 ??Cx3. ??dx，即

u(u?1)xuu(u?1)x2故

dyy?y?从而方程?3???2?的通解为y?x?Cx3y，又ydxx?x?因此该微分方程满足条件yx?2x?2?2，知C??1， 9?23的特解为y?x??xy. 9101

§10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用

一、设某商的供给函数Qs?60?P?4表示时刻t时该商品的价格，

dPdP，需求函数Qd?100?P?3，其中P?t?dtdtdP表示价格关于时间的变化率，已知P?0??8，试把市dt场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义. 解 市场均衡价格处有Qs?Qd ，即 60?P?4 所以

dPdP ， ?100?P?3dtdtdP?40?2P，解之得P?20?ce?2t ， dt?2t由P?0??8得c?12.因此均衡价格关于时间的函数为P?20?12e.由于

t???limP?t??2，所以市场对于这种商品的价格稳定，且可以认为随着时间的推移，此0商品的价格逐渐趋向于20.

二、在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在t时刻该池塘内鱼数y是时间t的函数y?y?t?，其变化率与鱼数y及1000?y的乘积成正比，比例常数为k?0.已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾求放养t个月后池塘内鱼数y?t?的公式，放养6个月后有多少鱼？ 解 时间t以月为单位，依题意有

dy?ky?1000?y?，且yt?0?100，yt?3?250， dt对方程分离变量且积分，得到

y?Ce1000kt.

1000?yy11?e1000kt， ，于是

1000?y99将t?0，y?100代入，得C?再将t?3，y?250代入，求出k?ln3，于是，放养t个月后池塘内的鱼数为 3000t??310003???（尾）

， 放养6个月后池塘内的鱼数为y?t??500（尾）. y?t???t9?33102

三、已知某地区在一个已知时期内国民收入的增长率为

收入的

1，国民债务的增长率为国民101.若t?0时，国民收入为5亿元，国民债务为0.1亿元.试分别求出国民收入20及国民债务与时间t的函数关系.

解 设该时期内任何以时刻的国民收入为y?y?t?，国民债务为D?D?t?，由题意

dy1dD1?………①， ?y………② dt10dt2011由①得y?t?C1，由t?0时，y?5，得C1?5，故y?t?5………③

1010 将③式代入②式得

dD1?1121??t?5，于是，Dt?t?t?C2 ????dt20?104004?11211.故D?t??t?t? 1040041011211因此，国民收入为y?t??t?5， 国民债务为D?t??t?t?.

10400410由t?0时，D?0.1，可知 C2?四、某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本y对汽车大修时间间隔x的

变化率等于

2y81时,总维修成本y?27.5（百元）.?,已知当大修时间间隔x?1（年）

xx2试求每辆汽车的总维修成本最低？ 解 设时间间隔x以年为单位，由题意

?dy2y8122?2dx???dx?81???27?2?272xx?x?Cy?e?edx?C , dxxx??Cx???2?3??xx???x??y?27.5?x?1由yx?1?27.5，可得C?又y'=?27121 .因此y??x.

x2227， ?x ，令y'=0，得x=3（负根舍去）2x54y''=3?1 , y''?3??0,

x因此x?3是y的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车3年大修一次，可是每辆汽车的总维修成本最低.

103

§10.4 几种二阶微分方程

一、填空题

1、设有方程y???f(x,y?)，为了降阶，可令y??p(x)，则y???dpdxpdpdy.

2、设有方程y???f(y,y?)，为了降阶，可令y??p(y)，则y???.

3、微分方程y???e2x?cosx的通解为

2y?12xe?cosx?C1x?C24.

.

4、微分方程yy???y??0的通解为

y?C2eC1x25、方程(1?x)y???2xy?满足初始条件yx?0?1,y?x?0?3的特解为

y?x3?3x?1.

二、单项选择题

1、设函数y?y(x)图形上点(0,?2)处的切线为2x?3y?6，且y(x)满足微分方程

y???6x，则此函数是 (C) . 33(A) y?x?2 (B) y?3x?2 (C) 3y?3x?2x?6?0 (D) y?x?232x 32、微分方程y???y?的通解为 (B) .

(A) y?C1x?C2e (B) y?C1?C2e (C) y?C1x?C2x (D) y?C1?C2x

xx2三、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解

1、y???2y?2?0. 1?ydp，原方程可化为 dy解 方程属于y???f(y,y?)型.令y??p(y)，则y???p p?dpdp22?p2?0，即 p??dy1?y?dy1?y?dp2p?0. p??0,得p?0或?dy1?y?(1) 若p?0，即y??0，则y?C；

104

(2) 若

dp2dp2?dy，解得p?C1(y?1)2，即 ?p?0，分离变量得

py?1dy1?ydy1dy1?Cdx?Cx?Cy?1?，两边积分得，即，?C1(y?1)2，即112C1x?C2(y?1)21?ydx故原方程的通解为y?1?1.

C1x?C2dp?p?，原方程可化为 dx2、(x?1)y???y??1?0,y(0)?1,y?(0)?2. 解 方程属于y???f(x,y?)型.令y??p(x)，则y??? (x?1)p??p?1?0,即 p??11p??(x?1?0)，从而 x?1x?11dx??dx?1???x11??ln(x?1)??ln(x?1)??x?1?1p?e?edx?C?e?edx?C???1?1?????x?1?x?1???????? ?(x?1)????1?1?dx?C?(x?1)?C1?1??1?C1(x?1), ?2??x?1??(x?1)?即y??1?C1(x?1)，且x?1?0时该式也成立.又y?(0)?2，故C1?1，于是

x2?2x?C2，又y(0)?1，得C2?1. y??x?2.所以 y??(x?2)dx?2x2?2x?1. 因此,所求方程的特解为y?23、yy???y??0,2yx?0?1,y?x?0?1. 2dp，原方程可化为 dy解 方程属于y???f(y,y?)型.令y??p(y)，则y???pypdpdpdp?p2?0，由初始条件易知p?0，从而有y?p?0，即y??p, dydydydpdy??,pydpdyC1dy???yy?Cp?y?C1,ydy?Cdx，，解得 ，即 ， 1?p?yydx 105

2积分，得y?2C1x?C2.由初始条件yx?0?1,y?x?0?11,得 C1?,C2?1. 22所以,所求原方程特解为y?x?1.

2四、设对任意x?0，曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

1xf(t)dt，求f(x). ?0x解 根据导数的几何意义，易得y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距为 f(x)?xf?(x)，于是，由题设可得 f(x)?xf?(x)?x1xf(t)dt，即 x?0xf(x)?x2f?(x)??f(t)dt.两边求导得x2f??(x)?xf?(x)?0，即x2y???xy??0,

0又x?0，所以 xy???y??0，此为y???f(x,y?)型的方程. 令y??p(x)，则y???dpdxdpdp?p?，原方程可化为x?p?0,??,pxdxdxdpdx???p?x，

解得p?

CC1，即 y??1,xxy??C1dx?C1lnx?C2，即f(x)?C1lnx?C2. x§10.5 二阶常系数线性微分方程

一、填空题

x?x1、设y1,y2是方程y???py??qy?0的两个解，且满足y1?y2?e,y1?y2?e，则

方程的通解为

y?C1ex?C2e?x；常数p?0，q?.

?1.

2、微分方程y???2y??3y?0的通解为

y?C1e3x?C2e?x3、微分方程y???2y??y?0满足条件yx?0?4,y?x?0??2的特解为4、微分方程y???2y??5y?0的通解为5、以yy?(4?6x)ex.

.

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?4ex2x3?e?x为一个特解的二阶常系数线性微分方程为

y???y??2y?0.

6、以y?e(C1sinx?C2cosx)为通解的二阶常系数线性微分方程为y???2y??2y?0.

106

7、微分方程y???2y??y?x?2的通解为

xy?(C1?C2x)ex?x.

8、微分方程y???5y??6y?2e满足条件y(0)?1,y?(0)?1的特解为

y?ex.

二、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解

1、y???4y??13y?0,yx?0?0,y?x?0?1.

解 特征方程为r?4r?13?0，特征根为r?2?3i，所以方程的通解为

2x2x y?e(C1cos3x?C2sin3x), 由yx?0?0，得C1?0，于是y?C2esin3x，

21y??C2e2x?2sin3x?3cos3x?,将条件y?x?0?1代入，得C2?.

312x从而所求方程的特解为y?esin3x.

32、y???2y??e2x?0,yx?0?1,y?x?0?1.

2解 方程所对应齐次方程的特征方程为r?2r?0，特征根为r1?0,r2?2，所以齐次?2x方程的通解为y?C1?C2e.设原方程有特解y?u1(x)?u2(x)e，则u1,u2应满足

2x12x12x???u??eu??e?e?0?u1??u2???1?124，解得?，积分得?. ?2x2x???u1?0?2u2e?e?u??1?u?1x22???2?22x所以 y??12x12x1e?xe?(2x?1)e2x. 424?2x于是原方程通解为y?y?y?C1?C2e1?(2x?1)e2x.又yx?0?1,y?x?0?1， 4可得C1?3131,C2?，因此所求方程特解为y??(2x?1)e2x. 42442x注：本题也可设y?Axe的不相同. 3、y???4y?4x.

，用待定系数法求方程的特解,但结果和以上参数变异法得到

107

解 方程所对应齐次方程的特征方程为r?4?0，特征根为r??2i，所以齐次方程的

?通解为y?C1cos2x?C2sin2x.设原方程有特解y?u1(x)cos2x?u2(x)sin2x，

2则u1,u2应满足 ????xsin2x?cos2x?u2?sin2x?0u1?u1,解得 ?，

????u2?xcos2x??2u1sin2x?2u2cos2x?4x?x1?u?cos2x?sin2x??124积分得 ?,

x1?u?sin2x?cos2x2??24从而 y??11?x??x?cos2x?sin2x?cos2x??sin2x?cos2x?sin2x?x.

44?2??2?所以原方程通解为y?y??y?C1cos2x?C2sin2x?x.

注：本题也可设y?Ax?B，用待定系数法求方程的特解,结果和以上参数变异法得到的相同.

???y???4y??4y?0三、设函数y?y(x)满足条件? ，求广义积分?y(x)dx.

0?y(0)?2,y(0)??4?解 特征方程为r2?4r?4?0，特征根为r1?r2??2，所以原方程的通解为 y?(C1?C2x)e?2x,由初始条件y(0)?2,y?(0)?4，得C1?2,C2?0.

?2x所以，原方程满足初始条件的特解为y?2e从而

.

?2x??0???0y(x)dx????02edx????2x??0ed(?2x)??e?2x?1.

§10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构 §10.7一阶常系数线性差分方程 一、填空题

21、函数yx?x的差分为

2x?1.

108

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