高三数学第二轮专题复习1-函数

高三数学第二轮专题复习—函数讲义与练习

一、本章知识结构：

指数 函数的表示法 函数的三要素 对数 基本初等函数： 指数函数 对数函数 映函 函数的性质

初等函数 反函数

函数的应用

二、高考要求 （1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。

③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。 四、复习建议

1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质

①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；

②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；

③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对

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函数单调性和奇偶性应用的训练；

④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；

⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。

2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法 ①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；

②建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。

3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系

要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。

所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。 五、典型例题

【例1】

设f(x)?4x?2x?1，则f?1?1(0)= 1 。

解：由4x?2x?1=0，解得x?f【例2】

(0)?1

1已知函数f(x)?()x (x?0)和定义在R上的奇函数g(x)，当x>0

2时，g(x)?f(x)，试求g(x)的反函数。

?12?log1x (0?x?1)?(2) (x?0)?2??(x?0) g?1(x)??0 (x?0)解：g(x)??0 ?x?log(?x) (?1?x?0)?-2 (x?0)?2??【例3】 已知函数

ax2?1f(x)? (a,b,c?Z)是奇函数，又

bx?c?f(1)?2??1?a?2，从而可得a=b=1；c=0

?f(2)?3?1f(1)?2,f(2)?3，求a、b、c的整数值。

解：由f(?x)??f(x)?c?0，又由?【例4】

⑴已知f(x)?x?1，求fx?11() x⑵f(x)?x2?2x?2,f(x)在[t,t?1]上的最小值为g(t)；试写出s?g(t)的解析式。

解：⑴f?1(x)?x?1，fx?1?111?x （x?0,x?1） ()?x1?x (0?t?1)?1 ?2⑵g(x)??t?1 (t?0)

?2?t?2t?2 (t?1)第 2 页 共 29 页

【例5】

已知函数f?x???x2?mx?2m?4(0?x?2，且m?0)，若f?x?的最

大值为n，求n?g?m?的表达式。

222?2?2mmmm??x?mx????2m?4???x????2m?4 解：f?x???x?mx?2m?4?????4424????2∵0?x?2，而m?0，m?0，开口向下的二次函数f?x?在[0,2]上是单调减函数 2∴f?x?最大值?f?0???2m?4∴故n?g?m???2m?4(m?0)【例6】

设f?x?是R上的偶函数，且在区间(??，0)上递增，若

f3a2?2a?1?f2a2?a?1成立，求a的取值范围。

????解：

∵f?x?在R上是偶函数。在(??，0)上递增，则f(x)在(0,??)上递减211?1?2??又3a?2a?1?3?a2?a????1?3?a????0399?3?3???3?0(也可用?断定3a2?2a?1?0)???022

111?1?7??2a?a?1?2?a2?a????1?2?a????0

21616?4?8??22而f3a2?2a?1?f2a2?a?122????2∴3a?2a?1?2a?a?1?a?3a?0??3?a?0

0?为所求。 故a???3，【例7】

比较ma?m?a与mb?m?b?a?b?0,m?0且m?1?的大小。

解：作差比较大小:

n?ma?m?a?mb?m?b?ma?ab1mab?mb?1mb?ma?mb?ab1maa?b?1mb

?m?m?mb?mamamb?m?m??a?ma?mbma?b??m??m?m·?1ma?b?

当m > 1或0 < m < 1。都有u > 0

故ma?m?a?mb?m?b。

【例8】

设f?x??10x?10?x10x?10?x???上是增函数；。（1）证明f?x?在???，（2）求f?1?x?及其 定义域

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x102x?110?2x解：（1）f?x?? 1x10?110?x1010x?1任取x1、x2，且???x1?x2???

??f?x102x1?1102x2?12102x1?102xf?x212??102x1?1?102x2?1???102x1?1???102x2?1? ?y?102是增函数，

?102x1?102x2?0即102x1?1?0，102x2?1?0f?x1??f?x2??0

?f?x1??f?x2??f?x?在???，???上是增函数

（2）y?f?x??102x?1102x?1；定义域R，值域（－1, 1）

反解：x?102y?1102y?1

x?102y?1??102y?1x·102y?x?102y?1?x?1?102y???x?1?

102y??x?1x?1

102y?1?x1?x?02y?lg1?x1?x??1?x?1??f?1?x??y?11?x2lg1?x??1?x?1? 【例9】

定义在R上的函数f?x?满足：对任意实数m,n，f?m?n??f?m??f?n?，且当x?0时，0?f?x??1．

（1）试求f?0?的值；

（2）判断f?x?的单调性并证明你的结论； （

3

）

A???x,y?f?x2??f?y2??f?1??,B???x,y?f?ax?y?2??1,a?R?，

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有

设若

总

A?B??，试确定a的取值范围．

（4）试举出一个满足条件的函数f?x?．

解：（1）在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?1,n?0．得：

f?1??f?1??f?0?．

因为f?1??0，所以，f?0??1．

（2）要判断f?x?的单调性，可任取x1,x2?R，且设x1?x2．

在已知条件f?m?n??f?m??f?n?中，若取m?n?x2,m?x1，则已知条件可化为：f?x2??f?x1??f?x2?x1? ．

由于x2?x1?0，所以1?f?x2?x1??0．

为比较f?x2?、f?x1?的大小，只需考虑f?x1?的正负即可．

在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?x，n??x，则得f?x??f??x??1． ∵ x?0时，0?f?x??1， ∴ 当x?0时，f?x??1?1?0．

f??x?又f?0??1，所以，综上，可知，对于任意x1?R，均有f?x1??0． ∴ f?x2??f?x1??f?x1???f?x2?x1??1???0． ∴ 函数f?x?在R上单调递减．

（3）首先利用f?x?的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子．

f?x2??f?y2??f?1?即x2?y2?1，

fax?y?2?1?f?0?，即ax?y?2?0．

22由A?B??，所以，直线ax?y?2?0与圆面x?y?1无公共点．所以，

??2a?1解得：?1?a?1．

2?1．

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?1?（4）如f?x????．

?2?

六、专题练习 一、选择题

1．已知四个函数：①y=10x ②y=log0.1x ③y=lg(-x) ④y=0.1x，则图象关于原点成中心对称的是：（C）

A．仅为③和④ B．仅为①和④ C．仅为③和② D．仅为②和④ 2．设f(x)=log2(x+1)，f?1（1）= 。（1）

3．．已知，定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)= f(x)；（2）f(4+x)= f(x)；若当 x?

[0，2]时，f(x)=?x2+1，则当x?[-6，-4]时，f(x)等于 （ D ） （A）?x2?1 （B）?(x?2)2?1 （C）?(x?2)2?1 （D）?(x?1)2?1 4．．已知f(x)=2 x+1，则f （A）

?1x(2)的值是 （ A ）

131 （B） （C） （D）5 22515．已知函数f(x)=x3+a且f(-1)=0，则f?（的值是 （ A ） 1） （A）0 （B）2 （C）1 （D）-1 6．函数y?x?1（x≥0）的反函数是 （ A ）

22x??1）x??1） （A）y?(x?1)（ （B）y=(x?1)（

（C）y?x2?（ （C）y?x2?（ 1x??1）1x??1）7．函数f(x)的反函数为 g（x），则下面命题成立的是 （ A ） （A）若f(x）为奇函数且单调递增，则g（x）也是奇函数且单调递增。 （B）f(x）与g（x）的图像关于直线x+y=0对称。 （C）当f(x）是偶函数时，g（x）也是偶函数。 （D）f(x)与g(x)的图像与直线一定相交于一点。

8．若函数y=f(x)的图像经过点（0，1），则函数y=f(x+4)的反函数的图像必经过点 （ A ）

（A）（1，-4） （B）（4，1） （C）（-4，1） （D）（1，4） 9．若函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间 ???，4?上是

减函数，则实数a的取值范围是( B )

A．a?3 B． a??3

C． a??3

D． a?5

10．将函数y?125x?3x?的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数 22第 6 页 共 29 页

的

解A．y?C． y?析

式

为

( B． y? C )

1?x?5?2?1 21?x?1?2?1 21?x?1?2?5 2D． y?1?x?5??1 211．二次函数f?x??ax2?bx?c中，a?0且a?1，对任意x?R，都有

?1??，则（ B ） logf?x?1??f?2?x?，设m?faloga3，n?f??a?a????

A．m?n C．m?n

B．m?n

D．m、n的大小关系不确定

12．函数f?x??log1(x2?4x?31)的值域为（ B ）

3

A．?3，??? B．???，?3? C．?8，???

D．R

13．已知y?loga?2?ax?在0，1上是x的减函数，则a的值取范围是（ B ）

A．(0, 1)

34??

12B．(1, 2) C．(0, 2)

D．?2，???

二、填空题 1．函数y?x???1?x? 的定义域是 。（?0,1?） 2．函数y?log0.3?x?2x的单调递增区间是 3．函数y? ?2??1，2?

log0.1?x?2?的定义域是 ??2，?1?

1．集合A?{(x,y)|y?x2?mx?2}，B={(x,y)|x?y?1?0且0?x?2}。若A?B??，

三、解答题

求实数m的取值范围。

解：由x2?mx?2?x?1?x2?(m?1)x?1?0 x?[0,2]， 由题设知上述方程在[0,2]内必有解。

3所以：⑴ 若在[0,2]只有一个解，则f(0)f(2)?0?m??

2?f(2)?0?m?13?⑵若在[0,2]只有二个解，则?0???2???m??1

22?????0由⑴⑵知：m??1

2．设两个方程x2?ax?b?0和x2?bx?a?0有一公共根，问：

⑴a与b之间有什么关系；⑵当a?[?1,0]，b?[?1,0]时，求a2?b2的最大值与最小值。

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解：⑴两方程相减得：(a?b)x?a?b，显然a?b，否则两方程为同一方程。所以x?1，代入方程得：a?b?1?0且a?b 11⑵a2?b2?a2?(?a?1)2?2(a?)2?；

22所当a?0或a?1时，(a2?b2)max?1； 而当a??13时，b???[?1,0]，所以无最小值。 223．当1?a?2时，比较logax与2log2ax的大小。

解：logax?2log2ax?lgx2lgxlgx?lg2?lga??? lgalg2algalg2a?1?a?2，?lg2?lga，lga?0，lg2a?0

当0?x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax

当x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax 当x?1时，lgx?0，lgax?2log2ax?0，?logax?2log2ax

4．x为何值时，不等式logmx2?logm?3x?2?成立。

?x?0?x2?0??2?解：当m?1时，?3x?2?0??x??1?x?2

3?2??x?3x?2??1?x?2?x?0?x2?0??22?当0?m?1时，?3x?2?0??x???x?1或x?2

33?2??x?3x?2??x?1或x?2故m?1时，1?x?2 0?m?1时，

2?x?1或x?2为所求。 35、已知函数f(x)?1?ln(x?1).(x?0) x（1）函数f(x)在区间（0，+?）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当x?0时，f(x)?k恒成立，求正整数k的最大值. x?11x11解：（1）f(x)?2[?1?ln(x?1)]??2[?ln(x?1)]

xx?1xx?1 ?x?0,?x2?0,1?0.ln(x?1)?0.?f(x)?0. x?1 因此函数f(x)在区间（0，+∞）上是减函数. （2）（方法1）当x?0时，f(x)?k恒成立，令x?1有k?2[1?ln2] x?1又k为正整数. ?k的最大值不大于3.??7′

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下面证明当?k?3时,f(x)?k(x?0)恒成立. x?1即证当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立. 令g(x)?(x?1)ln(x?1)?1?2x,则g?(x)?ln(x?1)?1,

时,g?(x)?0;当0?x?e?1时,g?(x)?0. 当x?e?1?当x?e?1时,g(x)取得最小值g(e?1)?3?e?0.

?当x?0时，(x?1)ln(x?1)?1?2x?0恒成立.

因此正整数k的最大值为3.

（2）（方法2）当x?0时，f(x)?k恒成立，

x?1即h(x)?(x?1)[1?ln(x?1)]?k对x?0恒成立.

x即h(x)(x?0)的最小值大于k.

x?1?ln(x?1),记?(x)?x?1?ln(x?1)?(x?0)

x2x??(x)??0,??(x)在(0,??)上连续递增，

x?1h?(x)?又?(2)?1?ln3?0,?(3)?2?2ln2?0,

??(x)?0存在唯一实根a，且满足：a?(2,3),a?1?ln(a?1).

由x?a时,?(x)?0,h?(x)?0;0?x?a时,?(x)?0,h?(x)?0知：

h(x)(x?0)的最小值为h(a)?因此正整数k的最大值为3.

(a?1)[1?ln(a?1)]?a?1?(3,4).

a第2讲

一、典型例题

【例1】

关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则

实数a的取值范围为 .

解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］. 等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值. 答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)

【例2】

设f(x)是定义在??1,1?上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于

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直线x?1对称，而当x??2,3?时，g(x)??x2?4x?c（c为常数）。 （1）求f(x)的表达式；

（2）对于任意x1，x2??0,1?且x1?x2，求证：f(x2)?f(x1)?2x2?x1； （3）对于任意x1，x2??0,1?且x1?x2，求证：f(x2)?f(x1)?1. 解：（1）设g(x)上点Q(x0,y0)与f(x)上点P（x，y）对应， ∴y0?y,x0?2?x ；∵(x0,y0)在g（x）图象上

∴y??(2?x)2?4(2?x)?c??4?4x?x2?8?4x?c?x2?4?c

∵g(x)定义域为x∈[2,3]，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称， 所以，上述解析式是f(x)在[–1，0]上的解析式 ∵f(x)是定义在[–1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，∴c=–4 所以，当x∈[0，1]时，–x∈[–1，0]，f(x)=–f(–x)=–x2

2???x,x?[?1,0]所以f(x)??2

??x?4,x?(0,1]（2）当x∈[0，1]时，|f(x2)?f(x1)|?|x22?x12|?|(x2?x1)(x2?x1)| ∵x1,x2?[0,1],x1?x2，∴0?x1?x2?2，所以|f(x2)?f(x1)|?2|x2?x1| （3）∵x1,x2?[0,1]，∴0?x22?1,0?x12?1

∴?1?x22?x12?1，∴|x22?x12|?1 即|f(x2)?f(x1)|?1

【例3】

2?已知函数f(x)=loga??x?x?2?(a>0, a≠1)

?? (1) 求反函数f?1(x)，并求出其定义域。

2?13n?3?n (2) 设P(n)=(n∈N)，求a的取值范围。 f(n?loga2)，如果P(n)<

222?解：(1) 设y= f(x)=logloga??(x?x?2)?(x?2)

??∴ay=x+x2?2?ay?x?x2?2

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两端平方整理得：a-2xa+2=0?x=

2yy

a2y?22ayay?2a?y ?2∴f?1ax?2a?x2? ∵a>1时，f(x)=loga??x???x?x?2?值域为loga??2?2,??

?0

∴ f-1 (x)的定义域为：a>1时，x∈loga2,?? 0

(2) P(n)=

2f2?1??????(n?loga2)?22n2?n1(a?a)?(an?a?n) 22223n?3?nan?a?n3n?3?n由Pn????an?a?n?3n?3?n

222即a+a－(3－3)=

n-nn-n

(an?3n)[(3a)n?1]3nan?0

∵(3a)n>0 ∴(an－3n)[(3a)n－1]<0?

1loga2?a>1

?1??a?3即?3?1?a?3 ?a?1?【例4】 f(x1?x2)?设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①

f(x1)f(x2)?1 ②存在正常数a，使f(a) = 1，求证：（1）f(x)为奇函数；

f(x2)?f(x1)（2）f(x)为周期函数，且一个周期为4a。 证明：（1）令x =x1 - x2 则f( - x) = f ( x2 - x1)=

f(x2)?f(x1)?1f(x1)?f(x2)?1??

f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)= －f (x1 －x2 )= －f (x)，∴f (x)为奇函数。

（2）∵f( x+a ) = f[x － ( －a ) ]=

f(?a)f(x)?1?f(a)f(x)?1f(x)?1 ??f(?a)?f(x)?f(a)?f(x)f(x)?1f(x)?1?1f(x?a)?1f(x)?11???∴f (x+2a )=

f(x?a)?1f(x)?1f(x)?1f(x)?1∴f ( x+4a)=?1??f(x?2a)1=f (x) 1?f(x) ∴f (x)是以4a为周期的周期函数。

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【例5】

已知函数f(x)=logmx?3

x?3(1)若f(x)的定义域为?α,β?，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为?logmm?β?1?,logmm?α?1??的定义域区间为?α,β? (β＞α＞0)是否存在？请说明理由.

解：（1）

x?3?0?x＜–3或x＞3. x?3∵f(x)定义域为?α,β?,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有

x1?3x2?36(x1?x2)???0 x1?3x2?3(x1?3)(x2?3)当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在?α,β?上的值域为?logmm?β?1?,logmm?α?1?? ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.

?f(β)?logm??∴??f(α)?logm??β?3?logmm(β?1)β?3

α?3?logmm(α?1)α?32??mβ?(2m?1)β?3(m?1)?0,又β?α?3 即?2??mα?(2m?1)α?3(m?1)?0即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根

?0?m?1???16m2?16m?1?0?2?3?∴?2m?1 ∴0＜m＜

4?3??2m???mf(3)?0故当0＜m＜

2?3时，满足题意条件的m存在. 4【例6】

已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)

(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;

(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 解： （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：

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???(m?1)2?4(m?4)?0??tanA?tanB?m?1?0 又A、B锐角为三角形内两内角 ?tanA?tanB?m?4?0?∴

π＜A+B＜π 2tanA?tanBm?1??0

1?tanAtanB?m?3∴tan(A+B)＜0，即tan(A?B)??m2?2m?15?0?m?1?0??∴?m?4?0∴m≥5 ??m?1?0??m?3(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)

又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3

m?12(m?1)2(3)解：∵f(sinα)=sinα–(m+1)sinα+m=(sinα? )?m?242

且

m?1≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8. 2即1+(m+1)+m=8，∴m=3

【例7】

已知函数f?x??log2?x2?2mx?2m2?????的定义域为实数集。2m?2?1（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有m?M，恒有 f?x??2。

证明（1）∵f?x??log2?x2?2mx?2m2?????的定义域为实数集 m2?2?1∴x2?2mx?2m2?1m2?2?0恒成立

1??∴????2m?2?4?2m2?2??0m?2??

m4?2m2?1∴?0m2?2∴M?mm??2或m?2，m?R??（2）令u?x??x2?2mx?2m2?1m?22??x?m?2?m2?1m?22

第 13 页 共 29 页

∴u?x?min?m2?12m?2∴log2u?x??log24?2?m2?2?1m?22?2?2?2?4

【例8】

设f?logax?=

a(x2?1)x(a2?1)，（a>0,a≠1），求证：（1）过函数y=f(x)

图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)>3。 解：（1）令t=logax，则x=at，f(x)= ∴f(x)=

aa?12aa2?1(at?a?t) (t∈R)

(ax?a?x) (x∈R)

a(ax1?ax2·)(ax1?x2?1)(a?1)a2x1?x2设x1?x2，f(x1)－f(x2)=

(1)a>1时，?，f(x1)aa2?13?3f(x1)?f(x2)>0

x1?x2?a4?a2?1a2?a2?21?1≥2a·2?1?3 2aa(a?a)?a(a6?1)a3(a2?1)1∵a>0，a≠1 ∴a2≠【例9】

1a2 ∴上述不等式不能取等号，∴f(x)>3

已知函数f(x)=lg(ax?kbx)(k?R?，a?1?b?0)的定义域为（0，+

∞），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+∞）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。

aa解：由ax?Kbx?0，得()x?K，∵a>1>b>0，∴>1，∴x>logaK

bbb 又f(x)定义域为（0，+∞），∴logaK=0，K=1，∴f(x)=lg(ax?bx)

b设01>b>0，∴ax1< ax2，－bx1< bx2

∴0< a－b< a

x1x1x2－ b

x2，∴0<

ax1?bx1ax2?bx2<1，∴lg

ax1?bx1ax2?bx2<0

∴y1?y2?0,y1?y2，∴f(x)在（0，+∞）上是增函数 ∴x?(1,+∞）时，必有f(x)>f(1)=lg(a－b)

第 14 页 共 29 页

∵f(x)在（1，+∞）上取正值，∴lg(a－b)=0 a－b=1 (1) 又f(3)=lg4 ∴lg(a3?b3)=lg4，a3?b3 =4 (2) 解(1)(2)得：a?

【例10】

设二次函数f(x)= ax2 +bx+c (a>0且b≠0)。

?1?51?51?5?1?5，b=，即有在a?，b=满足条件 2222(1) 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式和f(x)的最小值；

(2) 已知f(x)的对称轴方程是x=1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；

(3) 已知|b|

又∵a>0 ∴a=1 c=-1 此时b=+1 ∴f(x)=x2 + x-1 于是 f(x)=(x + (2)依题意?55125)??? ∴[f(x)]min?? 2444b?1即b=-2a，∵a>0且b≠0 ∴b<0 2a5 4令f(x)=0的两根为x1，x2，则函数y=f(x)的图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0) 且x1?x2?2,x1x2?c，满足题设的充要条件是 a?4a2?4ac?0???b2?4ac?0?a?c?0?a?c?? ? ??????c2|a?c|?ac?0|1?|?1?????|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?2a? ∴a>0 c?0 b<0且b=－2a为所求 (3)方法1：

∵|2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|<|a+b+c|+|a-b+c|<2 ∴|b|?1 又|b|?|a| ∴|b4ac?b2b21b5 又|c|=|f(0)|?1 又|f(?)|?||?|c?|?|c|?||?|b|?

2a4a4a4a4b|?1 a 而f(x)所示开口向上的抛物线且|x|<1，则|f(x)|的最大值应在x=1或x=-1或x=-因|f(-1)|<1, |f(1)|?1, |f(- 方法2：

第 15 页 共 29 页

b55)|? 故|f(x)|?得证。

442ab时取到，2a

令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 则f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c ax2 +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c

?x2?x?u???u?v?x2?2 ∴???2??v?x?x?u?v?x?2?x2?xx2?x∴f(x)=f(1)?f(?1)?(1?x2)f(0)

22 而|f(1)| ?1, |f(-1)|?1, |f(0)|?1

x2?xx2?xx2?xx2?x2 ∴|f(x)|?|f(1)?f(1)?(1?x)f(0)|<||?||?|1?x2| x∈[-1, 1]

2222 =|x|·

155x?11?x?|x|??1?x2=?|x|2?|x|?1=?(|x|?)2??

24422综上，当|f(0)|?1, |f (-1)|?1, |f(-1)|?1, |x|?1时，|f(x)|?5 4解法3：我们可以把f?0??1，f?1??1和f?－1??1当成两个独立条件，先用

f??1?,f?0?和f?1?来表示a,b,c.

∵ f??1??a?b?c,f?1??a?b?c,f?0??c,

11∴ a?(f?1??f??1??2f?0?),b?(f(1)?f(?1)),c?f?0?,

22?x2?x??x2?x?????f?0?1?x2. ?f??1??∴ f?x??f?1????2??2?????∴ 当?1?x?1时，x?x，所以，根据绝对值不等式的性质可得：

x2?xx?x2x2?xx2?x??，，1?x2?1?x2 22222x2?xx2?x?f??1???f?0??1?x2 ∴ f?x??f?1??22x2?xx2?x???1?x2

22?x2?x??x?x2???????2?2????????x?x?11255 ??(x?)??.2442??2??(1?x) ??第 16 页 共 29 页

综上，问题获证.

二、专题练习

一、选择题

1．(2005年春考·北京卷·理2)函数y=|log2x|的图象是

（ A ）

y O 1 A x y O 1 B x y O 1 C

y x O 1 D （ B ）

x 2．(2005年春考·北京卷·文2)函数f(x)?|x?1|的图象是

y 1 -O 1 A x y 1 -O 1 B x y 1 -O 1 C x y 1 -O 1 D x

3. (2005年春考·上海卷16)设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：

（1）若存在常数M，使得对任意x?R，有f(x)?M，则M是函数f(x)的最大值； （2）若存在x0?R，使得对任意x?R，且x?x0，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数

f(x)

的最大值；

（3）若存在x0?R，使得对任意x?R，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值. 这些命题中，真命题的个数是 A．0个 B．1个

( C )

C．2个

xD．3个

1，则该函数在

???,???上是

2?14．(2005年高考·上海卷·理13文13)若函数f(x)?

（ A ）

A．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值

B．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值

?0,x?1|lg|x?1||,x?1，则关于x5．(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R的函数f(x)???的方程f(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解的充要条件是

（ C ）

A．b?0且c?0 B．b?0且c?0 C．b?0且c?0 D．b?0且c?0 6．(2005年高考·福建卷·理5文6)函数f(x)?ax?b2的图象如图，其

y 第 17 页 共 29 页

1 -O 1

中a、b为常数，则下列结论正确的是

A．a?1,b?0

（ D ） B．a?1,b?0 D．0?a?1,b?0

C．0?a?1,b?0

7．(2005年高考·福建卷·理12)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且

f(2)?0则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

A．2

（ D ） B．3

C．4

D．5

8．(2005年高考·福建卷·文12)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且

f(2)?0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

A．5

（ B ） B．4

C．3

D．2

9．(2005年高考·广东卷9)在同一平面直角坐标系中，函数

y?f(x)和y?g(x)的图象关于直线y?x对称. 现将y?g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位， 再沿y轴向上平

移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数f(x)的表达式为（ A ）

?2x?2,?1?x?0?A．f(x)??x

?2,0?x?2??2?2x?2,?1?x?0?B．f(x)??x

?2,0?x?2??2?2x?2,1?x?2?C．f(x)??x

?1,2?x?4??2?2x?6,1?x?2?D．f(x)??x

?3,2?x?4??2

10．(2005年高考·湖北卷·理4文4)函数y?e|lnx|?|x?1|的图象大致是

（ D ）

第 18 页 共 29 页

11．(2005年高考·湖北卷·理6文7)在y?2,y?log2x,y?x,y?cos2x这四个函

数中，当0?x1?x2?1时，使f(

A．0

（ B ） B．1

x2x1?x2f(x1)?f(x2)恒成立的函数的个数是)?22C．2

2)函数f(x)＝

D．3

12．(2005年高考·湖南卷·理

（ A）

1?2x的定义域是

A．(－∞，0] B．[0，＋∞) 13．(2005年高考·湖南卷·文

（ A）

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞） 3)函数f(x)＝

1?2x的定义域是

C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）

14．(2005年高考·湖南卷·文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万

元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ B ） A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 15．(2005年高考·辽宁卷5)函数y?ln(x?x2?1的反函数是

C

．

（ C ）

ex?e?xA．y?

2ex?e?xD．y??

2ex?e?xB．y??

2ex?e?xy?2

1?a216．(2005年高考·辽宁卷6)若log2a?0，则a的取值范围是

1?a

A．(,??)

（ C ）

12B．(1,??) C．(,1)

12D．(0,)

1217．(2005年高考·辽宁卷7)在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式

(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立， 则

A．?1?a?1

B．0?a?2

C．? （ C ）

13?a? 22D．?31?a? 2218．(2005年高考·辽宁卷10)已知y?f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1?x2，

第 19 页 共 29 页

???1,a?

x1??x2x??x1，若|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，则 （ A ） ,??21??1??B．??0

C．0???1

D．??1

A．??0

19．(2005年高考·辽宁卷12)一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意

a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的

图象是（ A ）

A B C D

20．(2005年高考·江西卷·理10文10)已知实数a, b满足等式()?(),下列五个关系

式

①0B．2个

③0

12a13b

④b

⑤a=b （ B ）

21．(2005年高考·江西卷·文4)函数f(x)?1的定义域为 2log2(?x?4x?3)B．(??,1)?(3,??) D．[1，3]

（ A ）

A．（1，2）∪（2，3） C．（1，3）

22．(2005年高考·重庆卷·理3文3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上

是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取值范围是

A．(??,2)

B．(2,??)

（ D ）

C．(??,?2)?(2,??)D．（－2，2）

?|x?2|?2,23．(2005年高考·重庆卷·文5)不等式组?的解集为 2log(x?1)?1?2

A．(0,3)

B．(3,2)

1?x( C )

C．(3,4) D．(2,4)

( A )

24．(2005年高考·江苏卷2)函数y?2?3(x?R)的反函数的解析表达式为

2 x?33?xC．y?log2

2A．y?log2x?3 22D． y?log2

3?xB． y?log2第 20 页 共 29 页

?|x?1|?2,|x|?1,1?25．(2005年高考·浙江卷·理3)设f(x)＝?1，则f[f()]＝ ( B )

, |x|?12??1?x2

A．

1 2B．

4 13C．－

9 5D．

25 41( D )

26．(2005年高考·浙江卷·文4)设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f(

A．－

1)]＝ 2D． 1

1 2B．0

2

C．

1 227．(2005年高考·浙江卷·文9)函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( B )

1 D．1 21?x28．(2005年高考·山东卷·理2文3)函数y??x?0?的反函数图像大致是（ B）

xyyyy

A．

B．

C．

?1?111

oxxoox

A． B． C． D． 29．(2005年高考·山东卷·理11)0?a?1，下列不等式一定成立的是 A．log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2

1 81 4ox（ A ）

B．log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

C．log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) D．log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) 30．(2005年高考·山东卷·文2)下列大小关系正确的是 A．0.4?320.4（ C）

0.4?log40.3；

20.4B．0.4?log40.3?3； D．log40.3?30.42C．log40.3?0.4?3；

?0.42

( A )

cab31．(2005年高考·天津卷·文2)已知log1b?log1a?log1c，则

222ba A． 2>2>2

bacB．2>2>2

?1abcC．2>2>2

cD．2>2>2

32．(2005年高考·天津卷·理9)设f则使f?1(x)是函数f(x)?1x(a?a?x) (a?1)的反函数，2

（ A ）

(x)?1成立的x的取值范围为

第 21 页 共 29 页

a2?1a2?1a2?1A．(,??) B． (??,) C． (,a)

2a2a2a3D． [a,??)

33．(2005年高考·天津卷·理10)若函数f(x)?loga(x?ax) (a?0,a?1)在区间

1(?,0)内单调递增，则a的取值范围是 2139A．[,1) B． [,1) C．(,??)

4442

D．(1,)

（ B ）

9434．(2005年高考·天津卷·文9)若函数f(x)?loga(2x?x) (a?0,a?1)在区间

1(0,)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 211 A．(??,?) B．(?,??) C．(0,?)

44( D)

D．(??,?)

1235．(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y?f(x)的图象关于直线x?3对称，则下面正确的结论是 ( B)

A． f(1.5)

（ C ）

22 A．1 B．－1 C．

?1?5 2D．

?1?5 22x37．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理8文8)设0?a?1，函数f(x)?loga(a则使f(x)?0的x取值范围是（ B ）

A．(??,0)

B．(0,??)

C．(??,loga3)

?2ax?2)，

D．(loga3,??)

（ C ）

38．(2005年高考·全国卷Ⅰ·文7)y?

A．y?1?1?x(?1?x?1)

22x?x2(1?x?2)的反函数是

B．y?1?1?x(0?x?1)

2第 22 页 共 29 页

C．y?1?1?x(?1?x?1)

32D．y?1?1?x(0?x?1)

239．(2005年高考·全国卷II·理3)函数y?

A．y?C．y?x2?1(x?0)的反函数是

3B．y??(x?1)(x??1)

（ B ）

(x?1)3(x??1) (x?1)3(x?0)

3D．y??(x?1)(x?0)

40．(2005年高考·全国卷II·文3)函数y?x?1(x?0)的反函数是

A．y?2（ B ）

x?1(x??1) B．y??x?1(x??1)

C．y?x?1(x?0) D．y??x?1(x?0)

（ C ）

41．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理6文6)若a?ln2,b?ln3,c?ln5，则

235

A．a

B．cxC．c

（ A ）

42．(2005年高考·全国卷Ⅲ·文5)设3? A．－2

二、填空题

1，则 7B．－3

21．(2005年春考·北京卷·理14)若关于x的不等式x?ax?a?0的解集为(??,??)，

则实数a的取值范围是__________；若关于x的不等式x?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．(?4,0)个空

2. (2005年春考·上海卷1)方程lgx?lg(x?2)?0的解集是 . {?1,2} 3. (2005年春考·上海卷4)函数f(x)??x(x?(??,?2])的反函数f222(??,?6]?[2,??)文14仅前一

?1(x)? . ??x,x?(??,?4]

4．(2005年高考·北京卷·理13文13)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1?x2)，

有如下结论：

①f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)； ③

②f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)； ④f(

f(x1)?f(x2)?0;

x1?x2x1?x2f(x1)?f(x2))?. 22 当f(x)?lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .②③

第 23 页 共 29 页

5．(2005年高考·北京卷·文11)函数f(x)?x?1?1的定义域为 . 2?x[?1,2)?(2,??)

g(x?1)的反函数6．(2005年高考·上海卷·理1文1)函数f(x)?lo4f?1(x)=__________.4x?1

7．(2005年高考·上海卷·理2文2)方程4?2?2?0的解是__________. x=0

8．(2005年高考·福建卷·理16文16)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命

题：

若函数f(x)?3?log2x的图象与g(x)的图象关于 对称，则函数g(x)= 。（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x) ③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3

9．(2005年高考·广东卷11)函数f(x)?xx11?ex的定义域是 . {x|x<0} 10．(2005年高考·湖北卷·文13)函数f(x)?x?2lg4?x的定义域是 . x?3[2,3)?(3,4)

11．(2005年高考·湖南卷·理14文14)设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反

函数f1(x)，f (4)＝0，则f1(4)＝ .－2

－

－

12．(2005年高考·江西卷·理13文13)若函数f(x)?logn(x?则a= .

x2?2a2)是奇函数，

2 2ab13．(2005年高考·江苏卷13)命题“若a?b，则2?2?1”的否命题为_____________________。若a?b，则2?2?1 14．(2005年高考·江苏卷15)函数y?_____________________。[?2lo0g(4x?3x)的定义域为.5ab13,0)?(,1] 44a15．(2005年高考·江苏卷16)若3?0.618，a?[k,k?1)，则k =______________。-1

第 24 页 共 29 页

16．(2005年高考·江苏卷17)已知a，b为常数，若f(x)?x?4x?3，

2f(ax?b)?x2?10x?24，则5a?b?_________。2

17．(2005年高考·浙江卷·理11文11)函数y＝_________．y?x(x∈R，且x≠－2)的反函数是x?22x?x?R,且x?1? 1?x18．(2005年高考·天津卷·理16)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线x?1对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 0

219．(2005年高考·天津卷·文15)设函数f(x)?ln的定义域为__________(2,1)?(1,2)

21．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理

1?xx1，则函数g(x)?f()?f()1?x2x13)若正整数

m满足

13文

10m?1?2512?10m,则m?________.(lg2?0.3010)155

三、解答题

1．（本小题满分12分）(2005年春考·北京卷·理15)

设函数f(x)?lg(2x?3)的定义域为集合M，函数g(x)?1?N．求：

（1）集合M，N；

（2）集合M?N，M?N．

本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）M?{x|2x?3?0}?{x|x?}; N?{x|1?2的定义域为集合x?1322x?3?0}?{x|?0|}?{x|x?3或x?1} x?1x?1（Ⅱ）M?N?{x|x?3}; M?N?{x|x?1或x?}.

2．（本小题满分12分）(2005年春考·北京卷·文15) 记函数f(x)?log2(2x?3)的定义域为集合M，函数g(x)?集合N．求：

（1）集合M，N；

（2）集合M?N，M?N．

本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）M?{x|2x?3?0}?{x|x?};

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32(x?3)(x?1)的定义域为

32

N?{x|(x?3)(x?1)?0}?{x|x?3或x?1}

（Ⅱ）M?N?{x|x?3}; M?N?{x|x?1或x?}.

3．（本小题满分14分）(2005年高考·广东卷19)

设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0.（Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)?0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 解: (I) 由于在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0，故f(0)?0．若f(x)是奇函数，则f(0)?0，矛盾．所以，f(x)不是奇函数．

32由??f(2?x)?f(2?x),?f(x)?f(4?x),???f(4?x)?f(14?x)

f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)???f(x)?f(x?10), 从而知函数y?f(x)是以T?10为周期的函数．

若f(x)是偶函数，则f(?1)?f(1)?． f(9)?0由于对任意的x?（3，7]上，f(x)?0，又函数y?f(x)的图象的关于x?7对称，所以对区间[7，11）上的任意x均有f(x)?0．所以，f(9)?0，这与前面的结论矛盾．

所以，函数y?f(x)是非奇非偶函数．

(II) 由第(I)小题的解答，我们知道f(x)?0在区间（0，10）有且只有两个解，并且

．0又f(?1)?f(?1?10)?f(，9从而

f(0)?0．由于函数y?f(x)是以T?10为周期的函数，故f(10k)?0,(k?Z)．所以

在区间[－2000,2000]上，方程f(x)?0共有

4000?2?800个解． 10在区间[2000,2010]上，方程f(x)?0有且只有两个解．因为

f(2001)?f(1)?0,f(2003)?f(3)?0，

所以，在区间[2000,2005]上，方程f(x)?0有且只有两个解．

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在区间[－2010,－2000]上，方程f(x)?0有且只有两个解．因为

f(?2009)?f(1)?0,f(?2007)?f(3)?0，

所以，在区间[－2005,－2000]上，方程f(x)?0无解． 综上所述，方程f(x)?0在[－2005,2005]上共有802个解.

(2005年高考·浙江卷·理16)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＝2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

4．(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＋2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(Ⅲ)(文20)若h(x)＝g(x)－?f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数?的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则

2

2

?x0?x?0,??x0??x,?2 即??y?yy??y.?0?0,?0??2∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上

∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x

222(Ⅱ)由g?x??f?x??x?1， 可得2x?x?1?0

2当x?1时，2x?x?1?0，此时不等式无解 2当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?因此，原不等式的解集为??1,? 221 2??1??（Ⅲ）(文20)h?x????1???x2?2?1???x?1 ①当???1时，h?x??4x?1在??1,1?上是增函数，

? ???1

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②当???1时，对称轴的方程为x?1??. 1??1??ⅰ）当???1时,??1,解得???1.

1??1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.

1??综上，??0.

5．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷Ⅰ·文19)

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ）?f(x)?2x?0的解集为(1,3).f(x)?2x?a(x?1)(x?3),且a?0.因而

f(x)?a(x?1)(x?3)?2x?ax2?(2?4a)x?3a.①

由方程f(x)?6a?0得ax?(2?4a)x?9a?0. ②

因为方程②有两个相等的根，所以??[?(2?4a)]?4a?9a?0，

221解得a?1或a??.

51由于a?0,舍去a?1.将a??代入①得f(x)的解析式

5163f(x)??x2?x?.

555即 5a?4a?1?0.21?2a2a2?4a?1)? （Ⅱ）由f(x)?ax?2(1?2a)x?3a?a(x? aa2a2?4a?1. 及a?0,可得f(x)的最大值为?a?a2?4a?1?0,??由? 解得 a??2?3或?2?3?a?0. a?a?0,?故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0). 6．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II·理17)

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设函数f(x)?2|x?1|?|x?1|,求使f(x)?22x的取值范围.

本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分

解：由于y?2是增函数，f(x)?22等价于|x?1|?|x?1|?（1） 当x?1时，|x?1|?|x?1|?2，?①式恒成立。 （2） 当?1?x?1时，|x?1|?|x?1|?2x，①式化为2x?（3） 当x??1时，|x?1|?|x?1|??2，①式无解

x3 ① 233，即?x?1 24综上x的取值范围是?,???

?3?4??

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