同济大学结构力学矩阵位移法-3

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6.3 矩阵位移法解平面刚架一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构: 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 ) 5 13,14,15) 6 16,17,18) ( ) (

6

2 1

3

54 10,11,12) ( )

3 7,8,9) ( )

4Y X

1 (1,2,3) )

2 (4,5,6) )

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F1 F e 2e F3 e {F } = F e 4 单元杆 F5e e 端力 F6 e

二.单元分析

y

eδ e e δ 1e F F3 δ 4e 6 5 δ e 1 2 l , A, EI δ 2e 2 e e F1e F4e x δ 3 e e F5e {δ } = δ e F2 e δ1 4 单元杆 δ 5e 单元杆端力和单元杆端位移 e 端位移 δ 的方向与局部坐标系一致为正. 6 的方向与局部坐标系一致为正.

δ 3e

δ 6e

F1e k11 单元分析的目的: 单元分析的目的: F e k 建立单元杆端力和 2 21 单元杆端位移的关系. 单元杆端位移的关系 F3e k31 e = e e e {F } = k {δ } F4 k 41 F5e k51 e F6 k61

k12 k 22 k32 k 42 k52 k62

k13 k 23 k33 k 43 k53 k63

k14 k 24 k34 k 44 k54 k64

k15 k 25 k35 k 45 k55 k65

[]

k16 δ 1e e k 26 δ 2 k36 δ 3e e k 46 δ 4 k56 δ 5e e k66 δ 6

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二.单元分析e 3

y

F e 若令: 若令 1 2 δ l , A, EI δ1 δ1e = 1, δ 2e = δ 3e = δ 4e = δ 5e = δ 6e = 0 e F1e F4e x e F5e F2 e 则有: 则有 F e k11 1 δ2 F e k 1 2 l , A, EI 2e 21 e F3 k31 e EA/l EA/l δ1 = 1 e = F4 k 41 F5e k51 F1e k11 k12 k13 k14 k15 k16 δ 1e e e F e F6 k61 2 k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 δ 2 F3e k31 k32 k33 k34 k35 k36 δ 3e e e k11 = EA/ l k41 = EA/ l e = e F4 k 41 k 42 k 43 k 44 k 45 k 46 δ 4 e e k51 = 0 k21 = 0 F5e k51 k52 k53 k54 k55 k56 δ 5e e e e e k61 = 0 k31 = 0 F6 k61 k62 k63 k64 k65 k66 δ 6

δ 3e

δ 6ee e 6 4

δ 5e F

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二.单元分析F e 若令: 若令 δ1 e e e e e e δ 2 = 1, δ1 = δ 3 = δ 4 = δ 5 = δ 6 = 0 F1e e F2e 则有: 则有 F k12 1 F e k 2 δ 2e = 1 22 e F3 k32 = 6EI/l 2 e F4 k 42 F5e k52 F1e EA/ l e F e F6 k62 2 0 F3e 0 e e k42 = 0 k12 = 0 e = EA/ l e 2 4 F e 2 k22 = 12i / l k52 = 12i / l e F5 0 e e k62 = 6i / l F e k32 = 6i / l 6 0 e 3

y1

δ 3el , A, EI e

δ 6e2

δ

e e 6 4

δ 5e FF4e x

δ 2e1

F5el , A, EI e2

6EI/l 2 12EI/l 3 k16 δ1e e k26 δ 2 k36 δ 3e e k46 δ 4 k56 δ 5e e k66 δ 6

12EI/l 3

k12 k13 k14 k15 k22 k23 k24 k25 k32 k33 k34 k35 k42 k43 k44 k45 k52 k53 k54 k55 k62 k63 k64 k65

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二.单元分

析e 3

y

F e 若令: 若令 1 l , A, EI δ1 e e e e e e δ 2 = 1, δ1 = δ 3 = δ 4 = δ 5 = δ 6 = 0 e F1e e F2e e 则有: 则有 F k12 1 δ2 F e k 2 δ 2e = 1 1 22 e l , A, EI k32 F3 e = 6EI/l 2 3 e 12EI/l F4 k 42 0 k13 k14 F5e k52 F1e EA/ l e Fe 0 12i / l 2 k23 k24 F6 k62 2 e F3 0 6i / l k33 k34 练习: 练习: e = 0 k43 k44 F4 EA/ l 试求单刚第 F5e 0 12EI / l k53 k54 三列元素. 三列元素. e 6i / l k63 k64 F6 0

δ 3e

δ 6e2

δ

e e 6 4

δ 5e FF4e x

F5e2

6EI/l 2 12EI/l 3 k16 δ1e e k26 δ 2 k36 δ3e e k46 δ 4 k56 δ5e e k66 δ 6

k15 k25 k35 k45 k55 k65

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二.单元分析F e 若令: 若令 δ1 e e e e e e δ 3 = 1, δ1 = δ 2 = δ 4 = δ 5 = δ 6 = 0 F1e e F2e 则有: 则有 F k13 1 F e k 2e 23 F3 k33 4i e = F4 k 43 0 F5e k53 EA/ l e 0 12 / l2 i F6 k63 6i / l e 0 k = 练习: 练习: 0 EA/ l 试求单刚第 0 12EI/ l 三列元素. 三列元素. 6i / l 0 e 3

y1

δ 3el , A, EI e

δ 6e2

δ

e e 6 4

δ 5e FF4e x2i

δ 2e δ 3e = 1 16i/l 0

F5el , A, EI e2

{}

EA/ l 6i / l 0 12 / l2 i 4i 0 6i / l EA/ l 0 0 0 12 / l2 i 6i / l

6i/l 0

0 6i / l 2i

0 6i / l 2i 0 6i / l 4i

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二.单元分析单刚的性质: 单刚的性质: 1.对称矩阵 1.对称矩阵 2.奇异矩阵 2.奇异矩阵

y

[k ] = [k ]e

eT

δ

F

e 1 e 1

F

e 3

δ 3el , A, EI e

δ 6e2

1

δ

e e 6 4

δ 5e FF4e x

[k ]

F

e

=0

e 2

δ 2e

F5e

单刚的分块矩阵表示: 单刚的分块矩阵表示:

0 0 0 0 EA / l EA / l 0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l 0 6i / l 4i 0 2i 6i / l e {k } = EA/ l 0 0 0 0 EA / l 0 0 12i / l 2 6i / l 12EI / l 6i / l 6i / l 2i 0 6i / l 4i 0

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二.单元分析单刚的性质: 单刚的性质: 1.对称矩阵 1.对称矩阵 2.奇异矩阵 2.奇异矩阵

[k ] = [k ]e

eT

[k ]

e

=0

单刚的分块矩阵表示: 单刚的分块矩阵表示:

{F }1 k = {F }2 k

[ ] [k ] [ ] [k ]11 21

12

{ }1 δ δ 2 22 { } e

0 0 0 0 δ1e EA / l F1e EA / l F e 0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l δ 2e 2e F3 0 6i / l 4i 0 2i δ 3e 6i / l e = F4 EA / l 0 0 EA / l 0 0 δ 4e F5e 0 0 12i / l 2 6i / l δ 5e 12EI / l 6i / l e e 6i / l 2i 0 4i δ 6 6i / l F6 0

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三.坐标转换1.问题的提出 1.问题的提出

局部坐标系下的杆端力 2.整体坐标系下的杆端力与 2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 x y 2 y F2e e F3e 1 α x F1e F3e e F2e F1

整体坐标系下的杆端力

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e e F1e = F1e cosα + F2e sinα 简记为: 简记为: {F }1 = [λ ]{F}1 e e F2e = F1e sinα + F2e cosα {F }2 = [λ]{F}2 e e e F3 = F3 e e e {F }1 [λ ] [0] {F}1 e F1 cosα sinα 0 F1 = {F} F {F }2 [0] [λ ] 2 F2 = sinα cosα 0 2 e F F 0 {F } = [T ]e {F}e 0 1 3 3 2.整体坐标系下的杆端力与 其中 2.整体坐标系下的杆端力与 α 0 0 0 局部坐标系下的

杆端力之 cos sinα 0 sinα cos 0 间的关系 α 0 0 0 x 0 1 0 0 0 y e 0 2 y [T] = e F2 α 0 0 cos sinα 0 0 e F3e 1 0 0 0 sinα cos 0 α e α x F1 e 0 0 0 0 1 0 F3 e F1e F2 单元 e 的坐标转换矩阵

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可直接验证坐标转焕矩阵是一个正交矩阵. 可直接验证坐标转焕矩阵是一个正交矩阵.

[T ] [T ] = [I ] eT e 1 即 [T ] = [T ]e eT

对于杆端位移有相同的关系: 对于杆端位移有相同的关系:

2.整体坐标系下的杆端力与 其中 2.整体坐标系下的杆端力与 α 0 0 局部坐标系下的杆端力之 cos sinα 0 sinα cos 0 间的关系 α 0 0 x 0 1 0 0 y e 0 2 y [T] = e F2 α 0 0 cos sinα 0 e F3e 1 0 0 0 sinα cos α e α x F1 e 0 0 0 0 0 F3 e F2e F1 单元 e 的坐标转换矩阵

{δ } = [T ] {δ }e e

e

{F } = [T ] {F}e e

e

0 0 0 0 0 1

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3.整体坐标系下的单元刚度矩阵 3.整体坐标系下的单元刚度矩阵

{F} = [T ] {F } e e eT = [T ] [k ] { } δ e eT e e = [T ] [k ] [T ] {δ }e eT e

{F } = [k ] {δ } {δ } = [T ] {δ }e ee e

e

e

{F} = [k ] {δ } e e eT e 其中 [k ] = [T ] [k ] [T ]e e e

----整体坐标系下的单元刚度方程 ----整体坐标系下的单元刚度方程 ----整体坐标系下的单元刚度矩阵 ----整体坐标系下的单元刚度矩阵 (整体单刚) 整体单刚)

4.整体单刚的计算 4.整体单刚的计算

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4.整体单刚的计算 4.整体单刚的计算 1 2

α1 = 01 0 0 = 0 0 0 1T

0 1 0 0 0 01

0 6 1 0 0 01

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 01

y

l

l 已知: 已知: EI = 12×12 EA = 6; l = 12求:各单元整体单刚 解: EA/ l = 6,12i / l 2

x

[T ]

1

0 0 0 0 0 1

= 1, 6i / l = 6,2i = 24,4i = 480 1 6 0 0 6 48 0 0.5 0 0 1 0 0.5 0 0 0 6 0 24 0 0 1 6 6 48

[k ] = [T ]1

[k ] [T ] = [k ]1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

α 2 = 90o0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

[] []

0.5 0 0 1 2 k = k = 0.5 0 0

[T ]

2

1 6 6 24

1 0

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4.整体单刚的计算 4.整体单刚的计算 1 2

[k ] = [T ]2

2T

[k ] [T ]2

2

y

l

l 已知: 已知: EI = 12×12 EA = 6; l = 12求:各单元整体单刚 解: EA/ l = 6,12i / l 2

x

1 0 6 = 1 0 6

0 0 .5 0 0 0 .5 0

6 0 48 6 0 24

1 0 6 1 0 6

0 0 .5 0 0 0 .5 0

6 0 24 6 0 48

= 1, 6i / l = 6,2i = 24,4i = 480 1 6 0 0 6 48 0 0.5 0 0 1 0 0.5 0 0 0 6 0 24 0 0 1 6 6 48

α 2 = 90o0 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

[] []

0.5 0 0 1 2 k = k = 0.5 0 0

[T ]

2

1 6 6 24

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4.整体单刚的计算 4.整体单刚的计算 1 2

[k ] = [T ]2

2T

[k ] [T ]2

2

y

l

l 解: EA/ l = 6,12i / l 2 = 1, 6i / l = 6,2i = 24,4i = 48利用物理意义求: 利用物理意义求: 2 2 令: δ12 = 1, δ 2 = δ 3

x

1 0 6 = 1 0 6

0 0 .5 0 0 0 .5 0

6 0 48 6 0 24

1 0 6 1 0 6

0 0 .5 0 0 0 .5 0

6 0 24 6 0 48

= δ 42 = δ 52 = δ 62 = 0 2 2 2 k11 = 12i / l 2 = 1 k41 = 1 2 则有: 则有 F k11 2 F5 1 F4 F 2 k 2 2 k51 = 0 2 k21 = 0 22

21 F6 F3 k31 e 2 k31 = 6i / l = 6 k61 = 6 2 2 = y F4 k 41 2 F1 x 作业:用此方法求2单 2 作业:用此方法求2 F5 k51 F32 δ12 = 1 2 元整体单刚其它元素. 元整体单刚其它元素. 2 F2 F6 k61

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8wvi.html