导数、双变量恒成立问题

已知函数f(x)?x?ax?bx?a（a、b?R）

1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值

2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

解：（1）由f(x)?x?ax?bx?a， 得f'(x)?3x?2ax?b

由 函数y?f(x)在点x?1处有极值10 可得以下3条信息（第<3>条作为验证用）： <1>： 函数在x?1处的导数为0，故 3?2a?b?0； <2>：函数在x?1处的函数值为0，故 1?a?b?a?10， 由以上两式整理可得 ?23222322???a?3??a?4??0

??b??3?2a解得 ??a??3?a?4，或 ?

b?3b??11??若 ??a??322， 则 f'(x)?3x?6x?3?3?x?1?在R恒大于等于0，

?b?3可见 y?f(x)在R上为单调递增函数，尽管在x?1处导数为0，但x?1并不是极值点）【——这就是第<3>条信息：可以解释成<3>：方程f'(x)?3x?2ax?b?0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则（都）不是极值点。】 ．．．所以 只有?2?a?4符合要求，

?b??11即 b??11

（2）对于任意的a???4, ???，函数f(x)在x??0, 2?上单调递增

? f'(x)?3x2?2ax?b?0 在a???4, ???、x??0, 2?时恒成立 ? b??3x2?2ax 在a???4, ???、x??0, 2?时恒成立

? b ? ?3x2?2ax（a???4, ???、x??0, 2?）的最大值 …………（&）

记 ?3x?2ax?g(x)，

2

??a??a22则 g(x)??3x?2ax??3?x??????

33????即 g(x)的图像是开口向上的抛物线，且对称轴为 x??因为 ?2a 3a?4?????, ??， 而 x??0, 2? 3?3?a2a4a所以 若 0???，(对称轴在[0,2]内), 则在对称轴x??处g(x)取得最大值；

3333 若 ?a?0， 则g(x)在[0,2]上单调递减，在x?0处g(x)取得最大值0 3?a2?, ?4?a?0于是，视a为定值、x为变量（x??0, 2?）时，g(x)的最大值为 G??3

?0, a?0??a216?, ?4?a?0再视a为变量（a???4, ???）， 易知G??3的最大值为

3?0, a?0?回到（&），得 b ? 即 b的最小值为

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