直升机飞行控制 第2章

第二章 直升机飞行动力学

2.1 坐标系及运动参量

与固定翼飞机相似，直升机在空中作6个自由度运动，即作为质点的三个线运动：升降运动，前飞与后退运动及左右侧向运动；以及作为刚体的角运动：俯仰运动，偏航运动及滚转运动。为描述直升机自身运动需建立机体坐标系及速度坐标系，为建立直升机相对于地面的运动几何，需建立地面坐标系。

2.1.1 坐标系

1．机体坐标系

机体坐标系（OXYZ）与机体固连，如图2－1所示，原点O为飞机重心，纵轴OX在直升机对称平面内，通过重心，与机身纵轴一致，沿机头方向为正，立轴OZ通过重心，在机身对称平面内与桨毂轴平行，向下为正，横轴OY通过重心O与XOZ平面垂直。若左旋直升机，按左手定则，指向左为正，若右旋直升机则按右手定则，指向右为正。图2－1为右旋直升机的机体轴系。 ?水平面u,p,L??XXE(北)o????X?Y?Yv,q,MYE(东)???w,r,NZZ?ZE(地)图2-1 机体坐标系及与地面坐标系之间关系

2．速度坐标轴系

速度坐标系（OXaYaZa）描述直升机空速相对于机体轴的关系，如图2－2所示，原点

O设在飞机重心，OXa轴与空速向量Vk一致，前飞为正。OZa在直升机对称平面内，垂直

于OXa轴，向下为正，OYa垂直于XaOZa平面,直升机右旋时向右为正。由速度坐标系可建立飞机的迎角?与侧滑角?。机身迎角?为Vk在机身对称平面XOZ的投影与OX夹角，侧滑角?为Vk与对称平面XOZ的夹角,Vk在X轴右边时侧滑角?为正。

1

YaX?OYXaVk?ZZa

图2-2 速度坐标系 3．地面坐标系

地面坐标系（OXEYEZE）相对于地球表面不动，如图2-3所示，原点O设在地面上某点（可设在起飞点），纵轴OXE应指北，或指向应飞航向，立轴OZE垂直向下为正，OYE轴与OXEYE平面垂直，指向由右手定则决定。

由图可知,地面坐标系可建立直升机相对于地面飞行的航迹倾斜角?及航迹偏转角?。航迹角?是指直升机的地速Vd与地平面夹角，向上为正。航迹偏转角?是地速Vd在地平面内投影与给定飞行航线OXE之间的夹角，右偏航为正。在地面坐标系中可描述直升机重心O在空中的坐标位置：高度H(t)，XE方向的飞行距离L(t),以及YE方向飞行偏航距Y(t)。

由图2-1可知，机体轴坐标系与地面坐标系的关系可由三个欧拉角?,?,?来表示。首先绕OZE轴转过一个偏航角?，右偏航为正，构成OX?Y?ZE轴系，再绕OY?转动，出现俯仰角?，上仰为正，构成OXY?Z?轴系,最后绕OX轴转动，得出横滚角?，右滚为正。

?ZVd航迹OHr0L?yXE

YEZE图2－3 地面坐标系及并联参量

2

图2-1标出了直升机飞行速度在三个机体轴上的投影，分别用u,v,w表示。飞机转动角速度在机体轴OX,OY,OZ上的投影分别为p,q,r。由运动学可写出以下关系式，以描述欧

?,??,??与机体角速度p,q,r之间的关系。 拉角的角速度?????sin??p????cos????cos?sin?? (2-1) q???sin????cos?cos??r????2.1.2作用于直升机上的气动力

作用于直升机上的力与力矩是分析直升机动力特性的基本因素，决定着直升机的基本性能，因此必须分析由直升机的旋翼，尾桨，平尾，机身所产生的气动力及它们对重心所构成的气动力矩。

1． 旋翼的气动力

图2－4标出了旋翼所产生的气动力与气动力矩，在构造轴中所产生的力有拉力T,后向力Hs，侧向力Ss。尾桨产生的气动力为Twj，直升机的重力G。由这些力的几何位置可容易地标出这些力对重心所构成的俯仰力矩、横滚力矩及偏航力矩。

YS DTFS?lZlXHsDX?水平SGcos?sin?Gcos?cos?GTwjyPWZ(a) 纵向气动力与气动力矩

3

DTF?sDlZSsslwjlYTwjo?Gcos?cos?GZ?Gsin?Y

(b) 侧向气动力与气动力矩

图2-4 旋翼及尾桨所产生的气动力与气动力矩

当操纵手柄后拉飞机抬头时及操纵手柄右压右滚时，旋翼所产生的气动力在机体轴系中的分量有

Xxy??Hs??Fsin?（X轴负方向）

Yxy?Ss?Fsin?（对右旋直升机，是Y轴正方向） Zxy??T??Fcos?（Z轴负方向）

式中?及?分别为气动合力F相对于Ys的纵向偏转角及侧向偏转角。

2． 尾桨的气动力

尾桨与旋翼不同之处是没有垂直铰和自动倾斜器，故可把它称为无周期变距的构造平面与机体对称平面平行的小旋翼。因此尾桨拉力可表示为

Twj?CTwj1?(Rwj?wj)2?Rwj2 (2-2) 2式中Rwj为尾桨桨叶半径，?wj为尾桨桨叶旋转角速度，CTwj为尾桨拉力系数。尾桨拉力系数与尾桨桨距成正比。规定Twj与OY轴一致为正。

尾桨的阻转力矩Mwjz近似地与旋翼的阻转力矩Mxyz成正比。即Mwjz?KwjMxyz 3． 平尾的气动力与气动力矩 直升机平尾起水平安定面作用，位于尾梁后段，平尾翼弦与机体纵轴之间的夹角称平尾安装角??w，此安装角可与油门变距杆或驾驶杆联动。

平尾升力Ypw及阻力Xpw可由下式表示

1Ypw?CYpw??Vpw2Spw (2-3)

2

4

1Xpw?CXpw??Vpw2Spw (2-4)

24.机身的气动力

作用于机身的气动力在机体轴系中的投影有

1Xjs??CXjs??v2Sjs (2-5)

21Yjs?Cyjs??v2Sjs 2-6)

21Zjs??CZjs??v2Sjs (2-7)

2作用于机身气动力对重心所构成的横滚、俯仰及偏航力矩为

1Ljs?CLjs?v2Sjsljs??L (2-8)

21Mjs?CMjs?v2Sjsljs??M (2-9)

21Njs?CNjs?v2Sjsljs??N (2-10)

2式中：Cxjs，Cyjs，Czjs分别为机身在纵向X,侧向Y以及法向Z方向的分力气动系数。CLjs,CMjs,CNjs分别为机身气动力对重心所构成的滚转力矩，俯仰力矩和偏航力矩系数。 Sjs为机身的最大迎面面积，ljs为机身长度。?L,?M,?N为绕相应机体轴的修正力矩。

由上分析，最终可列出作用在直升机上的力与力矩

X?Xxy?Xwj?Xpw?Xjs?XG?Y?Yxy?Ywj?Ypw?Yjs?YG??Z?Zxy?Zwj?Zpw?Zjs?ZG?? (2-11)

L?Lxy?Lwj?Lpw?Ljs?M?Mxy?Mwj?Mpw?Mjs??N?Nxy?Nwj?Npw?Njs?式中Lxy、Mxy、Nxy为旋翼产生的滚转力矩、俯仰力矩及偏航力矩；XG,YG,ZG分别是直升机有俯仰与滚转运动时，重力在机体轴上的分量。其中

XG?Gcos?sin???YG?Gsin?? (2-12) ZG?Gcos?cos???

5

2.2 直升机的平衡动力学

2.2.1 直升机的平衡方程

当直升机作飞行速度大小与方向都不变的定常运动时，此时直升机处于平衡状态，因此作用于机体轴上的合力及合力矩均为零，从而得到6个平衡方程。根据平衡方程可求出某一飞行状态下，飞机四个操纵量及两个姿态角，即俯仰角?及滚装角?的数值，因此通过平衡状态的计算，可得出某一平衡状态下直升机在空中的姿态，另外还可用来校验操纵系统设计范围是否合理，如果允许的操纵范围能使直升机在各种不同飞行状态下都能使直升机保持平衡，并有一定操纵裕量，则认为直升机是可操纵的。

在机体坐标中，若右旋直升机，则所建立的纵向平衡方程为

?X?0， Xxy?Xwj?Xpw?Xjs?Gcos?sin??0 (2-13) ?Z?0， Zxy?Zwj?Zpw?Zjs?Gcos?cos??0 (2-14) ?M?0， Mxy?Mwj?Mpw?Mjs?0 (2-15)

侧向平衡方程为

?Y?0， Yxy?Ywj?Ypw?Yjs?Gsin??0 (2-16) ?L?0， Lxy?Lwj?Lpw?Ljs?0 (2-17) ?N?0， Nxy?Nwj?Npw?Njs?0 (2-18)

2.2.2 直升机悬停时的平衡

直升机保持高度不变，前飞速度为零，且绕各机体轴的力矩总和为零的飞行状态称悬停。因此悬停状态时必须使作用于机体轴上的力与力矩保持平衡。下面将分析悬停时的纵向俯仰力矩与纵向力的平衡，以及航向力矩的平衡，横滚力矩的平衡以及侧向力的平衡。

1. 悬停时纵向力与力矩的平衡

以直升机重心位于旋翼转轴的前面为例，如图2－5所示。此时可列出悬停时纵向力的平衡方程

由?X?0可得

?Hs?Gsin??0 (2-19)

X轴的正方向力为正，图中?为负值，Hs为拉杆引起自动倾斜器纵向倾角?而引起的

?是操纵平面C?C与构造平面S?S之间的夹角，后向力。桨尖平面D?D与C?C平行，

旋翼气动合力F与C?C或D?D相垂直。

由?Z?0可得

?T?Gcos??0 (2-20)

6

YsFDSwj?DClxC?lZ水平Y?XZ图2－5 右旋直升机悬停时纵向力与力矩

与Z轴正方向一致的力为正，T为与构造平面相垂直的拉力。式中没有考虑平尾的气

动力。

纵向力矩平衡方程由?M?0可得

?Tlx?Hslz?Mjs?Mwj?0 (2-21)

绕Y轴正方向的力矩为正。式中lX为桨毂偏离重心在X方向的距离，lZ为桨毂偏离重心在Z方向的距离。Mjs为机身俯仰力矩，Mwj为尾桨引起的纵向力矩。

从上述三平衡方程可解得三个参数，拉力T、后向力Hs及机身俯仰角?，由T可求出旋翼的总距?c，由Hs可求得纵向周期变距?e。

在悬停纵向平衡中，桨尖平面D?D始终水平，使合力F垂直向上以平衡重力G。拉力T与构造平面S?S垂直。操纵平面C?C也总是水平。

下面分析几种情况

1) 假定旋翼轴心在机体轴OZ的延长线上，分析俯仰力矩对机身姿态及对操纵倾角的影响。

a) Moth?0

称Moth为旋翼所产生的俯仰力矩以外的其它俯仰力矩，当Moth?0时，直升机产生抬头力矩，此时机身抬头??0，如图2－6所示。为获得力矩平衡，驾驶员向前推杆，即操纵平面C?C相对于构造平面S?S前倾?角，??0，出现前向力Hs，其低头力矩平衡抬头力矩。

7

TDF?DHsC??scX?水平SMotho?GZ

图2－6 旋翼轴心在机体轴OZ的延长线上，当Moth

?0时的悬停状态

b)Moth?0

与上述情况相反，直升机出现了低头力矩使??0，为平衡低头力矩，驾驶员需拉杆，出现操纵倾角??0及后向力?Hs，以克服低头力矩，如图2－7所示。

FTDSDC?HSCSMotho水平?X?

图2－7 旋翼轴心在机体轴OZ的延长线上，Moth?0时的悬停状态

ZG

2) 若Moth?0，研究后重心及前重心悬停时，机身姿态及操纵倾角。

a）当重心在旋翼轴后：lX?0,此时如图2－8所示，与旋翼轴心在OZ上相比，增加了一个抬头力矩，因此有类似于图2－6所示的平衡状态。

8

FDD??HSSCX?水平lxo?

Z

图2－8 Moth?0，后重心时悬停姿态图

b) 当重心在旋翼轴前：lX?0，如图2－9所示。与旋翼轴心在机体轴OZ的延长线上相比，增加了一个低头力矩。因此有类似于图2－7所示的平衡状态。

FDDSCHs?lxo水平xG

图2－9 Moth?0，前重心时悬停状态

2． 悬停时航向力矩的平衡

以直升机重心在旋翼轴心的后面为例，绕机体垂直轴OZ的力矩平衡状态，如图2－10所示。航向力矩为

?N?0，?TwjlTX?SslX?Mk?0

应注意绕Z轴正方向力矩为正，式中lTX为尾桨至重心的距离，lX为旋翼转轴至重心O的距离，Mk为旋翼反作用力矩，近似估计时TwjlTX?Mk，由上式可估算尾桨拉力Twj的大小，由于Twj?Mk，从而可求得尾桨距?r的大小。由悬停至垂直上升时，由于Mk的增加，lTX需增加?r角。

9

lTMSsolTXHsMkXlX?TwjY图2－10 右旋直升机悬停时作用于航向的力及力矩

3. 横滚力矩及侧向力的平衡

F TDsDslZSsTwj?lwjlYoY??GZ

图2－11 作用于右旋直升机悬停时的横滚力矩及侧向力

由图2－11可列出作用于右旋直升机悬停时的横滚力矩及侧向力平衡方程

?L?0:?Y?0:Twjlwj?SslZ?TlY?0 (2-22) ?Ss?Twj?Gsin??0 (2-23)

式中沿OX轴正方向滚转的力矩（即右滚）为正，图中左滚角?为负，沿OY轴正方向的力为正。由以上两式可求得悬停时, 由横向周期变距所产生的侧向力Ss，从而获得横向周期变距?a，并求出滚转角?，由图可知，为获得悬停，驾驶员需左压杆。

2.2.3直升机平飞时的平衡

这里将直升机作水平直线匀速飞行称为平飞状态。与悬停状态相似的方法可作出平飞时作用于纵向的力与力矩。如图2－12所示，此时可列出纵向平衡方程。

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TDFDSSlXoHslZ?XVMTYG?Z

图2－12 平飞时纵向力及力矩

?X?0:?Z?0:?M?0:Hs?Gsin??Djscos??0???T?Gcos??Djssin??Tpw?0? (2-24) TlX?HslZ?Mjs?Mwj?Mpw?0?? 式中Djs为机身阻力，Tpw为平尾升力，Mpw为平尾所产生俯仰力矩，Mjs为机身的俯仰力矩。由于?很小，由?Z?0可求得T近似等于重力，从而可求得平飞时不同飞行速度下的总距?c的估计值。

平飞时侧向平衡方程也与悬停状态相类似，平衡状态如图2－10，2－11所示。故可列出相应平衡方程

?N?0:?Y?0:

?TwjlTX?SslX?Mk?0 (2-25) ?Ss?Twj?Gsin??0 (2-26) Twjlwj?SslZ?TlY?0 (2-27)

?L?0: 由?N?0可知，若Ss较小，则由式Mk?TwjlTX可估算不同平飞行状态下尾桨拉力

Twj，从而得出尾桨桨距?r，考虑到多种飞行状态的需要，一般尾桨桨距变化较宽，例

?r?8?~20?。由横滚力矩平衡可知，为平衡尾桨拉力Twj所构成的横滚力矩，对右旋直升

机，必须向左压杆，产生横向周期变距?a，获得-Ss，以完成力矩平衡。如图2－11所示。

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2.3 直升机的稳定性与操纵性

直升机的稳定性与一般物体的稳定性定义是一致的，若直升机的定常运动受到某种扰动离开了平衡位置，当扰动去掉后，若能自动返回平衡位置，则称为静稳定，若停留在干扰消失时的偏离状态则称为中性稳定，若偏离原平衡状态越来越大，则称为静不稳定。直升机的静稳定分纵向，航向及横向静稳定性，本节仅分析其物理特性。

2.3.1直升机的纵向静稳定性

1． 旋翼迎角?s不变，前向飞行速度u变化?u后，而引起的静稳定

若由于扰动使u0发生变化，如果由此产生的附加力矩能使飞行速度复原，则称直升机具有速度稳定性。产生速度静稳定的物理原因是由于旋翼的工作。当直升机以u0速度前飞,趋于平衡状态的旋翼气动合力为F0，如图2－13所示。

DoFFoDDoDSSHSu0??uo?sXGZ

图2－13 ??s?0时的速度静稳定性

前飞时，当飞行速度增加，桨叶周向来流左右不对称性程度增大，从而使桨尖平面后倒增强，所增加的后向力Hs一方面使速度减小另一方面它又对直升机重心所构成的抬头力矩增大，从而减小前飞速度，使速度恢复至原来值，当前飞速度减小时， 则产生与此相反的过程，使速度增加。在悬停状态u0?0时，若出现前述现象，会产生桨尖平面后倒的不均匀周期挥舞，气动合力F对重心构成抬头的俯仰力矩，以减小飞行速度，回到悬停状态，故在悬停状态也是速度静稳定的。

?s为直升机机体轴OX与直升机空速之间的夹角称旋翼迎角，此?s角又称为构造迎角，故构造迎角不变下的速度静稳定可用下式表示

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?M?u?0（静稳定）,

?s?c?M?u?0（静不稳定）

?s?c 由于直升机旋翼对速度具有静稳定性，故直升机悬停状态在阵风扰动作用下，由于静稳定的物理反应，使直升机相对于地面坐标有明显的漂移。这加重了悬停保持操纵的难度。 2． 前飞速度u不变，构造迎角变化??s而引起的静稳定。

若直升机构造迎角?s由于抬头干扰而使??s出现正值，如果能产生低头力矩，使直升机恢复至原来?s0，则认为直升机是静稳定的，反之则是静不稳定的。

当构造迎角??s为正时，相当于直升机抬头,由图2－14可知，此时相当于原来的构造迎角?s0的负值减小，从而使相对气流在垂直于构造旋转平面的分速度减小的近似值为

u???s的值，由图

2－15可知，它相当于增加了翼型的迎角由?0增加??，从而引起桨

叶升力增加，周期挥舞运动的结果，引起旋翼左右两边升力不对称性更为明显，亦即使桨叶的桨尖平面更加后倒，它所产生的附加抬头力矩使??s更加增加，相当于图2－14的构造迎角?s0值变小。另外由于抬头出现正的??s，旋翼的气动合力F也随之增加?F，所以更加大了附加的抬头力矩。

当构造迎角减小时，桨尖平面相对于机身前倾，产生附加低头力矩，但由于构造迎角的减小，使旋翼气动合力也减小，所以??s所引起的低头力矩与相对于??增加所引起的抬头力矩从数量上要小一些。

YSYsouXs?????0w0Xso?so??s 图2-14

??Wu??s?r

??s增加对垂直于构造平面分速度的影响 图2-15 ??s增加引起翼型迎角增量??悬停时，当机身俯仰角改变??时，由于此时的操纵平面也同样改变??，因此桨尖平面与机身相互关系并无改变，无附加力矩生成，故悬停状态随俯仰角的变化是“中性”的。

在前飞状态，保持速度不变（?u稳定的。若

?M??s?0?u?0?M?0）时，若???0，则对构造迎角变化是静不

s?u?0 则为静稳定。通常直升机上安装有水平尾翼，其面积一般为桨盘

面积的0.2%~0.5% 安定面是可动的，当操纵总桨距增大时，水平安定面安装角应增大，反之亦然，水平安定面改善了直升机在前飞时旋翼按迎角的静不稳定性。由于水平尾翼在重心之后，当构造迎角出现正值，即飞机抬头时水平面出现附加升力，使直升机低头，故

?M??s?0 平尾 ，故此时整个直升机按迎角是否静稳定应取决于下式

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??M???M???M???M???M????????s?????s??＋????s??＋????s??＋???＋??0 ??全机??旋翼??桨毂??机身???s?平尾 需说明的是通常桨毂及机身对迎角??s是静不稳定的。故由平尾产生静稳定显得更为

重要。

由上分析可知，直升机在前飞状态，由姿态变化??而引起的构造迎角变化??s，从而出现的静不稳定，除了采用平尾气动增稳外，还应采用以姿态角变化作为电子反馈的增稳系统。它与固定翼飞机不一样，固定翼飞机的电子反馈增稳系统，采用迎角或与迎角有比例关系的法向加速度作为反馈量。

2.3.2航向静稳定性

固定翼飞机航向静稳定性主要由垂尾起作用，对于直升机则由尾桨起主要作用。 下面叙述由侧滑角改变??而产生的航向静稳定性。侧滑角的定义与固定翼飞机一样，是指飞行速度矢量与直升机纵向平面间的夹角。对于左旋翼直升机而言，定义左侧滑为正，如图2－16所示。若由于干扰出现侧滑，如果新出现的附加力矩能消除侧滑则认为航向是静稳定的。其航向静稳定定义与固定翼飞机航向静稳定定义相类同。

u0u0?sX0usin?so?1usin?0?0Twj?Twj

图2-16 左侧滑时航向静稳定力矩

以左侧滑为例，当机头右偏出现左侧滑时，对尾桨增加了周向来流速度u0sin?，从而减小了尾桨的翼型迎角，向左拉力Twj减小，相当于产生了向右的尾桨拉力增益?Twj，使机头左偏，力图消除左侧滑角。故航向是静稳定的。这是对前飞而言的，若直升机倒飞，有风从机尾向机头吹，此时出现的侧滑是静不稳定的。

仅就侧滑而言的航向静稳定可用下式表示

?N?0 ，则航向静稳定 ???N?0，则航向静不稳定 ??应注意航向力矩及侧滑角的正负极性，在标准坐标系中，由于立轴向下，故判断航向力矩的正负，当左旋直升机应按左手定则决定，右旋直升机则按右手定则决定，也即左旋直

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升机左偏航为正，右旋直升机右偏航为正。左旋直升机左侧滑为正，右旋直升机右侧滑为正。

2.3.3 横滚静稳定

F (a) 初始状态（?v?0,???0,???0）

F?o

(b) 干扰状态（Ld?0,???0,?v?0,???0）

F?o

(c) 横滚恢复稳定（L???0,??减小，?v减小，??减小）

图2-17横滚静稳定过程

在分析横滚静稳定时，对右旋直升机而言，若由于某种干扰力矩（Ld?0）使飞机产生右横滚（??0），此时旋翼气动合力发生右倾斜，使直升机向右移动（侧向速度v>0），

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前飞时出现右侧滑(??0)。对于旋翼来说，此时与纵向时由于前飞而出现旋翼后倒相类似，由于直升机右侧滑向右移动，出现旋翼左倒，因此出现向左滚转的恢复力矩，可理解为由侧滑而引起的力矩L???0。对于尾桨，由于向右移动，相对气流使尾桨构造迎角增大，从而使向左拉力加大，由于该拉力在重心上面，故出现左滚恢复力矩。这一物理现象与前飞时有类同。由上分析可知，直升机前飞时在旋翼与尾桨上均会出现横滚静稳定力矩。

由以上纵向、航向与横滚静稳定特性的物理原因可知，由于在悬停状态前飞速度为零，旋翼与尾桨均失去了产生稳定力矩的条件，因此在悬停状态俯仰、航向与滚转三个通道都是静不稳定的。所以悬停状态更需要采用电子反馈，以增加三个通道的稳定性。

2.3.4 直升机的阻尼特性

1． 俯仰阻尼力矩

以Mqq表示阻尼力矩（Mq为单位俯仰角速度而引起的俯仰力矩M）。俯仰阻尼力矩

Mqq主要是由旋翼引起的。当直升机以角速度q绕Y轴转动时，如图2－18 所示。由于桨

叶和桨毂是铰接式连接的，机身抬头这一特性，不能立即使旋翼桨尖平面相应的抬起一个角度。它是通过自动倾斜器与桨叶摇臂相连的小拉杆改变桨叶的安装角，然后通过空气动力的作用才使旋翼桨尖平面跟着直升机而转动，所以桨尖平面的转动滞后于机身的转动。由图可知，出现一个逆向的低头力矩，即阻尼力矩，同理，当机头低头转动时，即出现抬头阻尼力矩。当Mq??M?0，则有阻尼。显然阻尼力矩仅在有角速度时才存在，当停止转动时?qq?0，由于桨尖平面将会跟踪构造旋转平面，阻尼力矩即消失。从结构上考虑，增加桨叶

绕水平铰惯性矩、压低直升机重心位置等可增加阻尼。

TDFHsMDxx1qz1z图2-18 俯仰阻尼力矩

2． 偏航阻尼力矩

当直升机出现机头转动角速度r时，则出现偏航阻尼力矩N，且

N?Nr?r

式中Nr为偏航阻尼力矩系数且Nr?

?N?0。航向阻尼力矩主要由尾桨提供。以图2?r16

－19的左旋直升机为例，当出现偏航角速度r时，则出现尾桨轴向来流rl?x，它减小了尾桨构造迎角，尾桨向左的拉力减小了?Twj，相当于增加了向右的尾桨拉力?Twj。从而出现与

r相反的对重心O的偏航阻尼力矩。若机头产生?r，则过程相反，出现右偏航阻尼力矩。

rrl?xl?x?1?0rl?x

3． 横滚阻尼力矩

Twj?Twj图2-19 左旋直升机航向阻尼力矩

横滚阻尼力矩L?Lpp主要由旋翼及尾桨产生，p为滚转角速度。因具有阻尼特性，所以Lp??L?0。旋翼产生横滚阻尼力矩的物理原因与俯仰阻尼力矩产生原因相类似，?p而尾桨产生的阻尼力矩原因如图2－20所示。若直升机产生如图所示的左滚运动，对尾桨产生附加来流plwj，从而使尾桨桨叶迎角减少，拉力减小??wj，从而产生右滚力矩??wjlwj以阻尼左滚。当直升机右滚时，则出现左滚的阻尼力矩。

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FF0plwjTwjlwjo?Twj 图2-20 横滚阻尼力矩

2.3.5 直升机的操纵性

操纵性指直升机在操纵状态下，飞行状态改变的动态特性。它涉及两个含义：操纵的灵敏度和操纵时动态过程响应的时间。操纵灵敏度指的是操纵机构移动单位角度或某单位行程时，直升机所能达到的稳态转动角速度。故纵向操纵灵敏度为自动倾斜器纵向偏转??角所产生的俯仰角速度??y(??y??q)，航向灵敏度为尾桨桨距变化??wj角所产生的偏航角速度??z(??z??r)，横向灵敏度为自动倾斜器横向偏转??角所产生的横滚角速度

??x(??x??p)。因此操纵灵敏度不仅与操纵功效（单位操纵量所对应的操纵力矩大小）

有关，还与阻尼力矩有关。稳态后直升机各通道操纵力矩与阻尼力矩相平衡。直升机与固定翼飞机相比有较高的操纵灵敏度，是因为直升机的阻尼力矩较小。

操纵性的另一含义是操纵时的动态过程时间。为了适应人的反应时间（一般在0.5～1.0秒之间），希望各操纵通道角速度动态过渡时间在0.5～1.0秒之间到达稳态值。但由于直升机频带较窄，对轻型直升机，在悬停状态时，俯仰角速度的响应时间往往为2.0～7.5秒，偏航角速度的响应时间为2.5～5.5秒，滚转角速度的响应时间为1.0～1.5秒。为了加快响应的动态过程，应在直升机自身结构上采取措施，如在旋翼中增加“稳定杆”，另外各通道采用电子反馈，进行人工阻尼。

18

2.4 直升机运动方程

2.4.1 全量运动方程

假定直升机为一刚体，并作如下假定：忽略直升机弹性变形的影响，假定地球固定于空间，略去地球自转与公转的影响，将地球坐标系作为惯性坐标系；忽略地平面曲率；假设重力加速度不随飞行高度变化；认为直升机机体轴系的XOY平面是对称平面。

直升机作为六自由度刚体，所进行的运动是机械运动，因此，它必将遵循机械运动的规律。当沿直升机三轴的力X、Y、Z及绕三轴的力矩L、M、N均为零时，直升机或作匀速直线运动，或绕某轴匀速转动。否则，将产生加速度或角加速度运动。但直升机作为六自由度刚体，当其线运动和角运动同时存在时，还将产生与角速度及线速度相关的加速度。

因此线运动方程为

?du?m??wq?vr???X ?dt? (2-28)

?dv?m??ur?wp???Y ?dt??dw?m??vp?uq???Z ?dt?式中：u——沿OX轴线速度；v——沿OY轴线速度；w——沿OZ轴线速度

p——绕OX轴角速度；q——绕OY轴角速度；r——绕OZ轴角速度

(2-29)

(2-30)

?X,?Y,?Z分别为作用于机体轴X，Y，Z上的合力。

角运动方程为

Ixdpdr???Iz?Iyqr?Ixz?pq????L dtdt????(2-31)

Iydq??Ix?Iz?rp?Ixzp2?r2??M (2-32) dt??Izdr?dp??Iy?Ixpq?Ixz??qr???N (2-33) dt?dt???式中：Ix、Iy、Iz——分别为直升机对OX、OY、OZ轴的转动惯量。

Ixz——直升机对OX和OZ轴的惯性积。

?L、?M、?N——分别为绕OX、OY、OZ机体轴转动的力矩之和，绕机体

轴正方向转动的力矩为正。

为了描述直升机对于地面的运动，须由三个欧拉角（偏航角?、俯仰角?、滚转角?）来描述直升机相对于地球坐标系的姿态，由线位移（航程L、侧向距离Y、高度H）来表

19

示直升机相对于地球坐标系的位置；因此还需建立机体轴系中角速度p,q,r与欧拉角角速度

?,??之间的关系，以及机体坐标系中的三个线速度u,v,w与地球坐标系中的线位移速度?,???,Y?,H?之间的关系。 L机体角速度与欧拉角角速度之间关系

d??p?(rcos??qsin?)tg? dtd?rcos??qsin?? dtcos?d??qcos??rsin? dt(2-34) (2-35) (2-36)

?，侧位移变化率Y?由下式可使机体线速度u,v,w转换到地球坐标系中的航程变化率L?。 及高度变化率HdL?ucos?cos??w(sin?sin??cos?sin?cos?)?v(cos?sin?sin??sin?cos?)dt

(2-37)

dY??usin?cos??w(sin?sin?cos??cos?sin?)?v(cos?cos??sin?sin?sin?)dt

(2-38) (2-39)

dH?usin???cos?cos??vcos?sin? dt上述所建立的各运动方程称全量运动微分方程，其特点是非线性及参数时变。

2.4.2 小扰动线性化方程

与固定翼飞机一样，直升机的运动分为基准运动和扰动运动。所谓基准运动是指直升机按照某设计意图，以一定规律进行的运动。扰动运动是在外来干扰或控制作用下，直升机在原基准运动的基础上进行的增量运动。直升机的增量运动量与外界扰动量成线性关系，所以小扰动运动是增量线性化运动。事实证明，运用小扰动法分析直升机的稳定性与操纵性，既可使研究的问题简化，又具有足够的准确度。 1. 小扰动方程的建立 (1) 基本方法

小扰动运动方程的推导过程如下，设某全量非线性运动方程为

f(x1,x2,...........,xn)?0

(2-40)

.,n）式中变量xi(i?1,2,.........为运动状态量或其导数，且可表示成基准运动状态量xi0和小扰动偏离量?xi之和，因此：xi?xi0??xi， 而不管什么运动，如下两式总是满足的

f(x10,x20,.........,xn0)?0

f(x10??x1,x20??x2,............,xn0??xn)?0

(2-41) (2-42)

20

由于?xi是小扰动量（又称增量），故可将上式展开成台劳级数，然后忽略其二阶及二阶以上导数，则得到

f(x10,x20,.......,xn0)?(?f?f?f)0?x1?()0?x2.............?()0?xn?0 (2-43) ?x1?x2?xn由于上式中第一项为零，故可得如下线性化小扰动方程

(?f?f?f)0?x1?()0?x2?..........?()0?xn?0 ?x1?x2?xn (2-44)

式中的系数(

?f?f?f

)0，()0………,()0，都是某一基准运动确定点的偏导数，均

?x2?xn?x1

是已知常数。

(2) 全面运动小扰动方程

运用上述方法，对全量运动方程进行线性化处理，可建立直升机的小扰动线性化全面运动方程。将直升机的姿态变化量??、横滚角变化量??、偏航角速度变化量?r和地垂速率变化量?w等作为被控量。以?We,?Wa,?Wr,?Wc分别表示旋翼纵向周期变距、横向周期变距、尾桨桨距及旋翼总距相对应的驾驶杆，脚蹬及总距操纵量。则直升机在机体轴系下，增量线性状态方程为

??F?X?M?W ??X取状态变量

(2-45)

?X???u?v?w??控制变量

?????q?p?r?T

T?Wc?

?W???We则各状态系数阵为

?Wa?Wr?Xu??Y?u??Zu???Lu????Mu???Nu??0??0?0?

Xv?Yv?Zv?Lv?Mv?Nv?000Xw?Yw?Zw?Lw?Mw?Nw?000XqYqZqLqMqNq100XpYpZpLpMpNp010XrYrZrLrMrNr001000Lq?Mq?Nq?000000Lp?Mp?Np?0000?0??0??Lr??Mr??? Nr??0??0?0??(2-46)

21

?Xu?Y?u?Zu??LuF??Mu??Nu?0??0?0?XvYvZvLvMvNv000XwYwZwLwMwNw000X?Y?Z?L?M?N?000XWaYWaZWaLWaMWaNWa000X?Y?Z?L?M?N?000XWrYWrZWrLWrMWrNWr000X?Y?Z?L?M?N?000000?000??000??000?000?

?000?100??010?001??(2-47)

?XWe?Y?We?ZWe??LWeM??MWe??NWe?0??0?0?XWc?YWc??ZWc??LWc?MWc?

?NWc?0??0?0?? (2-48)

直升机状态系数阵中的各气动导数有明确的量纲及其物理意义，且与直升机采用的坐标

体系及量测单位密切相关。例如以某直升机为例，采用如图2－21所示的左旋直升机机体坐标系。原点O设在直升机的重心上，纵轴OX通过重心，指向机头方向为正。竖轴OZ通过直升机重心与桨 轴平行向下为正。横轴OY与OXZ平面垂直。OY轴的正方向这样规定：对左旋翼直升机，按左手定则以指向左方为正。2－21所示的机体轴系，按左手定则确定三轴的正方向。图中的u,v,w分别为飞行速度在纵轴，横轴及竖轴方向的分速度。p,q,r分别为绕X,Y,Z轴的角速度。按左手定则左滚为正，抬头为正，左偏航为正。纵向操纵时拉杆We为正，横向操纵时，左压杆为正，航向操纵时右脚蹬向前为正，总距操纵时增距为正。

Ys? xupYOvqrwz

图2-21 左旋直升机机体坐标系OXYZ

22

状态方程中各系数阵的气动系数的物理含义及量纲单位如下表2-1所示。

表2-1状态方程各参数量纲（采用千克，米，秒制） 参 数 量纲 2参 数 量纲 2参 数 量纲 2参 数 量纲 2参 数 量纲 2参 数 量纲 2Xu? Xv? Xw? Kg.s/m 2Yu? Yv? Yw? Yu Yv Yw Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/rad Kg.s/rad Kg.s/rad Kg/rad Kg/rad Kg/rad Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm 22Zu? Zv? Kg.s/m 2Lu? Lv? Lw? Kg.s 2Mu? Mv? Kg.s 2Nu? Nv? Nw? Kg.s 2Kg.s/m 2Kg.s/m 2Kg.s 2Kg.s 2Kg.s 2Kg.s/m Zw? Zu Zv Kg.s/m Kg.s Mw? Mu Mv Kg.s Kg.s Xu Xv Xw Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/rad Kg.s/rad Kg.s/rad Kg/rad Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/m Kg.s/rad Kg.s/rad Kg.s/rad Kg/rad Lu Lv Lw Kg.s Kg.s Kg.s Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.m/rad Kg.s Kg.s Kg.s Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.m/rad Nu Nv Nw Kg.s Kg.s Kg.s Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.s.m/rad Kg.m/rad Zw Mw Xq Xp Xr X? Yq Yp Yr Y? Zq Zp Zr Z? Lq Lp Lr L? Mq Mp Mr M? Nq Np Nr N? X? X? Kg/rad Y? Y? Ywe Ywa Ywr Ywc Z? Z? Zwe Zwa Zwr Zwc Kg/rad L? L? Lwe Lwa Lwr Lwc Kg.m/rad M? M? Mwe Mwa Mwr Mwc Kg.m/rad N? N? Kg.m/rad Kg/rad Kg/rad Kg.m/rad Kg.m/rad Kg.m/rad Xwe Xwa Xwr Xwc Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Nwe Nwa Nwr Nwc Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm Kg.m/cm

23

2.4.3 自然直升机性能分析

以重量为4.1吨某直升机为例。速度为22m/s，前进比为?=0.1，其状态方程为

??F?X?M?W，其中Hr，Fr，Mr分别为 Hr?Xrr

03.82310.9?1155.8542.2000??4100??0??41000?1131.7?2362.3?89528000???0?0?4092.390146?177.7?29.3000??000.5?4805.0?10738.448.4300?36321157.0???Hr?0039.7?13234.45100.8?12.6?13572.0300?272.2???00?0.24903.82055.4?1050.8?272.01157.0?11644.0???0?00100000??000010000???0?00001000??

26.640156.60.52275.3000??105.1111.4??29.3300.5?186.7?0?40156.6?8.0000???573.622.22283.98.0?2275.30000????74.7254.5?739.1000000??Fr???290.9?168.8294.3000000?

??131.5?364.9195.8000000???000000100???00000010??0?0?00000001??

003.3???83.2?9.3??54.9141.9?11.6????99.6?0.50437???34.2?239.536.2?4.6??Mr??359.207.82.2?

???5.24.8?948.9?148???0000???000??0?0000??? 以上各系数阵气动导数的角度以[弧度]为单位。而直升机自动倾斜器的周期变距是以[度]为单位。所以需对上述矩阵进行量纲的转换，列出以[度]为单位的各系数H,F,M

24

03.840.33??4100?0?41000?19.75??00?40921573.2?00.5?83.857?0H??0039.7?230.97?0?0.285.581?0?20.171?41.227????3.1012?0.51134000???187.410.844685.2356?63.38620.192?89.019?0.2199?236.865.2356?4.7469??35.871?18.339?4.746920.192?203.21?9.4625?1562.4000000??000100000?000010000??000001000??105.1111.426.6700.810.00872639.709000???29.3300.5?186.70?700.81?0.13962000???573.622.22283.90.13962?39.7090000????74.7254.5?739.1000000??F????290.9?168.8294.3000000?

?131.5?364.9195.8000000????000000100??000000010????000000001?????83.2003.3??9.3?54.9141.9?11.6????99.6?0.50437???34.2?239.536.2?4.6??M???359.207.82.2???5.24.8?948.9?148?

???0000??0000????0000??状态方程（2－45）描述了沿机体坐标的三个力及绕机体轴的三个力矩小扰动方程，在小扰动线性化假设下认为

?????q,?????p,?????r 将式（2－45）化为标准形式的直升机扰动线性化状态方程，则

? ?X?H?1F?X?H?1M?W?X??A?X?B

(2-49)

1?W其中，系数阵A?H?1F，控制阵B1?H?1M

若忽略以下气动导数

25

?????

Xv?,Xw?,Y?,Yw?,Zu?,Zv?,Lu?,Lv?,Lw?,Lq?,Lr?,Mu?,Mv?,Mw?,Mr?,Mp?,Nu?,Nv?,Nw?,Nq?,Np? u则式（2－49）中的A,B1阵可写成式（2－50），（2－51）。式中Xu?,Yv?,Zw?代表飞机的质量m,而Lp?,Mq?,Nr?代表直升机绕X轴，Y轴，Z轴及各自的转动惯量。

?Xu???Xu?Yu?Y??v?Zu?Z??w?0 A??0??0?Mu?M??q?Lu?L??p?Nu?N?r??Xwe??Xu??Yw?e?Yv??Z?we?Zw???0B1??0??0?M?we?Mq???Lwe?L??p?Nwe?

?Nr?XvXu?YvYv?ZvZw?000MvMq?LvLp?NvNr?XweXu?YwaYv?ZwaZw?000MwaMq?LwaLp?NwaNr?XwXu?YwYv?ZwZw?000MwMq?LwLp?NwNr?XwrXu?YwrYv?ZwrZw?000MwrMq?LwrLp?NwrNr?X?Xu?Y?Yv?Z?Zw?000M?Mq?L?Lp?N?Nr?X?Xu?Y?Yv?Z?Zw?000M?Mq?L?Lp?N?Nr?X?Xu?Y?Yv?Z?Zw?000M?Mq?L?Lp?N?Nr????XqXu?YqYv?ZqZw?100MqMq?LqLp?NqNr????XpXu?YpYv?ZpZw?010MpMq?LpLp?NpNr?????????????????0?

?1?M??r?Mq??L??r?Lp??N??r?Nr???XrXu?Y?rYv?Z?rZw?0(2-50)

Xwe??Xu??Ywe??Yv??Zwe??Zw???0?0??0?Mwe??Mq???Lwe??Lp??Nwe??Nr??

(2-51)

将式（2－50），（2－51）中表达的A,B1阵中各气动导数以简化符号表示。例

Xu?u?Xu，表Xu? 26

?的变化;示纵向速度u变化而引起纵向加速度uMu?表示纵向速度u变化而引起的俯?MuqMq??的变化;仰角加速度qXweXu??u表示纵向周期变距操纵杆We变化而引起的纵向线加速度?Xwe?的变化;uMweMq??q?的变化。其表示纵向周期变距操纵杆We变化而引起的俯仰角速度q?Mwe它依次类推。故可将A，B1阵写成式（2-52），（2-53）形式。这相当于将式（2-46），（2-47），（2-48）所表达的H，F，M阵中的三机体轴方向力与力矩气动导数转化为由于力与力矩的变化而引起的沿三轴方向的线加速度及绕三轴角加速度变化的气动偏导数。这种气动导数的转变有利于表达在控制作用下的直升机气动模型，使其具有明显物理意义。

?u?Xu?v?Y?u??Zw?u?0 A??0??0?q?M?u?p?Lu?r???Nu?uXv?Yvv?Zvw?uXw?vYw?wZw?uX??Y?v?Z?w?uX??Y?v?Z?w?uX??Y?v?wZ??u?Xq??Yqv?w?Zq??Xup?v?Yp?w?Zp???Xru???Yrv???w?Zr?0?0? (2-52)

?1????Mrq??p?Lr???Nrr???000?qMv?pLv?rNv000?qMw?pLw?rNw000?M?q?pL?000?qM??pL??rN??uXwa000?qM??pL??rN??uXwr100?q?Mq?p?Lq?r?Nq010?q?Mp??Lpp?r?NpN?r??u?Xwe?v??Ywe?w?Zw?e?0? B1??0?0??q?Mwe?p??Lwe?Nr??weYwv?a?wZwaYwv?r?wZwr000?qMwa?pLwa?rNwa000?qMwr?pLwr?rNwr?u?Xwc??vYwc???wZwc?0??0? (2-53) 0???qMwc???pLwc???rNwc?假如直升机由串联舵机进行控制，如图2-22所示。图中Kc为操纵杆传动比，Ks为串联舵机传动比。例如，已知某直升机

纵向通道 Kc1?1.19?/cm Ks1?4.35?/cm 横向通道 Kc2?0.781?/cm Ks2?3.68?/cm 航向通道 Kc3?4.56?/cm Ks3?8.09?/cm

27

总距通道 Kc4?0.752?/cm Ks4?4.35?/cm

??WKc??u串联舵机???周期变距Ks助力器自动倾斜器直升机动力学?X直 升 机

图2－22 直升机操纵及控制结构 则可将由驾驶杆输入的?W转化为由作动器输入的??，由于

?W?则式（2-49）可写成

Ks???K?? （2－54） Kc??A?X?B?? （2－55） ?X?Ks1?K?c1?0?其中

B?B1K?B1???0???0??0Ks2Kc20000Ks3Kc30?0??0??，???[??e,??a,??r,??c]T ?0??Ks4??Kc4??仍以某4吨重直升机为例，在低高度前飞状态，速度为22m/s，前进比??0.1的状态下，此时方程（2－55）的A阵与B阵将为 ??0.0258?0.0071???0.1402??0A??0??0?1.2403??1.0993??0.5667??0.0272?0.0065?0.17090.0000?0.00970.0102?0.00490.0023??0.07330.045500.17090?0.0048?0.0101?0.3811???0.0054?0.558100.009700.3844?0.0008?0.0001??000001.000000? ?0000001.00000?00000001.0000?0.6055?1.242500.00160?0.97570.31260.0009???3.508711.636100.00020?1.2981?2.9709?0.0159?1.4329?0.96350000.42150.1766?0.0918?? 28

000.0462??0.0740??0.00830.0632?0.06140.0164????0.08870.01010?0.06181???0000??? B??0000??000?0???5.56270.3726?0.1911?0.05365?????2.430118.402?1.66420.4194??0.0931?0.11158.45454.2001???由式（2－55）可知，反映全面运动的小扰动方程是[9×9]的矩阵方程，其相应的微分

方程为9阶，因此它具有9个特征根，它们分别代表一定的运动特性。显示出不同的运动模态，以某直升机为例，九个运动模态在S平面中的分布可用图2-23表示。由图可知，直升机具有以下典型模态特性 (1) 纵向短周期模态

在纵向小扰动运动方程的诸特征根中，大复根所代表的模态。例如相应的两根为

S1,2??1.097?0.658j。主要特征为迎角和俯仰角均呈短周期，衰减快的振荡，飞机在该

短周期运动内速度变化小。 (2) 纵向长周期模态

在纵向小扰动运动中，以小复根所代表的运动模态。例如相应的两根为：

S3,4?0.035?0.435j。主要特征为飞行速度和俯仰角均呈缓慢的长周期变化，典型周期

为10～30秒。且往往呈现不稳定而发散，倍幅时间为4～5秒。从驾驶员可控性考虑，发散周期及倍幅时间应足够地长。 (3) 侧向滚转收敛模态

在侧向小扰动运动方程的诸特征根中，大实根所代表的运动模态。例如相应的根为

S5??1.057。主要特征是滚转角和滚转角速度呈现衰减快的非周期运动。

(4) 侧向荷兰滚模态

在侧向小扰动运动方程的诸特征根中，复根所代表的运动模态。例如相应的两根为主要特征是滚转角、侧滑角和偏航角呈现频率较高的周期性振荡。 S6,7??0.35?1.098j。

(5) 螺旋模态

在侧向小扰动运动方程的诸特征根中，小实根所代表的运动模态。例如相应的根为

S8??0.030。主要特征是非周期的缓慢滚转和偏航运动，具有螺旋运动特性。

（6）航向随遇平衡模态

是零根S9?0所代表的运动模态，它具有航向随遇平衡的特性。例如在外干扰作用（包括控制作用）下，它显示航向以积分形式偏离。当外干扰或控制消除后，即停止在干扰或控制消除时的位置。故称随遇平衡模态。

29

j?j?10.40.5-0.030.020.06??-2-1.5-1-0.50-0.5?-0.4-1

图2-23 特征根分布

由上面直升机全面运动小扰动方程及特征根表明：自然直升机工作的不稳定性，以及四通道之间的严重耦合。为了方便工程设计与分析，往往首先不计全面运动方程（2－55）中纵侧向之间的气动耦合元素，人为地处理成如下纵侧向独立的状态方程。

纵向状态方程

??A?X?B?? （2－56） ?Xlonlonlon式中：?X???u?????w?q???T， ??lon??e?

???c?????u??w??q?0?T ?X?u?Xu?w?Z??uq?M??u?0??uXw?wZw?qMw0?u?Xq?w?Zq?q?Mq0?u?X????uu??w?X?XZ???ee?w???w??，Blon??Z?q（2-57） Z?e? eM????q?Mq?M?e???e0??Alon

侧向状态方程

??A?X?B?? (2-58) ?Xlatlatlat式中：?X???v?????p?r?T

??????v?????X?00， ??lat???T???a? ????r? 30

Alat??Yvv?p??Lv?r??Nv??0?0??Y?v?pL??rN?00?Y?v?pL??rN?00?v?Yp??Lpp?r?Np00???Yrv??p?Lr??Nrr?? （2－59）

?0?0??Blat??Y?va?p???L?a?Nr???a??Y?vr??pL?r? （2－60） ??rN?r?仍以上述直升机为例，当纵侧向不计气动耦合后，可得纵向的特征根，其中短周期模态的特征根为S1,2??0.663?0.813j，长周期模态的特征根为S3,4?0.002?0.351j。侧向的特征根中的横滚模态特征根为S5??1.855，荷兰滚模态的特征根为

S6,7??0.318?1.035j，螺旋模态的特征根为S8??0.023。随遇平衡的特征根S9?0，

图2－24为独立后的纵侧向运动模态在S平面中的分布。虽然纵侧向通道独立处理后，对应的特征根与全面运动特征根在数值上有一定差别，但在工程上，对直升机进行四通道控制系统独立设计时作为控制对象仍有明显参考作用。

j?1j?1jw-0.020?-0.7-0.5-0.10?-2-1.6-0.20?-1纵向侧向-1图2－24 纵向与侧向运动独立后的模态在S平面中的分布

31

2.5 小型无人直升机动力学建模及物理特性分析

小型无人直升机类似于日本Yamaha公司的R-50直升机，它有足够的有效载荷（22.7 kg）和可靠的操作性，可作为研究无人直升机的平台。它的旋翼有二片桨叶组成，并且带一个称作Bell-Hiller的稳定杆。其物理构造如图2-25所示。旋翼转速为850rpm（转/分），桨尖速度为449m/s，净重44kg，荷载能力68kg，可自主飞行30分钟。

图2-25 小型无人直升机的的结构与布局

本节将针对有稳定杆这一特殊结构，对该类直升机进行动力学建模，以便于分析稳定杆的物理作用。

2.5.1直升机增稳动力学结构

图2-26所示为直升机机体参照系，其中x、y、z为机体轴位置，u、v、w为沿机体轴方向的速度，?、?、?是三个欧拉角,即滚转、俯仰和偏航三个姿态角，p、q、r是绕机体轴x,y,z转动的角速率。a,b及c,d分别表示旋翼及稳定杆纵向和侧向挥舞角。

b,dYa,cov,qXu,pZw,r

图2-26 机体坐标系

直升机运动的状态变量为?u,?v,?w,?p,?q,?r,??,??,??；控制变量为纵向周期变距的变量??e，侧向周期变距的变量??a，总距变量??c，以及尾桨变距变量??r。如图2-27表明，在旋翼桨毂上产生的力和力矩分别为Hx,y,z和Lx.y,z，在机体体坐标系中的力

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和力矩分别为Fx,y,z和Mx,y,z，旋翼拉力为T,尾桨旋翼拉力为TT,h为旋翼与重心之间的距离。

TTTHy,Lyb,da,cHx,LxFy,MYHz,LzoMzFx,Mxmg

图2-27 机体坐标系中所产生的力和力矩

稳定杆可以看作是一个附属旋翼，稳定杆与主旋翼有同样的控制输入，稳定杆的挥舞运动对主旋翼周期变距输入起一个控制增稳作用。这个增稳是通过一种固定机械来完成的。在稳定杆及偏航速率反馈共同作用下的直升机增量动力学模型如图2-28所示。

?U?GR??e??a??c??e??a??c??r?U?a?U?cGRGRTact?U?r??r直升 机动力学?u?v?w?p?q?r?p?q??e?UrfbKcKdKrs?Krfbcd稳定杆动力学??a?r

图2-28 直升机增稳动力学模型

系统有四个增量控制输入，即纵向周期变距??e、侧向周期变距??a、总距??c和脚蹬输入??r。它们分别通过四个作动器（三个旋翼作动器GR和一个尾桨作动器Tact）对自然直升机进行操纵，图2-28中的偏航阻尼电子反馈和稳定杆的挥舞运动对自然直升机起增稳作用，直升机的状态输出为三个方向的飞行速度变化量?u、?v、?w和三个角速度变化量?p、?q、?r。

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2.5.2 数学模型的建立

1．旋翼作用下的运动方程

在旋翼纵侧向挥舞运动作用下的直升机线性化增量运动方程为

???w0?q?v0?r?g???Xu?u?Xaa ?u(2-61) (2-62)

???u0?r?w0?p?g???Yv?v?Yped??r?Ybb ?v??Lu?u?Lv?v?Lw?w?Lbb (2-63) ?p??Mu?u?Mv?v?Mw?w?Mcol??c?Maa (2-64) ?q 式中a,b为旋翼纵侧向挥舞角，它们所产生的力导数用Xa,Yb表示，所产生的力矩导数为Lb,Ma。空气动力学速度导数为Xu,Yv,Lu,Lv,Lw,Mu,Mv,Mw。

2．旋翼/稳定杆动力学方程

旋翼/稳定杆是一个复杂系统,为了表明稳定杆对直升机的飞行动力学特性的影响，可对旋翼和稳定杆分别进行建模。

首先对旋翼动力学进行建模。最简单的方法就是把旋翼看作能在纵向和侧向轴上进行倾斜的刚体圆盘。并用傅立叶级数的一次谐波最大近似地表示旋翼挥舞动力学。最后得到如下旋翼的纵向和侧向挥舞方程

???a??f?q?Abb?Acc?Alat??a?Alon??e (2-65) ?fa???b???p?Ba?Bd?B???B?? ?fb(2-66) fadlatalone再写出如下稳定杆的纵向和侧向挥舞方程

???c??s?q?Clon??e (2-67) ?sc???d???p?D?? (2-68) ?sdslata

式中Clon和Dlat为纵侧向输入导数,；?s为稳定杆的时间常数。

稳定杆动力学与主旋翼动力学通过一种混合器连接。该混合器是一个机械混合器，它的作用是在主旋翼的周期变距的基础上再迭加一个周期变距，所迭加的周期变距与稳定杆的挥舞角成正比。因此，经稳定杆增稳后的的主旋翼纵向和侧向的周期变距有如下形式

??e???e?Kcc 和??a???a?Kdd (2-69)

式中Kc和Kd为稳定杆传动装置的增益，c和d是混合器的几何函数。对式（2-67）和（2-68）进行拉氏变换可得到如下稳定杆纵向和侧向的挥舞运动传递函数

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c???sC?q?lon??e (2-70)

?ss?1?ss?1??sD?p?lat??a

?ss?1?ss?1(2-71)

d?

由式（2-70）和（2-71）表明，稳定杆实际起到角速率延迟反馈（式中第一项），及控制增强的作用（式中第二项）,因此可以画出图2-28,以示稳定杆的物理作用.

在原来不带稳定杆的旋翼的挥舞方程式（2-65）和（2-66）中，引入稳定杆增稳后，其旋翼挥舞方程可写为

???a??f?q?Abb?Acc?Alon(??e?Kcc)?Alat??a (2-72) ?fa???b???p?Ba?Bd?B(???Kd)?B?? (2-73) ?fbfadlatadlone式中Blat,Blon和Alat,Alon是输入导数。?f是主旋翼时间常数。 Ba,Bd和Ab,Ac是旋翼本身发生的交叉耦合。

3．机身垂直动力学方程

直升机机身垂直运动的动力学方程为

???v0?q?u0?p?Zw?w?Zaa?Zbb?Zrr?Zcol??c (2-74) ?w4．偏航动力学方程

通常，自然飞机机身的偏航线性化动力学模型可用如下最简单的一阶系统来表示

Nped?r (2-75) Tr?????rs?Nr式中Tr?是自然飞机的偏航动力学传递函数；Nr是自然飞机的偏航阻尼系数；Nped是尾桨控制的灵敏度。

可以采用偏航阻尼系统，以增加自然飞机的运动阻尼，如图2-29所示。该偏航增稳系统是通过偏航速率的负反馈完成的。

?U?r?尾桨作动器??r偏航动力学?rTactTr??Urfb偏航速率陀螺Tgyro图2-29 增稳偏航动力学的结构配置

作动器和速率陀螺的动力学是通过各自的传递函数Tact和Tgyro来表示的，这样由图2-29可得到增稳后的偏航动力学的闭环传递函数

Tr?,aug?Tr?Tact

1?Tr?TactTgyro(2-76)

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Tr?,aug可以由飞行试验进行辨识得到，因此由上式可以得出自然直升机的偏航动力学Tr?

Tr??Tr?,augTact?Tr?,augTactTgyro (2-77)

为了避免建模的复杂性,在图2-29中忽略作动器动力学Tact，处理成传动比为1,且偏航速率陀螺带有一阶滤波器的形式,则

?Urfb?r?Kr (2-78)

s?Krfb则经偏航速率反馈后的偏航增稳系统的闭环传递函数为

Nped(s?Krfb)?r ?2??rs?(Krfb?Nr)s?(KrNped?NrKrfb)与上式相应的微分方程为

(2-79)

??Nr?r?Nped(??r??rfb) (2-80) ?r?fb??Krfb?rfb?Kr?r ?r若考虑到??,?p,?w及??c对偏航通道的影响,则式2-80应写为

(2-81)

??Nr?r?Nv?v?Np?p?Nw?w?Ncol??c?Nped(??r??rfb) (2-82) ?r2.5.3增稳动力学的状态空间模型

直升机增稳动力学的状态空间方程为

??F?x?G?u (2-83) M?x式中?x为状态变量，?u为输入变量，系统矩阵F包含稳定导数，输入矩阵G包括输

入导数，M矩阵包括旋翼挥舞方程中的旋翼时间常数。

式（2-84）表达了状态方程的具体内容,显然该状态方程由如下微分方程组成 1． 由方程（2-61）,（2-62）和（2-74）三式构建的机体纵向、侧向及法向的位移运

?,v?,w?）动（u；

2. 由式（2-63）、（2-64）和（2-82）所构建的机体绕三轴的滚转、俯仰和偏航角运动

?,q?,r?）（p；

?）?,b3. 由式（2-65）和（2-66）所构建的旋翼纵向及侧向的挥舞运动（a； ?）?,d4. 由式（2-67）和（2-68）所构建的稳定杆纵、侧向挥舞运动（c； ?fb）5. 由式（2-81）所构建的偏航阻尼系统运动学（?r。

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??　　　0　　????w0　　?u00u　　　　?v??w00?Y????0v??????LL0?p00v???u???M000?quv??????0??0100??????0??0010??????????000??f0??fa??????0??fb00??f0????w???00?v0u00????r???0Np00???v?r?fb??0000???0?????sc000???0s???　00　0??sd??0s???XYX?　Xa000000000000　　MN????　　　　　　　　　　　　　0　　0　　0　　0?00X000???u???　　　r　　　????00Y0??v0?0000???pedYrb??????00LbLw00000?0???p??0??????Ma0Mw0000???q??000Mcol??????????00000?000000??????00000000?00?????0?????+?????0000?0A0a?AA??-1Ab?latlonc??????Ba-10000Bd??b??00BBlatlon?????????w?ZaZbZwr000?00Zcol?????0???r???Nped00?000NpedN?r????0wcol??????KK?rfb??00000??rfb0r000??????c??00C00000???00-1lon??????0?0-1??d?Dlat0000000YZNN???a??????e?(2-84) ???r??????c?

2.5.4小型直升机增稳动力学的结构

为了便于设计仿真和理解增稳系统各部分的物理作用，以及理解直升机的各通道之间的气动耦合，因此建立了直升机增稳动力学总结构，如图2-30所示。不考虑纵侧向之间耦合的独立后的纵向结构如图2-31所示，独立后的侧向结构如图2-32所示。

?旋翼对机???体的阻尼????-a?1as-1XaMa??q+x01s??e??eAlon?f?q1s???g?w0??u1s?u1s?xx?fMcolMwMuXu??c?w?uClon?q（速度稳定性）wq引起的?由?惯性加速度(控制增强)?s?c-?q-1scKc（力矩耦合）1?稳定杆对???机体阻尼?????sz0??cZcol??wZa1s?w1s?zz?u0Zw?挥舞耦合?a?q???由uq引起的?w

图2-31 直升机增稳模型的纵向结构

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z0zyzx?0yyx0x??）1s）1sw1sw动wv动扰w动(?扰duu?气扰d?流流?向vu纵流?v气wd气?(?向?w?向侧w法1suX1sYv（1sZ（?v?u??w??((rde的?p?Y(0r起度的uv00q的??起度0v?引速ur起度引速rv0wq?????0wp??引速q0，加p加vpu加???，性q性ww惯，性pv惯由ru惯rgZr由?(?(由(?gb?Zb?1s?aq）1sZ?性?）用作合耦a（定p1s?）l稳oc?q度1s性Z?Muu定c?速?p?稳?（vv?dvL?度MMv速?ww?）用（duLLu）)作?用矩M?合力耦(lwocw?作合扰c?（干矩L干aM滚力?耦（仰X?a横扰b b Y俯M ( Lrb?(f?rrabKK?s1srf1sf?1s?N11bfr?rcd?K?a?-）Kb?-b+用ff）fr?b?作acAbda用N合B作ffs翼a耦?es合）1s??t?1s?n杆1旋al?A?（o1翼lBpp定）杆旋）???耦尼（阻?工N??稳c?尼定dp尼-稳??人-?阻v-?q阻-航）（）（偏N?ffq尼?p尼?（wno-?阻lA-?阻taNwl?（Bs（esa????t?）loccnaol?CDl矩dNN?）用作合耦（?力?扰ea干dep?航N???偏（r??

图构结型模稳增 03-2图38

??rYb（旋翼对机体的阻尼）Ypedy0??aBlat-?f?b-1sbLb??p1s???p1sgw0?u0??v1s?v1s?yy1?fLvYv?s(控制增强)--（耦合作用）图2-32 直升机增稳模型的侧向结构

关于增稳动力学结构模型的物理分析 1．结构图表明了四个通道的基本工作机理

纵向通道在纵向周期变距??e控制下，产生旋翼挥舞锥体角前倾或后倒的变化a，由于锥体拉力的倾斜产生了纵向力，一方面通过Xa这一力的气动系数直接产生纵向加速度变化

?，另一方面这一纵向力又产生纵向力矩的变化，通过Ma这一力矩导数产生?q?，但由于?u旋翼俯仰阻尼力矩的产生，从而使俯仰角以一次积分形式变化??，从而使重力通过结构图

?。上的g在机体x轴上的分力增大或减小，使纵向加速度产生变化?u由于具有速度阻尼Xu，

故最终形成纵向速度的变化?u。由此可知，当速度变化量达到要求的值后，纵向周期变距的操纵量应回收，否则姿态??一直会以积分的形式变化，从而带动?u以积分形式变化。这一物理过程类似于固定翼飞机中操纵高度的过程：改变升降舵??e以改变飞机的俯仰姿态

?，它以积分形式改变高度?H，当达到要求??，从而使航迹倾斜角变化??，即产生?H的高度时，舵面应回收，使增量舵??e趋于零。

横滚通道的工作机理与纵向通道相类似，在横向周期变距??a控制下，产生旋翼挥舞锥体角侧向左右倾倒的变化b, 它一方面直接产生侧向力，形成侧向加速度的变化???，另

?，但是由于旋翼所形成的阻尼力矩的存在，一方面这一侧力又引起横滚力矩的变化，产生?p?，从而使横滚角以一次积分形式改变??，此时由于重力在机体y轴上力的变化，产生?v但由于?v引起阻力，故最终构成侧向速度的变化?v，当?v到达要求的值后，横向周期变

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????p稳定杆对 机体的阻尼1?s（偏航人工阻尼）Nrfb?rfbKrs?Krfb1s??rNpedNvNp??r?rNr?v?p?Dlatd?1sd?vKd?p?r，ur引起的惯?由wp性加速度矩杆应回中，否则直升机会一直以积分形式进行横滚。

偏航机头的控制通过尾桨桨距的变化??r，它直接产生对机身的偏航力矩的变化而形成

?，偏航角加速度的变化?r通过自然偏航阻尼力矩Nr以及人工电子反馈阻尼，最终达到偏航

角速度的变化?r。故尾桨桨距控制对应的是偏航角速度。

高度通道的控制是通过总距的控制??c，它直接产生法向升力，从而产生法向线加速度

?，通过自身的速度阻尼Zw，最终产生法向速度变化?w。故与总距控制??c相的变化?w?。多数直升机的速度控对应的是法向速度?w，经cos?处理后，相当于高度的变化率?H制与高度控制相互之间的耦合很小。而固定翼飞机速度控制与高度控制必须相互协调，因为由于重力的作用，形成速度与高度控制的严重耦合，也即控制速度必须稳定高度，控制高度必须稳定速度。

2．结构图显示了稳定杆对纵向及横向通道的增稳与阻尼作用。

3．结构图显示了四通道之间的耦合作用，包括牵连运动耦合作用。当不计较耦合作用时，可将四通道相互独立，从而形成纵向运动结构图（2-31）和侧向运动结构图（2-32）。 4．结构图中显示了由于直升机角速度使飞行速度方向发生变化而产生的加速度，其物理意义为直升机做曲线运动时在重心处产生的惯性加速度。这在全量运动方程式（2-28）（2-29）及（2-30）中表达为X轴方向的wq、?vr，Y轴方向的ur、?wp及Z轴方向的vp、?uq。经增量线性化处理后，在结构图2－30中仍反映出这一力学特性。也即作用在各轴上的外力变化所产生的增量加速度包括这一增量角运动而引起的惯性加速度。

5．结构图中给出了对三个通道的气流扰动，标出了迎风?uw，侧风?vw以及垂风?ww在结构图中的作用点，以便于通过仿真估计它们对飞机运动的影响。

6．结构图中给出了作用于三个机体轴的干扰力矩对直升机运动的影响。通过仿真可以得出力矩干扰对各通道控制精度的影响。

表2-2列出了该直升机增稳动力学方程中诸系数以英制表示的量纲，以及在悬停和前飞两种状态下的各气动系数值。

表2-3列出了与表2-2相对应的国际单位（国标）量纲下各气动数值，可作为小型直升机气动导数的参考值。

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表2-2 两种飞行状态的气动导数（量纲为英制）

悬停巡航悬停m巡航 u0?0msu0?15msu0?0su0?15ms 量纲值值量纲值值 ?M 矩阵F 矩阵fsec0.046310.0346 Z1sec-0.6141-1.011?ssec0.3415 0.2591Zwrftsec?rad0.9303－ Zpftsec?rad-11F 矩阵 Zqftsec?rad-49.2X u1sec-0.05046-0.1217Np1sec－X -3.525aftsec2?rad-32.2 -32.2Nradsec?ft0.030130.4013Xftsec?rad-66 -11Nvradsec?ft0.08568－Yr1sec-0.1539-0.1551 Nw1sec-4.129-3.897Yvrftsec2?rad32.2 32.2N2rfbradsec?%-33.07-26.43Ybftsec?rad- -49.2Kr%rad2.1632.181Lrradsec?ft -0.1437 －Krfb1sec-8.258-7.794Luradsec?ft0.1432 －G 矩阵Lvradsec?ft－-0.2131 Blatrad%0.13980.1237Lwb1sec2166.1 213.2Blonrad%0.01380.02003Muradsec?ft-0.05611 －Alatrad%0.031270.02654Mvradsec?ft-0.05850 A －lonrad%-0.1004-0.08372Mwradsec?ft －0.07284Zcolftsec2?%-45.84-60.27M1sec2 82.57108.0Mcolradsec2?－6.980Ba? 0.36810.4194N2colradsec?%-3.329－Bd1 0.71030.6638Npedradsec2?3.0726.43A-0.1892 -0.1761Dlatrad%0.27310.2899Ab1 c10.64439 0.5773Clonrad%-0.2587-0.2250Zbftsec2?rad -131.2－Ypedftsec2?%－11.23Zaftsec2?rad -9.748－?pedsec0.09910.0589341

表2-3 两种飞行状态的气动导数（量纲为国标）

悬停悬停巡航u 巡航0?0msu0?15msu0?0msu0?15ms量纲值 值量纲值值M 矩阵 F 矩阵??fsec0.046310.0346Z1sec-0.6141-1.011 ssec0.34150.2591 Zw0.005－ Zrmsec?degpmsec?deg-0.059F 矩阵 Zqmsec?deg-0.262Xu1sec-0.05046 -0.1217Np1sec-3.525－Xamsec?deg-0.171 -0.171Ndegsec?m5.6675.39Xmsec?deg- -0.059Nvdegsec?m4.91－Yr1sec-0.1539 -0.1551Nw1sec-4.129-3.897Yvrmsec2?deg0.171 0.171Nrfbradsec2?%-1894.9-1514.4Ybmsec?deg- -0.262KTg0.0380.0381Lrrdegsec?m-26.99 －Krfb1sec-8.258-7.794Ludegsec?m26.9－G 矩阵Lv degsec?m－Lw -40.03Blatdeg%8.017.09b1sec2166.1213.2Blondeg%0.7911.148M udegsec?m-10.54 －Alatdeg%1.7921.521Mvdegsec?m-11.00 －Alondeg%-5.753-4.797Mwdegsec?m－ 13.68Z2colmsec?%-13.98-18.382Ma1sec282.57 108.0Mcoldegsec2?%－399.95Ba无0.3681 0.4194Ncoldegsec2?%-190.75－B0.7103 0.6638Npeddegsec2?94.911514.4Ad无-0.1892 -0.1761Dlatdeg.6516.61Ab无c无0.644390.5773Clondeg%-14.82-12.89Zbmsec2?deg-0.698－Ypedmsec2?%－3.425Z amsec2?deg-0.052－?pedsec0.09910.0589342

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