电磁场与电磁波(第三版)课后答案__谢处方

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第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e

4y z =-+B e e

52x z =-C e e

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；

（7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。

解（1

）23A x

+-=

=+-e e e A a e e e A

（2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e

（3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （

）由

o s AB

=112

A B A B

，得

c o s A B θ-

=(135.5-

（5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ

11=-

A B B

（6）?=A C 1

235

02x

y z

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04

1502x y z

-=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1

230

y z

-=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42

x z -=-

e e （8）()??=A B C 1014502

x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e

()??=A B C 1

238

520

y z

-=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。（1）判断123P P P ?是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

解（1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 1221

4x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 311367x y z =-=---R r r e e e

由此可见

1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e

故123P P P ?为一直角三角形。（2）三角形的面积

1223

17.13

S =

?=R R

R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

cos (

)cos 32.31x P P x P P

φ--''===e R R

cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R

cos (

)cos (99.73z P P z P P

φ--''==-

=e R R

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为

11cos (

)cos 131θ--===A B A B A B

A 在

B 上的分量为

3.532B A ==

=-B A B

1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在

x y z =-+C e e e 上的分量。

解 ?=A B 2

346

y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以?A B 在C 上的分量为 ()?=

C A

B ()14.43

?==-A B C

1.6 证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C ，则=B C ；

解由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即

()()()()-=-A B A A A B A C A A A C

由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，

那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解由=?P A X ，有

()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A A X

故得 p -?=

A A P

X A A

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解（1）在直角坐标系中 4c o s (23)2x π==-、4sin(23)2

y π==、3z =

故该点的直角坐标为(2,3)-。

（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (43)53.1θ-== 、23120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场2

25r

=E e ，

（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。解（1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故

2512

E e

1cos

x x rx E θ===

?=-

e E E

（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

345

2525r

-+-=

e e e r E

故E 与B 构成的夹角为 11

cos (

)cos (153.632

θ--==-

=EB E B E B

1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和

2R 间夹角的余弦为

121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-

解由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

得到 1212

cos γ=

=R R R R

1122

s i n c o s s i n

c o s s i n s i n s i n s i n c o s

c o s

θφθφθφθφθθ++= 121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+

1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算：

(3sin )d r

θ?e

S 的值。

解 (3sin )d (3sin )d r r

r S

S θθ=

??e S e

e 222

d 3sin 5sin d 75π

φθθθπ?=?

? 1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。

解在圆柱坐标系中 2

1()(2)32

r r z r

r r

???=

=+??A 所以 4

d d d (32)d 1200

z r r r π

φπ?=

????A 又

d (2)(d d d )r z

r r

z S

r z S S S φ

φ=+++=??A S e

e e e

4252

5d d 24d d

1200

z r r π

πφφπ?+

?=????

故有

d 1200τ

π?=?A d S

?A S

1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；

（2）求?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解（1）2

223

2222

()()(24)

2272x x y x y z x x y x y z x

????=

=++???A

（2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为

112

2222

112121d (2272)d d d 24

x x y x y z x y z τ

τ---?=

++=

????

（3）A 对此立方体表面的积分

112

1212

1d ()d d ()d d 22

S y z y z ----=

+?????

A S

122

121

12()d d 2()d d 22

x x z x x z ---

---

???

223

212

121

24()d d 24(

)d d 2224

x y x y

x y x y ----

--=?

???

故有

1d 24

τ?=

?A d S

?A S

1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积

的积分。

解

d d d sin d 4r

S aa

a π

φθθπ==

=????r S r e

又在球坐标系中，2

1()3r r r r

??=

=?r ，所以

223

000

d 3sin d d d 4a

r r a ππτ

τθθφπ?==??

r 1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线

积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解 2

d d d 2

d 0d 8C

x x x x y y =

-+-=?????A l

又 2

22x y z x z yz x x y z x

y z

?????=

=+???e e e A e e

所以 22

00d (22)d d 8x

z z S

yz x x y ??=

+=?

??A S e

e e

故有

d 8C

=?A l d S

=???

A S

1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，

再计算??A 对此圆面积的积分。

解 2

d d d C

x x xy y =

??A l 24

422

(cos sin cos sin )d 4

a a

a π

πφφφφφ-+=

d (

)d y x z

z S

A A S x

????=-

????A S e

e 24

d sin d d 4

a S

S r

r r π

πφφ=

???

1.17 证明：（1）3?=R ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A 。其中x y z x y z =++R e e e ，A 为一常矢量。

解（1）3x y z x y

????=

=???R （2） x

y z x y z x

?????=

=???e e e R 0

（3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R ，故

()()()x

x y z y

x y z A x A y A z A x A y A z x y

???=++++++??A R e e

()z

x y z A x A y A z z

?++=?e x x y y z z A A A ++=e e e A

1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F ，那么函数()f r 会有什么特点

呢？

解在圆柱坐标系中，由 1d [()]0d rf r r r

?==F

可得到

()C f r r

C 为任意常数。

在球坐标系中，由 2

[()]0d r f r r r

?==F

可得到 2

()C

f r r

1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -的线积分

d ?E l ：

（1）沿抛物线2

x y =

；

（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？解（1）

d d d x

y C C

x E y =+=

??E l d d C

y x x y +=?

222

d(2)2d y y y y +=

6d 14y y =?

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

281

x x y y --=-- 即 640x y -+=

故

d d d d (64)(6

4)d x

y C

x E y y

y y y =+=

-+-=???E l 2

(12

4)d 14

y y -=

? 由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数2x yz ψ=的梯度及ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位

矢量x

+e e e (2,3,1)点的方向导数值。

解 222

()()()x y z x yz x yz x yz x y z

ψ????=++=???e e e

2x y z xyz x z x y ++e e e

故沿方向345l x

z =e e e e 的方向导数为

l l

ψψ?=?=

+?e

点(2,3,1)处沿l e 的方向导数值为

l ψ?=

1.21 试坐标中

y x z A A A x

y z

????=++???A

相似的方法推导圆柱坐标下的公式

1()z r A A rA r r

r z

φφ

????=

+???A 。

解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的

表面的通量为

()d d d d z z

z z

r r

A r r r A r r φφφφφ

ψφφ+?+?+?+?+?=

+?-

≈??

[()(,,)(,,)]r r r r A r r z rA r z z φφφ+?+?-??≈

()()1r r rA rA r z r

φτ?????=

???

同理

d d d d r r z z

r r z z

A r z A r z φφ

φφ

ψ+?+?+?+?+?=

≈??

[(,,)(,,)]A r z A r z r z φφφφφ+?-??≈

A A r z r φφφτφ

?????=

???

d d d d r r r r z z

z z

A r r A r r φφ

φφ

ψφφ+?+?+?+?+?=

≈??

[(,,)(,,)]z z A r z z A r z r r z φφφ+?-???≈

题1.21图

z z A A r r z z

φτ?????=

???

因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为

()1[

]r z r z A rA A ΨΨΨΨr

r z φφτφ???=++≈++???? 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0

()

1lim

r z A rA A r r

r z

φτψτ

?→?????==++????A

1.22 方程2

222

z u a b c

=++给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解由于 222

222x y z x y z

u a b c

?=++e e e

u ?=

u x y z a

=++?n e e e 1.23 现有三个矢量A 、B 、C 为 s i n c o s c o s c o s

r θ

φθφθφφ=+-A e e e 22

sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e

(32)2x y z y x x z =-++C e e e

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中

111

()(sin )sin sin r A r A A r r r r φ

θθθθ

θφ

???

???A

111(s i n

c o s )

(s i n c o s c o s )(

s i n )

s i n s i n r r r

r r θφθθφφθθ

θφ?

++-

=??? 2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r

r r

r φθφ

φθφθθ

sin 1

sin sin r

r r r r

A rA r A θφ

θθθφθ?????=

=???e e e A

sin 10sin sin cos cos cos sin sin r

r r r r

r r θφ

θθ

θφθφθφ

???=???-e e e

故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

11()z r B B rB r r

r z

φφ

????+

+=???B =

11(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r

r z

φφφφ

???+

=???

sin sin 2sin 2sin z z r r r

φφφφ-

110sin cos 2sin r

z r z r

r r r r z r

r z B rB B z rz rz θθθ

φφφ

????????=

==??????e e e e e e B

故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

y x z C C C x

????++

=???C =

(32)()(2)0

y x x z x

???-+

=???

(26)322x

y z z x y x y z y x

???

??=

=-???-e e e C e

故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为

0?=A ，0??=A ；

2sin r φ?B = ，0??=B ；

0?=C ，(26)z x y ??=-C e

1.24 利用直角坐标，证明

()f f f ?=?+?A A A

解在直角坐标中

(

)()y x z x

y z

A A A f f f f f f A A A x y

z x y z ???????+?=+++++=??????A A

()()()y x z x

A A A f f f f A f

A f

A x x y

z ??????+++++=??????

()()()()x y z fA fA fA f x

???+

=????A

1.25 证明

()??=??-??A H H A A H

解根据?算子的微分运算性质，有

()()()A H ??=??+??A H A H A H

式中A ?表示只对矢量A 作微分运算，H ?表示只对矢量H 作微分运算。

由()()?=?a b c c a b ，可得

()()()A A ??=??=??A H H A H A

同理 ()()()H H ??=-??=-??A H A H A H 故有 ()??=??-??A H H A A H

1.26 利用直角坐标，证明

()f f f ??=??+??G G G

解在直角坐标中

[(

)(

)]y y x x z z x y z G G G G G G f f y

????????=-+-+-??????G e e e

f ??=G [()()()]x z

y x

z y

f f f f f f G G G G G G y

z z

??????-+-+-??????e e e

所以

f f ??+??=G G [()()]y z x z

y G G f f G f G f y y z z ????+-++????e [()()]x z y x

G G f f G f

G f

????+-++????e

[()()]y x z y x

G G f f G f G f

x y

y ????+-+=????e

()()[]y z x fG fG y z

??-+??e ()()[

]x z y fG fG z

??-

+??e

()()[

]y x z fG fG x

??-

=??e ()f ??G

1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ???=及()0???=A ，试证明之。

解（1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有

()d d d

u u u l l

????=

?==????

?S l 由于曲面S 是任意的，故有

()0u ???=

（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散

度定理有

()d ()d ()d ()d S

S S τ

τ???=??=??+??????A A S A S A S 其中1S 和2S 如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

()d d S C ??=??A S A l ， 2

()d d S C ??=??A S A l

由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1

d d C C =-??A l A l

所以得到

()d d d d d 0

C C C C τ

?=+=-+=?????

A A l A l A l A l 由于体积τ是任意的，故有 ()0???=A

题

1.27图

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43

004

U d

ρε--=-

，式中阴极板位

于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面

210cm S =，求：

（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解（1） 4323

000

4d ()d 9

Q U d

x S x τ

ρτε--==-

=??11

004 4.7210

C 3U S d

ε--

=-?

（

2）

42002

4d ()d 9

d Q U d

S x τρτε--'

004(10.9710

C 3U S d

ε--

=-?

2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2m m ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由

m v qU =

得 6

1.3710

v ==? m s 故 0.318J v ρ== 2A m

(2)10I J d π-== A

2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且

r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin r φωθ=?=v r e ω

球内的电荷体密度为

Q a ρπ=

故 3

3sin sin 43

4Q Q r r a a

ωρωθθππ===J v e e

2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin a φωθ=?=v r e ω

球面的上电荷面密度为

4Q a

σπ=

故 2

s i n s i n 44S Q Q a a

σωθθππ===J v e e

2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求

(4,0,0)

处的电场强度。

解电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为

113

014q πε'

'-r r E r r

电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为

223

0244

4q πε-'

-e e r r E r r

故(4,0,0)处的电场为

122+-=+=

e e e E E E

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ，求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。

解半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为

d φ'

(cos sin )

φφφ''-+'e e e

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电场强度为

(0,0,)d a =

=?E E

[(cos sin )]d z x y ππφφφ'''-+=

e e

2.7 三根长度均为L ，

均匀带电荷密度分别为1l ρ、2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算三角形中心

处的电场强度。

解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

tan 302

L d L =

则

11003(cos 30cos150)42l l y

ρρπεπε=-=E e e

2120033(cos 30sin 30)

()

28l l x y y L L

ρρπεπε=-+=-E e e e e

130033(cos 30sin 30)

()

28l l x y y L

ρρπεπε=-=E e e e e

故等边三角形中心处的电场强度为

123=++=E E E E

111000333()()288l l l y x y x y L

ρρρπεπεπε-++=e e e e e 1034l y

ρπεe

2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，空间有没有电

场强度0=E 的点？

解电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为

题 2.6图

题

2.7图

232

0()4[()]x y z x a y z

x a y z πε+++=

+++e e e E

电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为

232

0()24[()]

x y z x a y z

x a y z πε-++=-

-++e e e E

(,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有

22232

()[()]

x y z x a y z

x a y z +++=

+++e e e 22232

2[()][()]

x y z x a y z x a y z -++-++e e e

由上式两端对应分量相等，可得到

232

()[()]2()[()]

x a x a y z x a x a y z +-++=-+++ ①

232

[()]

2[()]

y x a y z y x a y z -++=+++ ②

2223222232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++ ③

当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时无解；

当0y =且0z =时，由式①，有

()()2()()x a x a x a x a +-=-+

解得

(3x a =-±

但3x a =-+

不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

解半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为 0223200d d 2()

r z r

r z σε=+E e 故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为

232

212

00000

d 1

2()

2z z

r z r z r z r z σσσ

εεε∞

∞

==-=++?

E e e e

而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为

232

000

d 12()

r z r r z σσεε'==-==

E e e e E

2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B 。

解球面上的电荷面密度为

4Q a

σπ=

当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为

S z r a σσσω==?=?=J v ωr e e

sin sin 4Q

a a

φφ

ωωσθθπ=e e

将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环，则球面上任一个宽度为d d l a θ=

细

题2.10图

圆环的电流为 d d s i n d 4S Q

I J l ωθθπ

细圆环的半径为sin b a θ=，圆环平面到球心的距离cos d a θ=，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 2

d d 2()

b I b d

μ==+B e 23

sin d 8(sin cos )

Q a a a μωθθπθθ=+e 3

s i n d 8z Q a

μωθθπe

故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3

000sin d 86z z Q Q a a

πμωθμωθππ==?B e e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈，各有N 匝，相互隔开距离为d ，如题2.11图

所示。电流I 以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度x x B =B e ；（2）证明：在中点处d d x B x 等于零；

（3）求出b 与d 之间的关系，使中点处22d d x B x 也等于零。解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 202

2()

Ia a z

μ=+B e

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2

(4)

N I b

b d

μ=+B e

（2）两线圈的电流在其轴线上x )0(d x <<处的磁感应强度为

00223222322()

2[()]x NIb NIb

b x b d x μμ??=+??

++-??B e 所以

002252

2252

d 33()d 2()

2[()]

x B N Ib x N Ib d x x

b x b d x μμ-=-

++-

故在中点2d x =处，有

002

d 32320d 2[4]

2[4]

x B N Ib d N Ib d x

b d

μμ=-

=++

（3）

2002

722

d 153d 2()

2()

x B N Ib x N Ib x

b x b x μμ=

+++

222002272

252

15()32[()]

2[()]

N Ib d x N Ib

b d x b d x μμ--

+-+-

令

0d d 2

==d x x

B ，有

4[1

]

4[452

722

2=+-

b d b d

即 4452

22d b d +=

故解得 b d =

2.12 一条扁平

的直导体带，宽为a 2，中心线

与z 轴重合，通过的电流为I 。证明在第一象限内的磁

04x I

B a

μα

π=-

，

感

应强

度

为

021

4y I

r B a

r μπ=

式

中α、1r 和2r 如题2.12图所示。

解将导体带划

分为无数个宽度为x 'd 的细条

题2.11

图

题 2.12图

题 2.13图

带，每一细条带的电流x a

I I '=d 2d 。由安培环路定理，可得位于x '处的细条带的电流I d 在

点),(y x P 处的磁场为

00d d d 24I

I x B R

μμππ'

212

d 4[()]

I x a x x y μπ'

'-+

则 02

d d d sin 4[()]

x Iy x B B a x x y μθπ'=-=-

'-+

()d d d cos 4[()]

y I x x x B B a x x y μθπ''-==

'-+

所以

d 4[()]

x a

Iy x B a x x y μπ-'=-

='-+?

0a r c t a n 4a

x x a y μπ

-'??

= ???

0arctan arctan 4I a x a x a y y μπ

????----

-=?? ? ???????

0arctan arctan 4I x a x a a y y μπ

?????+--

-=?? ? ???????

021()4I a μααπ--=04I a

μαπ- 02

()d 4[()]

y a

I x x x B a x x y μπ-''-=

'-+?

0ln[()]

x x y a

μπ-'-

-+=

202

()ln

8()I x a y a

x a y

μπ++=

-+021

ln 4I

r a

r μπ

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为1p 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

1212124

03(sin sin cos 2cos cos )4r p p F r

θθφθθπε=

式中11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角。并

问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子1p 在矢径为r 的点上产生的电场为

1115

03()1[]4r

πε=

p r r p E

所以1p 与2p 之间的相互作用能为

1212215

3()()

]4e W r

πε=-=-

p r p r p p p E

因为11,θ=<>r p ，22,θ=<>r p ，则

111c o s p r θ=p r

222cos p r θ=p r

又因为φ是两个平面1(,)r p 和2(,)r p 间的夹角，所以有

12()()s i n s i n c o s

r p p θθφ??=r p r p 另一方面，利用矢量恒等式可得

1212()()[()]??=??=

r p r p r p r p 2

112[()]r -=

p r p r p 2

1212()()()r -p p r p r p

因

此

121

1()[()()()()]r

??+=p p r p r p r

p r

p 1

s i n s i n

c o s p p θθφ+121

c o s c o s p p θ

θ 于是得到 =

e W 123

04p p r

πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)

故两偶极子之间的相互作用力为 e r q c o n s t

W F r

?=-

=?120

4p p πε-(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)

(

)d r r

124

034p p r

πε(12sin sin cos θθφ-122cos cos θθ)

由上式可见，当120θθ==时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流1I 和2I ，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力

m F 。

解无限长直线电流1I 产生的磁场为 01

12I r

μπ=B e

直线电流2I 每单位长度受到的安培力为 1

012

1221

d 2m z I I

I z d

μπ=?=-?

F e B e

式中12e 是由电流1I 指向电流2I 的单位矢量。

同理可得，直线电流1I 每单位长度受到的安培力为 012

2112

2m m I I

μπ=-=F F e

2.15 一根通电流1I 的无限长直导线和一个通电流2I 的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d ，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

012(sec 1)m F I I μα=-

这里α是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解无限长直线电流1I 产生的磁场为

0112I

r φμπ=B e

圆环上的电流元22d I l 受到的安培力为

012

2212d d d 2m y

I I I x

μπ=?=?F l B l e 由题2.15图可知 2d (s i n c o s )d

x z

a θθθ=-+l e e cos x d a θ=+

所以 2012

(s i n c o s )d 2(c o s )

m z x

a I I d a π

μθθθπθ=

--=+?

F e e

2012

cos d 2(cos )

aI I d a π

μθθπ

θ-=

e 012

0122((sec 1)2x

x aI I I I a

μπμαπ

=--e e

2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为

题2.15图

()??+?r p E p E 。

解如题2.16图所示，设d q =p l (d 1)l <<，则电偶极子p 绕坐标原点所受到的力矩为

2211()()q q =?-?=T r E r r E r

d d d d ()()()()2222q q +?+--?-=l l

r E r r E r

d d d d

[()()]d [()()]22222q q ?+--+?++-l l

l l

r E r E r l E r E r

当d 1l <<时，有

d d ()()()()22+≈+??l

E r E r E r

d d ()()()()22-≈-??l

E r E r E r

故得到

(d )()d ()q q ≈???+?=T r l E r l E r

()??+?r p E p E

题2.16 图

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为

33[]4q R R

π+-

=-=R R D

232

()(){

}4[()]

[()]

r z r z r z a r z a q r z a r z a π

+-++-

+-++e e e e

则球赤道平面上电通密度的通量

d d z z S

S Φ==

??D S D e

2232

0()[

]2d 4()()a

q a a r r r a r a ππ

=++?

212

1)0.293()

q q r a =-=-+

3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有

总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π??=- ???

D e ，试证明之。

解位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12

4r Z e

π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a

Ze Ze

r r ρππ=-=-

电子云在原子内产生的电通量密度则为

322

44r

Ze r r

r ρπππ==-D e e

故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??

=+=- ???

D D D e

3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3

0C m ρ, 两

圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分的电场。

解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为

0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场

的叠加。

在b r >区域中，由高斯定律0

d S

ε=

?E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为 2

012

0022r

b b r

πρρπεε==

E e 2

0012

0022r a a r r πρρπεε'

-''

==-

r E e

题3.1 图

题3. 3图()a

点P 处总的电场为 2

112

(

)2b a r

r ρ

ε'

'=+=

r r E E E

在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

200

22r

r r

πρ

ρπεε==

E e 2

0022r a a r r πρρπεε'

-''==-

r E e

点P 处总的电场为 2

()2a r ρε''=+=-

r E E E r

在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

0300

22r

r r

πρρπεε==

E e 2

003

22r r r πρρπεε''

-''==-

r E e

点P 处总的电场为 0

()22ρρεε''=+=-=

E E E r r c

3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为

2()()

r r Ar r a D a Aa r a r

?+≤?

=?+≥?? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。

解：由ρ?=D ，有 2

()()d r r r D r r

ρ=?=D

故在r a <区域 23

002

()[()](54)d r r r A r r A r r r

ρεε=+=+

在r a >区域 54

()

()[]0d a Aa r r

r r r

ρε+==

3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为

的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4

()r r a =E e ，设球内介质为

真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

002

1d [

()]d r E r

ρεε=?==E 432

1d [

()]6d r r r

r r

εε=

（2）球体内的总电量Q 为 32

d 64d 4a

Q r r a a

ρτε

ππε=

==??

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 02

224Q a

σεπ=

3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密

题3. 3图()b

＝

＋

度为1σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和2σ应具有什么关系？

解（1）由高斯定理0d S

q =?D S

，当r a <时，有 010=D 当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则

102r a r

σ=D e

当b r <<∞时，有 0312222r D a b ππσπσ=+ ，则 12

03r a b r

σσ+=D e

（2）令 12

030r

a b r

σσ+==D e ，则得到

b a

σσ=-

3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点

1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：（1）沿曲线22x y =；（2）沿连接该两点

的直线。

解（1）d d d d x

y C

W q q E

x E y =

==+=???F l E l

d d d(2)2d C

q y x x y q y y y y +=+=

??2

6d 142810

()q y y q J -==-??

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

281

x x y y --=-- 即 640x y -+=

故

W =

d d d(64)(64)d C

q y x x y q y y y y +=-+-=

??2

(124)d 142810

()q y y q J --==-??

3.8 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用?=-?E 核对。

解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点

P 的电位为

d (,0)L L z r ?-'

ln(4L l L z ρπε-'+

4l ρπε=

2l r

ρπε

L L -r

ρ 题3.8图

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为

d d r r r

E θ'

===E e e 02

0d 2()

l r

r z r z ρπε'

'+e

故长为L 的线电荷在点P 的电场为

d d 2()

L l r

r z r z ρπε'

===

'+??

E E

e 2

02L l r

ρπε'=

e r

e 由?=-?E 求E ，有

0ln

2l r ρ?πε??=-?=-?=?

0012l r r ρπε??

?--=???

e r

3.9 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场02l

ρπε=E e ，试用定义式()d P

r r

r ?=

?E l 求其

电位函数。其中P r 为电位参考点。

解 0

()d d l n l n 222P

r r r l

r r r r r

ρρρ?πε

πε

?E l 由于是无限长的线电荷，不能将P r 选为无穷远点。

3.10 一点电荷q +位于(,0,0)a -，另一点电荷2q -位于(,0,0)a ，求空间的零电位面。

解两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位

01(,,)4x y z ?πε=-

令(,,)0x y z ?=，则有

即 2

4[()]()x

a y z x a y z +++=-++ 故得 222

()(

)33

x a y z a +

++=

由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a -为球心、4

a 为半径的球面。

3.11 证明习题3.2的电位表达式为 2

3()(

)422a

r r

r r ?πε=

解位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 12

Z e r

π=D e

电子云在原子外产生的电通量密度则为 3

44a r

r Ze r

ρπππ==-D e e

所以原子外的电场为零。故原子内电位为

001

()d (

)d 4a

r r a

r r Ze

r D r r r r ?επε=

)422a

Z e

r r πε+

3.12 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

()0

()()cos r r a a

r A r r a r

??φ=≤???=-

≥?? （1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解（1）由?=-?E ，可得到 r a <时， 0?=-?=E

r a >时， ?=-?=E 2

[()cos ][()cos ]r

A r A r r

r r

φφφ

??--

=??e e

222

(1)cos (1)sin r a

A A r r

φφφ-+

e e

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

0002cos r r a

r a

A σεεεφ=====-n E

e E

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足2

0??=

（1）sin()sin()hz kx ly e - 其中222h k l =+；（2）[cos()sin()]n r n A n φφ+ 圆柱坐标；（3）cos()n r n φ- 圆柱坐标；（4）cos r φ 球坐标；（5）2cos r φ- 球坐标。解（1）在直角坐标系中 2

????????=+

???

而

[sin()sin()]sin()sin()hz

kx ly e k kx ly e x

x ?--??==-?? 2

[sin()sin()]sin()sin()hz

kx ly e

l kx ly e

?--??

=-??

2222

[sin()sin()]sin()sin()hz

kx ly e

h kx ly e

?--??

=??

故 2

()s i n ()s i n ()

k l h kx ly e ?-?=--+= （2）在圆柱坐标系中 2

21()r

r r

r z

????φ

?????=

+????

而

11(){[cos()sin()]}n

r r r n A n r r r r r r

?φφ????=+=????22[cos()sin()]n n r n A n φφ-+ 2

21[cos()sin()]}n n r

n A n r ?φφφ

-?=-+?

[cos()sin()]0n

r n A n z

?φφ-??

+=??

故 2

0??=

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