水力学第2章

第二章 水静力学

水静力学（Hydrostatics）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。“静止”是一个相对的概念。这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。

绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。

§2-1 静水压强及其特性

1．静水压强的定义

在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA，作用在该面积上的压力为ΔP，则当ΔA无限缩小到一点时，平均压强?P/?A便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p表示，即

p?lim?P?A?A?0?dPdA (2-1)

静水压强的单位为N/m2 (Pa(帕))，量纲为?p???ML?1T?2?。

2．静水压强的特性

静水压强具有两个重要的特性：

(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。

在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。假如切割面上某一点M处的静水压强p的方向不是内法线方向而是任意方向，则p可以分解为切应力τ和法向应力pn。

从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。

(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。在静止的液体中点M?x,y,z?附近，取一微分四面体如图2-2所示。

为方便起见，三个正交面与坐标平面方向一致，棱长分别为dx、dy、dz。任意方向的倾斜面积为dAn，其外法线n的方向余弦为cos?n,x?、cos?n,y?、cos?n,z?，则

dAncos?n,x??dAncos?n,y??dAncos?n,z??121212dydzdzdx dxdy四面体所受的力包括表面力和质量力。在静止液体中表面力只有四个面上的压力Px、Py、Pz和Pn。设各面上的平均压强分别为px、py、pz、pn，则

Px?Py?Pz?Pn?12121212pxdydzpydzdx

pzdxdypndAn16四面体的体积是

16dxdydz，质量是?dxdydz，设单位质量力在坐标轴方向

的分量分别为X、Y、Z，则质量力F在坐标轴方向的分量是：

Fx?Fy?Fz?161616?dxdydzX?dxdydzY?dxdydzZ

根据力的平衡条件，四面体处于静止状态下各个方向的作用力之和应分别为零。以x方向为例：

Px?Pncos?n,x??Fx?0

将上面各式代入后得

12pxdydz?12pndydz?16?dxdydzX?0

当dx、dy、dz趋近于零，也就是四面体缩小到M点时，上式中左边最后一项质量力和前两项表面力相比为高阶微量，可以忽略不计，因而可得出

px?pn 同理，在y方向得py?pn，在z方向可得ps?pn，所以

px?py?ps?pn

(2-1-2)

因为n方向是任意选定的，故上式表明，静水中同一点各个方向上的静水压强均相等，与作用面的方位无关，可以把各个方向的压强均写成p。因为p只是位置的函数，在连续介质中，它是空间点坐标的连续函数：

p?p?x,y,z?

(2-1-3)

§2-2 液体平衡微分方程及其积分

1．液体平衡的微分方程

在静止液体中任取一边长为dx、dy、dz的微小正六面体，如图2-3所示。

设其中心点O'?x,y,z?的密度为ρ，液体静水压强为p，单位质量力为X、Y、Z。以x方向为例，过点O′作平行于x轴的直线与六面体左右两端面分别交于点

11????M?x?dx,y,z?和N?x?dx,y,z?。因静水压强是空间坐标的连续函数，又

22????dx

为微量，故点M和N的静水压强，可按泰勒级数展开并略去二阶以上微量后，分别为:

pM?p?1?p2?x1?p2?xdx

pN?p?

dx 由于六面体各面的面积微小，可以认为平面中点的静水压强即为该面的平均静水压强，于是可得作用在六面体左右两端面上的表面力为

1?p??pM??p?dx?dydz2?x??1?p??pN??p?dx?dydz2?x??

此外，作用在六面体上的质量力在x方向的分量为X2?dxdydz。 由静力平衡方程，在x方向上有 (p-1?p2?x1?p2?xdx)dydz-(p+dx)dydz+X??dxdydz=0

化简上式并整理得 同理，考虑y,z方向可得

X-Y- Z-1?p??x1?p=0 =0

=0 (2-1-4)

??y1?p??z上式为液体平衡微分方程，是由瑞士学者欧拉(Euler)于1775年首先导出的，故又称欧拉平衡方程。它表明了处于平衡状态的液体中压强的变化率和单位质量

力之间的关系。可以看出：在平衡液体中，对于单位质量液体来说，质量力分量(X，Y，Z)和表面力分量(

1?p??x,

1?p??y,

1?p??z)是对应相等的。因此，哪一方向有

质量力的作用，哪一方向就有压强的变化，哪一方向不存在质量力的作用，哪一方向就没有压强的变化。

2．液体平衡微分方程的积分

在给定质量力的作用下，对式(2-2-1)积分，便可得到平衡液体中压强p的分布规律。为便于积分，将式(2-4)依次乘以任意的dx、dy、dz，然后相加，得

?p?xdx+

?p?ydy+

?p?zdz=?(Xdx+Ydy+Zdz (2-2-1)

因p=p(x,y,z)，故上式左端为p的全微分dp，于是上式成为

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)

(2-2-2)

这是液体平衡方程式的另一种形式。该式表明，平衡液体中压强增量等于质量力所作功之和。现在的问题是上式是否有解析解?怎样才能有解析解?也就是要解决液体在什么性质的质量力作用下才能得到平衡的问题。 对于不可压缩均质液体，ρ=常数，可将式(2-2-2)写成

d???p??????=Xdx+Ydy+Zdz

上式左端为全微分，根据数学分析理论可知，它的右端也必须是某一坐标函数W(x,y,z)的全微分，即

dW=Xdx+Ydy+Zdz (2-2-3)

又 dW=

?W?xdx+

?Wdydy+

?W?Zdz，而dx,dy和dz为任意变量，故有

?Wdy X=

?W?x ,Y= ,Z=

?W?Z (2-2-4)

由理论力学知道，若某一函数对各坐标的偏导数分别等于力场的力在对应坐标轴上的投影，则称该函数为力的势函数，而相应的力称为有势力。由式(2-2-4)可知，坐标函数W正是力的势函数，而质量力则是有势力。由此可见，液体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。 将式(2-2-3)代入式(2-2-2)，得

dp??dW

(2-2-5)

积分上式，得

p??W?C式中C为积分常数，可由液体中某一已知边界条件决定。若已知某边界的力势函数W0和静水压强p0，则由上式可得

度由z和

p?两部分组成，z表示该点到基准面的位置高度，

p?表示该点压强的液

p柱高度。在水力学中常用“水头”代表高度，所以z又称位置水头，水头，(z+

p?又称压强

?)则称为测压管水头。故式(2-11)表明：重力作用下的静止液体内，各

点测压管水头相等。

下面进一步说明位置水头、压强水头和测压管水头的物理意义。

位置水头z表示的是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能(简称位能)。众所周知，把重量为G的物体从基准面移到高度z后，该物体所具有的位能是Gz，对于单位重量物体来说，位能就是Gz/G =z。它具有长度的量纲。基准面不同，z值不同。 压强水头

p?表示的是单位重量液体从压强为大气压算起所具有的压强势能(简称

压能)。压能是一种潜在的势能。如果液体中某点的压强为p，在该处安置测压管后，在压力的作用下，液面会上升的高度为，也就是把压强势能转变为位置势

?p能。对于重量为G，压强为p的液体，在测压管中上升GG

pp?后，位置势能的增量

?p就是原来液体具有的压强势能。所以对原来单位重量液体来说，压能即/G=

p??。

p静止液体中的机械能只有位能和压能，合称为势能。(z+

?)表示的就是单位

重量流体所具有的势能。因此，水静力学基本方程表明：静止液体内各点单位重量液体所具有的势能相等。

四、压强的量测和点压强的计算

在工程实际中，往往需要量测和计算液流中的点压强或两点的压强差(压差)。量测压强的仪器很多，大致可分为液柱式测压计、金属测压计(如压力表、真空表等均系利用金属受压变形的大小来量测压强的)及非电量电测仪表(这是利用传感

器将压强转变为各种电学量如电压、电流、电容、电感等，用电学仪表直接量出这些量，然后经过相应的换算以求出压强的一种仪器)等。这里只介绍一些利用水静力学原理而制作的液柱式测压计。

1．测压管 简单的测压管是用一开口玻璃管直接与被测液体连通而成的［如图2-9(a)、(b)］。读出测压管液面到测点的高度就是该点的相对压强水头。因此该点的相对压强为p=γh(γ为液体重度)。

如所测压强较小，为了提高精度，可将测压管倾斜放置，如图2-9(b)。此时，标尺读数l比h放大了一些，便于测读。但压强应为：

p??h??lsin? (2-3-8)

图2-9

也可在测压管内装入与水不相掺混的轻质液体(如乙醇：比重为0.79，汽油：比重为0.74等等)，则同样的压强p可以有较大的液柱高h。还可采用上述二者相结合的方法，使量测精度更高。

量测较大的压强，则可采用装入较重液体(如水银，比重可取为13.6)的U形测压管，如图2-10。如测得h及h′，则A点的压强为：

p??Hh'??h

(2-3-9)

2．比压计(Differential Manometer)(差压计)

比压计用以量测液体中两点的压强差或测压管水头差。常用的有空气比压计和水银比压计等。

图2-10

图2-11

图2-11为一空气比压计，顶端连通，上装开关，可使顶部空气压强p0大于或小于大气压强pa。当水管内液体不流动时，比压计两管内的液面齐平。如有流动，比压计两管液面即出现高差，读取这一高差Δh，并结合其他数据：如zA和zB，即可求出A、B两点的压差和测管水头差。

忽略空气柱重量所产生的压强(20℃标准大气压下空气的重度为11.82N/m3，只是水的

1830，故一般可不考虑空气柱重量压强)，则顶部空气内的压强可看作是

一样的。即两管液面上的压强均为p0，故有：

pA=p0+γh1, pB=p0+γh2

所以

pA-pB=γ(h1-h2) h1=Δh+h2-(zA-zB) pA-pB=γ(Δh)-γ(zA-zB)

(2-3-10)

由图2-11 从而

由上式即可得出：

图2-12

pApB(zA+

?)-(zB+

?)=?h

故A、B两点的测压管水头差就是液面差Δh(从概念上看：上面pA、pB都是作为绝对压强计算的，但就压差或测管水头差而论，不管是绝对压强还是相对压强，结果都一样，故出现在测压管水头差中的绝对压强pA、pB无须改换为相对压强)。图2-12为量测较大压差用的水银比压计。设A、B两处的液体重度为γ，水银重度为γ

H。取

0-0为基准面，测得zA、zB和Δh。由等压面1-1，即可根据点压

强计算公式写如下等式： 左侧 右侧 故得

p1=pA+γzA+γ(Δh) p1=pB+γzB+γH(Δh) pA-pB=(γ

H-γ

)Δh+γ(zB-zA) (2-3-12)

A、B两点的测管水头差为：  (zA+

pA?)-(zB+pB?)=

?B????h

图2-13

如被测的A、B之间压差甚微，水银比压计读数Δh将很小，测读精度较低，则可将U形比压计倒装，并在其顶部装入重度为γ′的轻质液体。仿上分析，可得：

p1=pA-(-γzA)-γΔh=pB-γ′Δh-(-γzB)

或 (zA+

pA?)-(zB+

pB?)=(

???'?)?h

(必须注意此时的位置高度zA、zB相对于基准面0-0均为负值。)

需要特别指出的是：公式(2-3-11)、(2-3-13)和(2-3-14)与A、B容器的形状与相对位置无关；与基准面的选择无关；还与A、B中是静水还是动水无关，在实际问题中经常要用到，无需再重新推导，可直接用上述结果。

图2-14

例2-1 一封闭水箱如图2-14，若水面上的压强p0=-44.5kN/m，试求h，并求水下0.3m处M点的压强(要求①分别以绝对压强、相对压强及真空度表达；②用各种单位表示)及该点相对于基准面0-0的测管水头。

解 先计算h。应找有关等压面。利用右侧测压管中分界面为等压面这一特性，画1-1水平面，则该面处在连通的静止、均质液体中的部分均为等压面。显然，此等压面上的压强，如以绝对压强表示应为大气压，以相对压强表示则为零。而题给p0=-44.5kN/m2，应是相对压强，故有p0+γh=0，代入题给数据得：-44.5+9.8h=0，因此，h=4.54m。再求M点的压强和测管水头。

(1)用相对压强表示：

pM=p0+γh=-44.5+9.830.3=-41.56kN/m2 pM=-41.5698pM2

=-0.424patpat表示工程大气压) =

?41.569.8?=-4.24m(水柱)

(2)用绝对压强表示：

pM′=pM+pat=-41.56+98=56.44kN/m2 pM′=

p?M56.44pat=

56.4498=0.576pat

?=

56.449.8=5.76m(水柱)

(3)用真空度表示： 真空压强： 真空高度：

pM(v)=41.56kN/m=0.424pat

pM(v)2

?=

41.569.8=4.24m(水柱)

(4)M点的测管水头为：

zM+

pM?=-0.3+(-4.24)=-4.54m

§2-4 几种质量力同时作用下的液体平衡

若液体相对于地球虽有运动，但液体本身各质点之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡(Relative Equilibrium)。例如相对于地面作等加速(或等速)直线运动或等角速旋转运动的容器中的液体，便是相对平衡液体的实例。

研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，最好的方法是采用理论力学中处理相对运动问题的方法，即将坐标系置于运动容器上，液体相对于该坐标系是静止的，于是这种运动问题便可作为静力学问题来处理。但须注意：与重力作用下的平衡液体所不同的是，相对平衡液体的质量力除了重力外，还有牵连惯性力。下面以等角速旋转容器内液体的相对平衡为例，说明这类问题的一般分析方法。

图2-15

设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速度ω旋围，如图2-15所示。液体在器壁的带动下也以同一角速度ω随容器一起旋转，从而形成了液体对容器的相对平衡。现将坐标系置于旋转圆筒上，z轴向上并与中心轴重合，坐标原点位于液面上(见图)。由于坐标系转动，作用在液体质点上的质量力，除重力外，还有牵连离心惯性力。

对于液体内任一质点A(x,y,z)，其所受单位质量力在各坐标轴方向的分量为

X=?2x Y=?2y Z=-g

将其代入液体平衡微分方程综合式(2-2-2)，得

dp=ρ(?2xdx+?2ydy-gdz)

积分上式，得

p=ρ（1?2x2+1?2y2-gz）+C

22式中C为积分常数，由边界条件决定。在坐标原点(x=0,y=0,z=0)处，p=p0，由此得C=p0。将其代入上式，并注意到x2+y2=r2,ρg=γ，得

p?p0??(

?r2g22-z) (2-4-1)

这就是等角速度旋转直立容器中液体压强分布规律的一般表达式。 若p为任一常数，则由式(2-4-1)可得等压面族(包括液面)方程为

?r2g22-z=C′(常数) (2-4-2)

上式表明，等角速度旋转直立容器中液体的等压面族是一绕中心轴的旋转抛物面。 对于液面，p=p0，代入式(2-4-1)可得液面方程：

zs =

?r2g22 (2-4-3)

式中 zs为液面上某点的竖直坐标，将其代入式(2-4-1)，得

p=p0+γ(zs-z)=p0+γh

(2-4-4)

式中h=zs-z为液体中任意一点的淹没深度。上式表明，在相对平衡的旋转液体中，各点的静水压强随淹没深度的变化仍是线性关系。但需指出，在旋转平衡液体中各点的测压管水头却不等于常数。

图2-16

例2-2 有一盛水圆柱形容器，高H=1.2m，直径D=0.7m，盛水深度恰好为容器高度的一半。试问当容器绕其中心轴旋转的转速n为多大时，水开始溢出?

解：因旋转抛物体的体积等于同底同高圆柱体体积的一半，因此，当容器旋转使水上升至容器顶部时，旋转抛物体自由液面的顶点恰好在容器底部，如图2-16所示。在自由液面上，当r=

D2时，zs=H，将其代入上式(2-4-3)得

ω=

1D8gH?10.78?9.8?1.2=13.86 rad/s

故转速

n?30???30?13.83.14=132.4r/min(转/分)

§2-5 平面上的静水总压力

作用在物体表面上的静水总压力，是许多工程技术上(如分析水池、水闸、水坝及路基等的作用力)必须解决的力学问题。只要掌握了前面所讲的静水压强分布规律就不难确定静水总压力的大小、方向和作用点。这一节介绍平面上静水总压力的计算。下一节讨论曲面上静水总压力的计算。

1．静水压强分布图

静水压强分布规律可用几何图形表示出来，即以线条长度表示点压强的大小，以线端箭头表示点压强的作用方向，亦即受压面的内法线方向。由于建筑物的四周一般都处在大气中，各个方向的大气压力将互相抵消，故压强分布图只需绘出相对压强值。图2-17为一直立矩形平板闸门，一面受水压力作用，其在水下的部分为ABB1A1，深度为H，宽度为b。图2-18(a)便是作用在该闸门上的压强分布图，为一空间压强分布图；图2-18(b)为垂直于闸门的剖面图，为一平面压强分布图。从前面知道，静水压强与淹没深度成线性关系，故作用在平面上的平面压强分布图必然是按直线分布的，因此，只要直线上两个点的压强为已知，就可确定该压强分布直线。一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。图2-18为各种情况的压强分布图。

图2-17

图2-18

2．利用压强分布图求矩形平面上的静水总压力

求矩形平面上的静水总压力实际上就是平行力系求合力的问题。通过绘制压强分布图求一边与水面平行的矩形平面上的静水总压力最为方便。

图2-19

图2-19表示一任意倾斜放置但一边与水面平行的矩形平面ABB1A1的一面受水压力作用。可先画出该平面上的压强分布图，然后根据压强分布图确定总压力的大小、方向和作用点。当作出作用于矩形平面上的压强分布图ABEF后，便不难看出：作用于整个平面上的静水总压力P的大小应等于该压强分布图的面积Ω与矩形平面的宽度b的乘积，即

P=Ω2b=(γh1+γh2)l2b=γ(h1+h2)l2b=γhcA

2211 (2-5-1)

式中l为矩形平面的长度：hc=(h1+h2)/2，为矩形平面的形心在水下的深度；A为

受水压力作用的平面面积。总压力的作用方向与受作用面的内法线方向一致，总压力的作用点应在作用面的纵向对称轴O-O上的D点，该点是压强分布图形心点沿作用面内法线方向在作用面上的投影点，称为压力中心(Pressure Center)。如图2-18(a)，压强分布图为矩形，总压力作用点必在中点a/2处；图2-18(b)和(c)的压强分布图为三角形，合力必在距底1/3高度处；而图2-18(d)的压强分布图为梯形，总压力作用点在距底e=

13?2h1?h2h1?h2处。

3．用解析法求任意平面上的静水总压力

图2-20

对任意形状的平面，需要用解析法来确定静水总压力的大小和作用点。如图2-20所示，EF为一任意形状的平面，倾斜放置于水中任意位置，与水面相交成α角。设想该平面的一面受水压力作用，其面积为A，形心位于C处，形心处水深为hc，自由表面上的压强为当地大气压强。作用于这一平面上的相对静水总压力的大小及作用点的位置D可按以下的方法来确定。

取平面的延展面与水面的交线为Ox轴，以通过平面EF中任意选定点N并垂直于Ox轴的直线为Oy轴。在平面中的M处取一微小面积dA，其上的压力为dP=γhdA，由于每一微小面积上作用的静水压力方向相同，因此，作用于整个EF平面上的静水总压力为

P=∫AγhdA=∫AγysinαdA=γsinα∫AydA

上式中∫AhdA代表平面EF对Ox轴的静面矩，它等于平面面积A与其形心坐标yc的乘积，即∫AγhdA=ycA。如以pc代表形心C处的静水压强，则有

P=γsinαycA=γhcA=pcA

(2-5-2)

上式表明：任意平面上的静水总压力的大小等于该平面的面积与其形心处静水压强的乘积。因此，形心处的静水压强相当于该平面的平均压强。

下面分析静水总压力的作用点——压力中心的位置：yD和xD。这一位置可通过合力对任意轴的力矩等于各分力对该轴的力矩和来确定。对Ox轴取力矩得

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