两平面垂直的判定和性质练习题及答案

典型例题一

例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1． 求证：平面AB1D1//平面C1BD． 证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，

∴D1A//C1B， 又 C1B?平面C1BD， 故 D1A//平面C1BD． 同理 D1B1//平面C1BD． 又 D1A?D1B1?D1， ∴ 平面AB1D1//平面C1BD．

说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接A1C即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

典型例题二

例2：如图，已知?//?，A?a，A??a//?． 求证：a??．

证明：过直线a作一平面?，设????a1，

????b．

∵?//? ∴a1//b

又a//?

∴a//b

在同一个平面?内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行

∴a与a1重合，即a??．

说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，?//?，l???A． 求证：l与?相交．

证明：在?上取一点B，过l和B作平面?，由于?与α有公共点A，?与?有公共点B．

∴?与?、?都相交． 设????a，????b． ∵?//? ∴a//b

又l、a、b都在平面?内，且l和a交于A． ∵l与b相交． 所以l与?相交．

典型例题四

例4：已知平面?//?，AB，CD为夹在a，?间的异面线段，E、F分别为AB、

CD的中点．

求证： EF//?，EF//?． 证明：连接AF并延长交?于G． ∵AG?CD?F

∴ AG，CD确定平面?，且????AC，

????DG．

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