专题10.3 二项式定理(讲)-2015年高考数学一轮复习讲练测(解析
更新时间:2024-06-11 19:25:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2015年高考数学一轮复习第10章概率统计
专题3二项式定理
〖考纲解读〗
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 〖备考明向〗
1.排列、组合与二项式定理是历年来高考重点内容之一,一般在选择题、填空题中出现,主要考查两个计数原理、排列数与组合数公式的运用、实际应用以及二项展开式,在考查排列、组合与二项式定理基础知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力.
2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查这部分的基础知识,命题形式相对比较稳定. 〖知识梳理〗 1. 二项式定理
n1n1nrrn*
(a+b)n=C0b+?+Crb+?+Cnna+Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多
-
-
项式叫(a+b)n的二项展开式.
其中的系数Crn(r=0,1,?,n)叫二项式系数.
nrrnrr式中的Crb叫二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项Tr+1=Crb. nana
-
-
2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
1n1n(4)二项式的系数从C0n,Cn,一直到Cn,Cn. -
3.二项式系数的性质
nr(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即Crn=Cn.
-
(2)增减性与最大值:
n+1k二项式系数Cn,当k<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;
2n
当n是偶数时,中间一项Cn取得最大值;
2
n-1n+1
当n是奇数时,中间两项C,C取得最大值.
2n2n
12rnn
(3)各二项式系数和:C0n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn=2; 24135n1C0. n+Cn+Cn+…=Cn+Cn+Cn+…=2
-
〖分析考向〗
考向一:求二项展开式中指定项或指定项的系数
?31?
?n的展开式中,第6项为常数项. 【典型例题】已知在?x-
?3?
2x??
(1)求n;
(2)求含x的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
2
353
【迁移训练1】(1+2x)(1-x)的展开式中x的系数是 . A.-4 C.2
B.-2
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
D.4
[来源:学*科*网]
考向二:二项式系数的性质
【典型例题】二项式(2x-3y)展开式中,求
(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;(4)系数绝对值的和.
9
【迁移训练1】设?
?2?2n22n-12n2
+x?=a0+a1x+a2x+?+a2n-1x+a2nx.则(a0+a2+a4+?+a2n)-(a1+a3+?+?2?
a2n-1)2=________.
考向三:二项式定理的应用
【典型例题】(1)求证:1+2+2+?+2
1
2
27
2
5n-1
(n∈N)能被31整除;
*
(2)求S=C27+C27+?+C27除以9的余数.
【迁移训练】
(1)求(1.999)精确到0.001的近似值. (2)证明:3>(n+2)·2
nn-1
5
(n∈N,n>2).
*
[来源:学科网ZXXK]
〖考题回放〗
2014年高考题组 1. 【2014高考湖北卷理第2题】若二项式(2x?a)7的展开式中
1xx3的系数是84,则实数a?(A.2 B. 54 C. 1 D.
24
52. 【2014高考湖南卷第4题】??1?23?2x?2y??的展开式中xy的系数是( )
A.?20 B.?5 C.5 D.20
83.【2014大纲高考理第13题】 ??xy?22???yx??的展开式中xy的系数为 . ?
)
?x?4. 【2014高考安徽卷理第13题】设a?0,n是大于1的自然数,?1??的展开式为
?a?na0?a1x?a2x2???anxn.若点Ai(i,ai)(i?0,1,2)的位置如图所示,则a?______.
275. 【2014全国1高考理第13题】?x?y??x?y?的展开式中xy的系数为________.(用数字填写答案)
8
6. 【2014全国2高考理第13题】?x?a?的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
103227. 【2014山东高考理第14题】 若(ax?)的展开式中x项的系数为20,则a?b的最小值 . 2bx68. 【2014四川高考理第2题】在x(1?x)的展开式中,含x项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10
63
2013年高考题组 1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)】(x?215)展开式中的常数项为( ) x3
A.80 B.-80 C.40 D.-40
[来源:Z。xx。k.Com]
1??2.【2013年普通高等学校统一考试天津卷】 ?x?? 的二项展开式中的常数项为 .
x??6
a??73.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)】设常数a?R,若?x2??的二项展开式中x项
x??的系数为?10,则a?______.
5[来源:Zxxk.Com]
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】设二项式(x?15)的展开式中常数项为A,则3xA?________.
5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)】二项式(x?y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是____________.(用数字作答)
6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)】
1??使得?3x???n?N??的展开式中含有常数项的最小的n为
xx??A.4 B.5 C.6 D.7
n7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学卷】已知(1?ax)(1?x)的展开式中x的系数为5,则a= (A)-4
(B)-3
(C)-2
(D)-1
528.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】(1?x)(1?y)的展开式中xy的系数是( ) A.56 B.84 C.112 D.168
8422
9.【2013年全国高考新课标(I)】设m为正整数,(x+y)展开式的二项式系数的最大值为a, (x+y)
2m+1
2m展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( )
B、6
C、7
D、8
A、5
4??1??x??,x?0,10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)】设函数f(x)??? , 则当x>0时, x???x?0.??x,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 ( )
(A) -20 (B) 20 (C) -15 (D) 15
〖复习小结〗 明确高考:
1.二项展开式的通项公式的应用,利用通项公式求特定的项或特定项的系数,或已知某项,求指数n等是考查重点;
2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法,也是高考考查的热点; 3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题为主. 解题经验:
1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1=Cnarn-rrb,注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到它们展开式
的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指Cn,而后者是字母外的部分.前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可正可负.
2.二项式定理可利用数学归纳法证明,也可以根据次数,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续.
3.通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.
4.展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③可证明整除问题;④可做近似计算等.
r
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