《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷

第四章 晶体的缺陷

习 题 1.求证在立方密积结构中,最大的间隙原子半径r与母体原子半径R之比为

r0.414 R[解答]

对于面心立方结构,如图4.1所示,1原子中心与8原子中心的距离,等于1原子中心与2原子中心的距离,对于立方密积模型,

图 4.1 面心立方晶胞

因为1原子与8原子相切,所以1原子与2原子也相切,同理,1,2,3,4原子依次相切,过1,2,3,4原子中心作一剖面,得到图4.2.1与2间的距离为

图4.2通过面心立方晶胞上下左右面心的剖面图

2R?即R2a, 22a.与1,2,3,4相切的在1,2,3,4间隙中的小球的半径r由下式决定 4a?2R?2r,

?12?(?)a.

24r?2?1?0.414. 于是有R即r2.假设把一个Na原子从Na晶体中移到表面上所需的能量为1eV,计算室温时肖特基缺陷的浓度. [解答]

对于肖特基缺陷,在单原子晶体中空位数为

n1?Ne?u1kBT

式中N为原子数, u1为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量,取室温时T?u1?n11.60*10?19?kBT?e?exp???1.38*10?23*300?? 肖特基缺陷的相对浓度N???300K，得到温时

?e?38.6?1.72*10?173.在上题中,相邻原子向空位迁移时必须越过0.5eV的势垒,设原子的振动频率为10的扩散系数.计算温度100C时空位的扩散系数提高百分之几.

[解答]

由《固体物理教程》(4.32)式可知,空们扩散系数的表示式为

?12Hz试估计室温下空位

12av01e?(u1?E1)/kbT， （1） 2式中a为空们跳跃一步所跨的距离, v01为与空们相邻的原子的振动频率,u1为形成一个空位所需要的能n1?NekBT?u11qqD1?量，

'E1为相邻原子抽空位迁移时必须越过的势垒高度,已知 晶体是体心立方结构,晶格常数

?a?4.282A空位每跳一步的距离为a?3a'/2，v01?1012Hz，u1?1eV，E1?0.5eV将上述

数据代入(1)式,得到T?300K，373K时空位扩散系数分别为

??19?231?3?10?*1012*e?1.5*1.6*10/(1.38*10*300)m2/sD1300K?*?*4.282*10? 2??2??4.584*10?33m2/s2D2373K??19?231?3?10?*1012*e?1.5*1.6*10/(1.38*10*373)m2/s?*?*4.282*10? 2??2?2?3.874*10?28m2/s于是得到

D1373K?D1300KD1300K?8.451*104.

?从上式可知,温度100C时空位的扩散系数比室温下空位的扩散系数提高4个数量级.

4.对于铜,形成一个不肖特基缺陷的能量为1.2eV,形成一个填隙原子所需要的能量为4eV.估算接近1300K(铜的熔点)时,两种缺隙浓度时的数量级差多少. [解答]

根据《固体物理教程》中(4.19)(4.20)式可知,空位和填隙原子的数目分别为n1?Ne?u1/kBT,

n2?Ne?u21/kBT.

在第二式中已取间隙位置数等于原子数 ,由上述两式得单位体积铜中空位和填隙原子的浓度分别为

N0??u1/kBTe, mN?C2?n2?0e?u21/kBT.

mN?C2?n2?0e?u21/kBT.

m式中m为摩尔质量,?为质量密度,将 C1?n1?u1?1.2eV?1.2*1.602*10?19J,u2?4eV?4*1.602*10?19J, m?63.54*10?3kg/mo1, N0?6.022*1023/mo1,

??8.92*103kg/m3,T?1300K,

kB?1.381*10?23J/K 代入C1和C2得

6.022*1023*8.9*103?1.2*1.602*10?19/(1.381*10?23*1300)3C1?em

63.54*10?3?8.454*1028*e?10.708m?3?1.891*1024m?3

6.022*1023*8.9*103?4*1.602*10?19/(1.381*10?23*1300)3C2?em ?363.54*10?8.454*1028*e?35.69m?3?2.674*1013m?3.

从以上两式可以看出,接近1300K(铜的熔点)时,肖特基缺陷和填隙原子缺陷浓度相差11个数量级.

5.在离子晶体中,由于,电中性的要求,肖特基缺陷都成对地产生,令n代表正负离子空位的对数,E是形成一

对肖特基缺陷所需要的能量,N为整个离子晶体中正负离子对的数目,证明n[解答]

由N个正离子中取出n个正离子形成 n个空位的可能方式数为

?Ne?E/2kBT.

W1?N!

(N?n)!n!N!.

(N?n)!n!2同样.由 个负离子中取出 个负离子形成 个空位的可能方式数也为

W2?因此,在晶体中形成 对正,负离子空位的可能方式数为

??N!W?W1W1???(N?n)!n!??与无空位时相比,晶体熵的增量为

?S?kB1nW?2kB1nN!

(N?n)!n!N!,

(N?n)!n!若不考虑空位的出现对离子振动的影响,晶体的自由能

F?F0?nE?T?S?F0?nE?2kBT1n其中F0是只与晶体体积有关的自由能,利用平衡条件

??F????0 ??n?T及斯特林公式1nN!?N1nN?N?N1nN

得

???F????E?2kBT?N1nN?(N?n)?n1n?

?n??n?TN?n?E?2kBT1n?0.

nn?e?E/2kBT. 由此得

N?n由于N??n,因此得 n?Ne?E/2kBT.

6.试求有肖特基缺陷后,上题中的体积的相对变化?V/V.V为无缺陷时的晶体体积.

[解答]

肖特基缺陷是晶体内部原子跑到晶体表面上,而使原来的位置变成空位,也就是说,肖特基缺陷将引起晶体体积的增大,设每个离子占据体积为v则当出现 n对正、负离子空位时,所增加的体积为?V而晶体原体积为V?2nv.

?2Nv.

?E/2kBT由以上两式及上题中的结果n?Ne ?Vn??e?E/2kBT. 得VN?7.设NaC1只有肖特基缺陷,在800C时用X射线衍射测定NaC1的离子间距,由此确定的质量密度算得的

?分子量为58.430,而用化学方法测定的分子量为58.454.求在800C时缺陷的相对浓度.

[解答]

即使在800C时,晶体是的缺陷数目与正常格点上的原子数目相比也是很少的,因此,在忽略热膨胀的影响的情况下,X 射线测得的离子间距可视为正常离子间的距离,设NaC1晶体的离子间距为d, 则晶格常数为2d,一个晶胞内包含4个 NaC1分子,再设晶体总质量是M,无缺陷时体积为V0有缺陷时体积V,用X射线方法确定的分子质量可表示为

??(2d)3?4 ??V?????M???.

用化学方法测得的分子质量可视为真实的分子质量,可表示为

?(2d)3?4 ??V0?????M???.

设用 射线方法和化学方法测定的分子量分别为

A',A,则进一步得

2d3MN0?A', V2d3MN0?A, V0基中N0为阿伏加德罗常数,由以上两式得

AV?V??1?V0A'V0.

以

nN表示缺陷时的相对浓度,利用上题结果

?Vn?VN

得缺陷的相对浓度

nA58.454?'?1??1?4.1*10?4. NA58.4308.对下列晶体结构,指出最密原子排列的晶列方向,并求出最小滑移间距. (1) 体心立方; (2) 面心立方. [解答]

(1) 体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3)的面间距

dh1h2h3?a(h2?h3)?(h3?h1)?(h1?h2)222.

可以看出,面间距最在的晶面族是{001},将该晶面指数代入《固体物理教程》(1.32)式,得到该晶面族对应的密勒指数为{001}.面间距最大的晶面上的格点最密，所以，密勒指数{001}晶面族是格点最密的面，面间距在的晶面间的结合力小,所以格点最密的面便是滑移面.最密的线一定分布在格点最密的面上.由图 4.3虚线标出的(110)晶面容易算出,最密的线上格点的周期为

3a. 23a. 2具有简单晶格的晶体滑移时,是一个晶格周期一个晶格周期的一步步滑移,因此,最小滑移间距为

图 4.3 体心立方晶胞

(2)面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族(h1h2h3)的面间距

dh1h2h3?a(?h1?h2?h3)?(h1?h2?h3)?(h1?h2?h3)222

可以看出,面间距最大的晶面族是{111}.由第一章第15题可知,对于面心立方晶体,晶面指数(h1h2h3)与晶面指数(hkl)的转换关系为

将晶面指数{111}代入上式,得到该晶面族对应的密勒指数也为{111}.面间距最大的晶面上的格点最密，所以密勒指数 晶面族是格点最密的面，即{111}晶面族是滑移面。格点最密的线一定分布在格点最密的面上,由图 4.4虚所标出的 (111)晶面上的格点容易算出,最密的线上格点的周期为

2a. 2具有简单晶格的晶体滑移时,是一个晶格周期一个晶格周期的一步步滑移,因此最小滑移间距为

2a. 2

图 4.4面心立方晶胞

9.铜是面心立方结构,原子量设为W,绝对零度时晶格常数为a,设热缺陷全为肖特基缺陷,测得铜在温度

T,下的质量密度为?,或者测定出膨胀系数为?,求形成一个肖特基缺陷所需要的能量.

[解答]

肖特基缺陷跑到晶体表面上,使晶体体积增大,设温度T为时的肖特基缺陷数目为n1铜原子总数为N,绝对零度时铜的体积为V0温度为T时的体积为V,利用第6题的结果,则有由热膨胀知识可知

V?V0n1??e?u/kBT. V0NNa3(1??T). V?V0(1??T)?4由以上两式得 u1??kBT1n?T 再从?V?NW?,?是原子质量单位,

NW?又得 V?.

?由以上诸式可得

NW?

Na3??4W???4???1??e?u/kBT. 33??Na??a?4?4W?????kBT1n??1??a3?.

??于是,形成一个肖特基缺陷所需要的能量又可表示为 u1其实(1)与(2)式是统一的,设绝对零度时铜的质量密度为?0由 NW??V???0???V??0V0??0??1??T?????1??T??V

????

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8xtt.html